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专题 13 一元一次方程中的难点
【思维导图】
1. 绝对值方程
例．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝
a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5
解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5
当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝
当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣
故，方程|2x+4|＝5的解为x＝ 或x＝﹣
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；
(3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写出结果）．
变式．（2021·福建·晋江市季延中学七年级期中）数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记
作 ．数轴上表示数 的点与表示数 的点距离记作 ，如 表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离， 表示数轴上表示数3的点与表示数 的点的距离， 表示数轴上表示数
的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：
(1)若 ，则 ______．若 ，则 _____．
(2)若 ，则 能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当 ，求 的最大值和最小值．
2. 数轴上的动点问题
例．（2022·江苏·七年级专题练习）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣8和4，点P为数轴上一动点，
若规定：点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“好点”．
（1）若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时，求点P表示的数是多少；
（2）①若点P运动到原点O时，此时点P 关于A→B的“好点”（填是或者不是）；
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动，当点P是关于A→B的“好点”时，求点P的运
动时间；
（3）若点P在原点的左边（即点P对应的数为负数），且点P，A，B中，其中有一个点是关于其它任意
两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数．
3. 工程问题
例．（2022·河南信阳·七年级期末）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布
式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，
若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．
(1)若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成?共需耗资多少万元?
(2)若需要最迟4周完成工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．（时间按整周计算）
变式1．（2022·浙江台州·一模）新农村建设中，某镇成立了新型农业合作社，扩大了油菜种植面积，今年
2000亩油菜喜获丰收．该合作社计划租赁5台油菜收割机机械化收割，一台收割机每天大约能收割40亩
油菜．
(1)求该合作社按计划几天可收割完这些油菜；
(2)该合作社在完成了一半收割任务时，从气象部门得知三天后有降雨，于是该合作社决定再租赁3台油菜
收割机加入抢收，并把每天的工作时间延长10%，请判断该合作社能否完成抢收任务，并说明理由．
变式2．（2022·广西河池·七年级期末）为优化育人环境，某校需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工
程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多100平方米，甲队与乙队合作一天能完成
400平方米的绿化改造面积．
(1)甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
(2)该校需要进行绿化改造的区域共有6000平方米，甲队每天的施工费用为500元，乙队每天的施工费用
为290元，比较以下三种方案：①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．哪一种
方案的施工费用最少？
4. 销售问题
例．（2023·江苏·七年级专题练习）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以
每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，
将剩下的衬衫降价销售．请你帮商场计算一下：
(1)降价前每件衬衫的利润率为多少？
(2)每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
变式1．（2022·河南三门峡·七年级期末）某商场出售甲、乙两种商品，甲种商品每件进价80元，利润是
75%，乙种商品每件进价100元，利润是50%．
(1)求甲、乙两种商品的售价分别是多少？
(2)“双11”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
不超过800元 不优惠
超过800元但不超过1300元 全部打九折
超过1300元 全部打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款560元，第二天只购买乙种商品打折后一次性
付款1080元，求这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
变式2．（2021·贵州黔东南·七年级期末）某商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，盈利
50%；乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件的进价为____元，每件乙种商品盈利_____%．
(2)该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，若全部销售完获得总利润为1200元，求购进甲种商品多少件？
(3)在“元旦”期间，该商场对甲乙两种商品进行如下图优惠促销活动：
按原价一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元 按原价的九折
超过600元 其中600元部分仍按九折优惠，超过600元的部分打八折优惠
按上述优惠条件，若小华第一次购买甲商品花了352元，第二次购买乙商品花了682元，请你帮忙计算如
果甲、乙两种商品合超来一次性购买，是否更节省？若更节省请算一算节省多少钱？若不节省，请说明理
由．
◎考点题型5 电费水费问题
例．（2022·辽宁大连·七年级期末）对节约用水，合理运用水资源，某市规定了如下用水收费标准：每户
每月的用水量不超过18立方米时，按每立方米m元收费；若超过18立方米时，不超过的部分仍按每立方
米m元收费，超过的部分每立方米按n元收费．该市一用户去年10、11月份的用水量和缴水费如下表所示：
月份 用水量（立方米） 缴水费（元）
10 24 42
11 16 24
(1)求出m，n的值；
(2)该用户去年12月份用水量21立方米，需要缴水费多少元？
(3)若该用户今年1月份用水量为x立方米，试用x来表示需要缴水费．
变式1．（2022·福建福州·七年级期末）为鼓励居民节约用电，国家发改委发布文件在全国实行“阶梯电价”收费，福清市政府为响应节能与循环经济的号召，决定对居民用电电费调整如下：
每户每月用电量 电费价格（单位：元/度）
不超过200度（含） 0.5
超过200度且不超过500度的部分 a
超过500度的部分 0.8
(1)小杰家今年2月份用电量是300度，缴费160元，请求出a的值；
(2)小杰家今年8月份用电量增大，8月份的平均电价为0.7元/度，请求出他家8月份的月电量是多少度?
变式2．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各
自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购
买商品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（ ）的商品．
(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；
(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；
(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？
◎考点题型6 行程问题
例．（2022·山东枣庄·七年级期末）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得
形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别
对应的数字为a、b，且a，b满足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)P从B出发，以每秒2个长度的速度沿数轴负方向运动4秒，此时P点与A点之间的距离为 ；
(3)应用：
小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距
学校300米．
①画出如图的数轴（学校为原点，小华家为A点，小明家为B点），数轴的单位长度为实际的 米．
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，求几分钟后两人相距100米？并直接写出此时小明在数轴上的位置对应的数．
变式1．（2021·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，点C在线段AB上．点P从点C出发向点B
运动，速度为2cm/s；同时，点Q也从点C出发，速度为4cm/s，用1s到达A处，并在A处停留2s，然后
按原速度向点B运动．最终，点Q比点P早1s到达B处．设点P运动的时间为ts．
(1)线段AC的长为 cm；
(2)求线段BC的长；
(3)从P，Q两点同时出发至点P到达点B处的这段时间内，t为何值时，P，Q两点相距1cm？
变式2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校期中）如图，A、B分别为数轴上的两点，点A对应的
数为 ，点B对应的数80，
(1)请直接写出AB的中点M对应的数______；
(2)现在有一只电子蚂蚁P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好
从点B出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，请求出点C对应
的数；
(3)若当电子蚂蚁P从点A出发时，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点B
出发，以3个单位长度/秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距25个单位长度？
