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考向 39 随机事件的概率
1.（2022·全国甲文T6）从分别写有1，2，3， 4，5， 6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2
张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】无放回随机抽取2张方法有12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共
15种，其中数字之积为4的倍数的是14，24，26，34，45，46共,6种， ,故选C。
2．（2021·全国甲文T10）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将3个1和2个0随机排成一行，共有以下10种排法：
11100，11010，11001，10110，10101，10011，01110，01101，01011，00111；
其中2个0不相邻的共有6种情况，所以2个0不相邻的概率为 ．
15种，其中数字之积为4的倍数的是14，24，26，34，45，46共,6种， ,故选C。
3．（2021·全国乙文T7）在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可知，本题是几何概型，测度为长度 ．
4.（2022·全国乙文T14）从甲、乙等 名同学中随机选 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为
____.
【答案】
【解析】解法1:设 名同学的编号为甲、乙、 、 、 ，从中随机取 名的所有结果为：甲乙 、甲乙 、
甲乙 、甲 、甲 、甲 、乙 、乙 、乙 、 共10种，其中甲、乙都入选的情况为：甲
乙 、甲乙 、甲乙 共3三种，故所求概率为 .
解法2：设“甲、乙都入选”为事件 ，则
解 法 3 ： 设 “ 甲 、 乙 不 都 入 选 ” 为 事 件 ， 则 ， 故 所 求 概 率 为
5．（2022·新高考1卷T5）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】总事件数共 ，
第一个数取2时，第二个数可以是 ；
第一个数取3时，第二个数可以是 ；
第一个数取4时，第二个数可以是 ；
第一个数取5时，第二个数可以是 ；
第一个数取6时，第二个数可以是 ；第一个数取7时，第二个数可以是 ；
所以 ．
1.古典概型中基本事件的探求方法
2.利用公式法求解古典概型问题的步骤
3．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一
个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
4.求复杂的互斥事件的概率的一般方法
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)＝1－P()，即运用逆向思维，特别是“至少”
“至多”型题目，用间接法就显得较简便．
1.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－
P(B)．
2.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
3.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即
P(A∪A∪…∪A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A).
1 2 n 1 2 n
1．概率的一般加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.
2．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有
同时具备这两个特点的概率模型才是古典概型．
一、单选题
1．已知 、 分别表示随机事件A、B发生的概率，那么 是下列哪个事件的概率（ ）
A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生
C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生
2．若 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又相互独立
3．某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为 ，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至
少命中两次的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．某军事训练模拟软件设定敌机的耐久度为100%，当耐久度降到0%及以下，就判定敌机被击落．对空
导弹的威力描述如下：命中机头扣除敌机100%耐久度，命中其他部位扣除敌机60%耐久度．假设训练者
使用对空导弹攻击敌人，其命中非机头部位的命中率为50%，命中机头部位的命中率为25%，未命中的概
率为25%，则训练者恰能在发出第二发对空导弹之后成功击落敌机的概率为（ ）A． B． C． D．
5．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，甲从盒子A中，
乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子A中；若2个
球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的
概率是（ ）
A． B． C． D．
6．某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国
和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率
为（ ）
A． B． C． D．
7．2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，与中国空间站天和核心舱
完成自主快速交接．如果下次执行空间站的任务由3名航天员承担，需要在3名女性航天员和3名男性航
天员中选择，则选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， 为随机事件， 为事件出现的概率．下列阴影部分中能够表示 的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．有 个相同的球，分别标有数字 ， ， ， ， ， ，从中有放回的随机取两次，每次取 个球．记第一次取出的球的数字为 ，第二次取出的球的数字为 ．设 ，其中 表示不超过 的最大整数，
如 ， ，则（ ）
A．
B．
C．事件“ ”与“ ”互斥
D．事件“ ”与“ ”对立
10．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七
张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖
的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中正确的是（ ）
A．
B．事件 与事件 相互独立
C． 与 和为
D．事件A与事件B互斥
11．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋中各摸出一个球，下
列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
12．在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩（分数），则下列说法正确
的是（ ）
甲 乙
87 90 96 91 86 90 86 92 87 95
A．甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差B．甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数
C．从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为
D．从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件
三、填空题
13．为落实国务院提出的“双减”政策，某校在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣小组活动，其中有个
课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型，并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为2022年春节的
吉祥物，2个兴趣小组各派一名成员将模型随机拋出，两人都希望能拋出虎的图案朝上，寓意虎虎生威.2
人各抛一次，则在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为__________.
14．一个袋子中装有大小与质地均相同的 个红球和 个白球（ ），现从中任取两球，若取出的
两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足 的所有有序数对 为
____________．
15．已知随机事件A、 互相独立，且 ， ，则 _______．
16．古时候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土牛花比喻的五种职业，“八门”则指巾、
皮、彩、挂、平、团、调、聊这八种职业，现从这13种职业中任取两种职业，则这两种职业中至少有一种
职业是“五花”的概率是___________
四、解答题
17．随着日益增长的市场需求，某公司最初设计的生产能力已不能满足生产的需求，公司新安装了A，B
两条生产线．在生产线试运行阶段，为检测生产线生产的产品的合格率，对两条生产线生产的产品采取不
同的方式进行检测．其中A生产线生产的产品分三次随机抽检，经统计，第一次抽取了30件产品，合格率
为 ，第二次抽取了40件，合格率为 ，第三次抽取了30件产品，合格率为 ；对B生产线生产的产品
随机抽取了100件，并测量了每件产品的某项指标值 ．经统计，得到如图所示的频率分布直方
图，已知产品的质量以该项指标值为衡量标准，且指标值 时为合格产品．两条生产线之间生产
的产品及各生产线上生产的产品合格与否相互独立．(1)估计A，B两条生产线在试运行阶段产品的合格率．
(2)以（1）中的估计值为A，B两条生产线试运行阶段生产的产品的合格率．在A，B两条生产线生产的产
品中各随机抽取2件产品，记合格产品的个数和为X．若其中至少有3件产品合格，则可判定两条生产线
生产状况安全稳定．
（i）求 ；
（ii）求可判定两条生产线生产状况稳定的概率．
18．某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有
三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题
目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则
需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，
甲限时答题局获胜与平局的概率分别为 ， ，快问快答局获胜与平局的概率分别为 ，抢答局获胜的
概率为 ，且各局比赛相互独立.
(1)求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；
(2)已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.
一、单选题
1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜
湖市主城区实施静态管理，最终控制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰
好选取一名医生和一名护士的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·模拟预测（理））商标是一种信息资源，具有传递信息的功能，同时是企业形象和信誉的
集中表现，也是企业的无形资产，是一项重要的知识产权.如图为某企业的商标，其中正方形的边长等于大
圆的半径，以正方形的4个顶点为圆心，以正方形边长的一半为半径分别作 圆弧，阴影部分为这4段圆
弧围成的封闭区域，现从大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在 地见面，若甲是7
点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，
则甲、乙两人能见面的概率为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2019·陕西·安康市教学研究室三模（理））中国古老的传统拼图游戏七巧板被誉为“东方魔板”.如图
是一个用七巧板拼成的大正方形，②③④⑤⑦为等腰直角三角形，①是平行四边形，⑥是正方形，⑤的斜
边端点为大正方形边的中点，其中有三块被涂了阴影，已知从大正方形内任取一点，该点取自阴影部分的
概率为 ，则三块阴影部分的代号不可能是（ ）A．①③⑤ B．①⑤⑥ C．②③⑦ D．③④⑦
5．（2022·山西·忻州一中模拟预测（文））齐国的大将田忌很喜欢赛马，他与齐威王进行赛马比赛，他们
都各有上、中、下等马各一匹，每次各出一匹马比一场，比赛完三场（每个人的三匹马都出场一次）后至
少赢两场的获胜．已知同等次的马，齐威王的要强于田忌的，但是不同等次的马，都是上等强于中等，中
等强于下等，如果两人随机出马，比赛结束田忌获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东潍坊·三模）某省新高考改革方案推行“ ”模式，要求学生在语数外3门全国统考科
目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、思想政治4门科目中任选2
门．某学生各门功课均比较优异，因此决定按方案要求任意选择，则该生选考物理、生物和政治这3门科
目的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·模拟预测（文））2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在
亿万国人逐渐高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作了
简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B，C，D.小明每次投掷都能使得冰壶
进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B，C，D区的概率分别为0.01，0.1，0.3，0.59，小明投掷两个冰
壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为（ ）
A．1 B．0.2139 C．0.4278 D．0.1958
8．（2022·全国·模拟预测）邮票是供寄递邮件贴用的邮资凭证，一般由主权国家发行．邮票的方寸空间，
常体现一个国家或地区的历史、科技、经济、文化、风土人情、自然风貌等特色，这让邮票除了邮政价值
之外还有收藏价值．小王就是一个集邮爱好者，收集了2021年发行的《辛丑年》邮票样式一和样式二各4
张．若从中任意抽取3张，则至少有1张样式二的概率为（ ）
A． B． C． D．9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））下面说法中正确的有（ ）
①在 内任取一实数 ，则使 的概率为 ；
②“类比平面三角形的性质，推测空间四面体的性质”为演绎推理；
③十进制数78转换成二进制数为 ；
④若一组数据 的方差为10，则另一组数据 的方差为11.
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
10．（2023·全国·模拟预测）为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分
更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展
项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（
）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2022·湖北·模拟预测）截止5月6日，全球不明原因儿童肝炎超300例.在对前期169例病例的研究
发现，74例腺病毒检测阳性.其中20例新冠病毒检测阳性，19例腺病毒和新冠病毒均呈阳性，现从前期病
例中随机抽取2例，记事件 为“恰有1例新冠病毒阳性”，事件 为“恰有1例腺病毒和新冠病毒均呈
阳性”，下列说法错误的有：（ ）
A．事件 的对立事件为“至多有1例新冠病毒阳性”
B．
C．事件 与事件 为互斥事件
D．事件 与事件 为独立事件
12．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）高中提倡学生假期培养阅读习惯，提高阅读能力，某班级统
计了假期阅读中英两本书籍的时长，其频率分布如下：则下列说法正确的是（ ）
阅读时长天 7 6 5 4
中文书籍 0.5 0.3 0.1 0.1英文书籍 0.4 0.3 0.2 0.1
A．从阅读的的平均时长来看，中文书籍比外文书籍更受欢迎
B．中、英文书籍阅读时长的第40百分位数都是6天
C．若将频率视为概率，小华阅读中文和英文两本书籍，则阅读总时长少于10天的概率为0.04
D．任选一本书籍，“阅读时长低于5天”与“阅读时长为高于6天”是对立事件
三、填空题
13．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代
齐国，马匹按奔跑的速度分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派
出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王
较低等次的马快.若田忌事先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了
相应的策略，则其获胜的概率最大为_________.
14．（2022·上海徐汇·二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代
中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学
校的概率是______________．（结果用最简分数表示）
15．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）A､B两辆货车计划于同一时刻达到某一港口.已知在货车B准
点的情况下，货车A晚点的概率为 ；而在货车A晚点的情况下，货车B准点的概率为 .若货车A､B准点
的概率相同，且货车到达该港口只有准点与晚点两种情况，则货车B晚点的概率为___________.
16．（2022·全国·模拟预测）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使
一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2
人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 ，丙购买到冰墩墩的概率为 ，则甲，乙､丙3人中至少有1人购
买到冰墩墩的概率为___________.
四、解答题
17．（2022·云南师大附中模拟预测（理））某校组织“生物多样性”知识竞赛，甲、乙两名同学参加比赛，
每一轮比赛，甲、乙各回答一道题，已知每道题得分为1~100的任意整数，60分及以上判定为合格.规定：在一轮比赛中，若两名参赛选手，一名合格一名不合格，记合格者为 ，不合格者为 ；若两名参赛选手，
同时合格或同时不合格，记两名选手都是 .在比赛前，甲、乙分别进行模拟练习.已知某次练习中，甲、乙
分别回答了15道题，答题分数的茎叶图如图所示，甲、乙回答每道题得分不相互影响，并以该次练习甲、
乙每道题的合格概率估计比赛时每道题的合格概率.
(1)分别求甲、乙两名同学比赛时每道题合格的概率；
(2)设2轮比赛中甲获得 的个数为 ，求 的分布列和数学期望；
(3)若甲、乙两名同学共进行了10轮比赛，甲同学获得 （ ， ）个 的概率为 ，当
最大时，求 .
18．（2022·全国·模拟预测（理））第六届遵义冬至羊肉粉旅游文化美食节于2021年12月18日至23日在
凤凰山文化广场举办，本次活动旨在从地本产业特色，历史文化、消费习惯出发，打造商旅文体、吃住行
娱尝试融合的消费场景，活动组委会随机邀请100位市民，均分为A、B两个评委组，分别对甲、乙两店
羊肉粉进行品尝评分（满分100分，分数越高表示越受欢迎），A、B两组的评分结果如下：
(1)若以50名市民评分的平均值为作评判依据，甲、乙两店羊肉粉哪家更受欢迎？
(2)采用分层抽样的方法，从A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民中抽取5人，再从这5人中抽取2
人对甲店羊肉粉的优缺点进行总结，求这两人的评分在同一区间的概率.1．(2021年高考全国甲卷理科)将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为 ( )
A． B． C． D．
2.（2020•全国2卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少
安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 ．在不超过30的素数
中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 ( )
A． B． C． D．
4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利
时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设
甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的
概率是 ．
5．（2021年全国高考乙卷数学（文））在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为
（ ）
A． B． C． D．
6．(2021年高考全国乙卷理科)在区间 与 中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为 (
)
A． B． C． D．
7．(2018全国卷Ⅰ)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为直角三角形 的斜边 ，直角边 ， ． 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为
， ， ，则
A． B． C． D．
ABCD
8．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,正方形 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点,则此点取自黑色
部分的概率是 ( )
( )
1 π 1 π
A．4 B．8 C．2 D．4
1．【答案】D
【解析】 表示随机事件 、 同时发生，所以 就是事件 、 至多有一个发生.
故选：D
2．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，∴事件 与 相互独立、事件 与 不互斥，故不对立.
故选：C
3．【答案】A
【解析】因为每次命中目标的概率均为 ，且每次命中与否相互独立，
所以连续射击3次，至少命中两次的概率 ，
故选：A.
4．【答案】D
【解析】用 分别表示命中机头，命中非头部位和未命中三个事件，则
又训练者每次是否击中敌机相互独立，利用独立事件乘法公式及互斥事件加法可得训练者恰能在发出第二
发对空导弹之后成功击落敌机的概率：
.
故选：D.
5．【答案】A
【解析】若两次取球后，盒子A中恰有8个球，则两次取球均为甲胜，即两次取球均为同色．
若第一次取球甲、乙都取到红球，概率为 ，
则第一次取球后盒子A中有4个红球和3个白球，盒子B中有2个红球和3个白球，
第二次取同色球分为取到红球或取到白球，概率为 ，
故第一次取球甲、乙都取到红球且两次取球后，
盒子A有8个球的概率为 ，
同理，第一次取球甲、乙都取到白球且两次取球后，
盒子A中有8个球的概率为 ，所以两次取球后，
盒子A中恰有8个球的概率是 ．
故选:A．
6．【答案】D【解析】没有买到中国疫苗的概率为 ，所以买到中国疫苗的概率为 ．
故选：D．
7．【答案】B
【解析】设“选出的3名航天员中既有男性航天员又有女性航天员”为事件M，则 .
故选：B.
8．【答案】C
【解析】对于A，阴影部分表示 ，故A错误；
对于B，阴影部分表示 ，故B错误；
对于C，阴影部分表示 ，故C正确；
对于D，阴影部分表示 ，故D错误.
故选：C
9．【答案】AC
【解析】因为从中有放回的随机取两次，所以有 种可能，有6种情况，
所以 的情况共有 ，所以 ，因此选项A正确；
两次取球数字和为5有以下4种情况： ，
所以 ，因此选项B正确；
当 时， ，所以事件“ ”与“ ”互斥，因此选项C正确；
当 时， ，但是当 时， ，所以事件“ ”与“ ”
不是对立事件，
故选：AC
10．【答案】ABC
【解析】 ，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，B项正确
，故A正确
，故C正确
事件A与事件B相互独立而非互斥，故D错误.
故选：ABC
11．【答案】ACD
【解析】2个球都是红球的概率为 ，A正确；
“2个球不都是红球”与“2个球都是红球”为对立事件，
故2个球不都是红球的概率为 ，B错误；
2个球都不是红球的概率为 ，
所以至少有1个红球的概率为 ，C正确；
2个球中恰有1个红球的概率为 ，D正确.
故选：ACD
12．【答案】ABD
【解析】对于A选项，根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为 ，乙选手成绩的极差为
.故A正确；
对于B选项， ，则甲成绩的75%分位数是91，乙成绩的75%分位数是92.故B正确；
对于C选项，甲的平均成绩为 ，从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间
有 ，共10个样本点，
其中均大于甲的平均成绩的样本点只有1个为 ，故所求概率为 ，故C错误.
对于D选项，乙的平均成绩为 ，抽到不超过平均分的个数为0，1，2，所以事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件，故D正确；
故选：ABD.
13．【答案】
【解析】设第一人抛出虎的图案的事件为A事件，第二人抛出虎的图案的事件为 事件，
则 ， ，
所以 ，
即在第一人抛出虎的图案朝上时，两人心愿均能达成的概率为 .
故答案为：
14．【答案】
【解析】由题意，取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率等于 ，即 ，即
，
所以 ，整理得 ，即 为平方数.
又 ， ，故 ， 或 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 不合题意，
故 或
故答案为：15．【答案】0.42
【解析】因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：0.42
16．【答案】
【解析】从这13种职业中任取两种职业有 种不同的选法.
这两种职业都是“八门”的 ，所以这两种职业中至少有一种职业是“五花”的概率是
故答案为：
17．【答案】(1) ， ；(2)（i） ；（ii） .
【解析】（1）设A，B两条生产线在试运行阶段产品的合格率分别为 ， ，
，
由直方图得： ，解得 ，
．
（2）由题意知，试运行阶段A，B两条生产线生产的产品的合格率分别为 ， ，
（i） ．
（ii）记事件C表示：可判定两条生产线生产状况稳定．
．
18．【答案】(1) (2)
【解析】(1)设甲至多经过两局比赛晋级决赛为事件A，则甲第一局获胜或第一局平局第二局获胜，则 .
(2)记乙恰好经过一局、两局、三局比赛晋级决赛分别为事件B、C、D，
则 ，
，
，
故在乙最后晋级决赛的前提下，
乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率为 .
1．【答案】D
【解析】记3名护士为cde，2名医生为AB，两个检测点分别为：AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，
ce，de共10个基本事件，其中恰好选取一名医生和一名护士有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be 共6种，所以
概率为
故选：D
2．【答案】A
【解析】由题意，设大圆的半径为2，则正方形的边长为 ，可得以正方形的顶点为圆心的圆的半径为
，
可得阴影部分的面积为 ，大圆的面积为 ，
根据面积比的几何概型，可得该点取自阴影部分的概率为 .
故选：A.
3．【答案】B【解析】从早上7点开始计时，设甲经过 十分钟到达，乙经过 十分钟到达，
则 、 满足 ，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形 ，
若甲乙能够见面，则 、 满足 ，
该不等式对应的平面区域是图中的四边形 ，
，
因此，甲乙能见面的概率
故选：B．
4．【答案】A
【解析】设大正方形的边长为2，其面积 ，设①②③④⑤⑥⑦的面积分别为 ， ， ， ， ，
， ，其中易得 ， ， ，
，则①③⑤的面积和为 ，①⑤⑥、②③⑦、③④⑦的面积和均为 ，
故选：A.
5．【答案】D
【解析】将齐威王的上、中、下等马分别记为 ， ， ，田忌的上、中、下等马分别记为 ， ， ，则
他们比赛的情况如下：
齐威王的马 胜者
田忌的马 齐威王
田忌的马 齐威王田忌的马 齐威王
田忌的马 齐威王
田忌的马 田忌
田忌的马 齐威王
由上表可知，只有齐威王的马 对田忌的马 这种情况，田忌获胜，所以田忌获胜的概率
．
故选：D
6．【答案】D
【解析】由题设，该生选考物理、生物和政治这3门科目的概率 .
故选：D
7．【答案】C
【解析】投掷一个冰壶进入A或C区的概率为
投掷一个冰壶进入B或D区的概率为
小明投掷两个冰壶，则有一个冰壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或D区的概率为
故选：C
8．【答案】C
【解析】法一：任意抽取3张，
其中有1张样式二的概率 ，
其中有2张样式二的概率 ，
其中有3张样式二的概率 ，所以至少有1张样式二的概率 ．
法二：任意抽取3张，
全部都是样式一的概率为 ，
所以至少有1张样式二的概率为 ．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】对于①：在 内，解不等式 得： ，所以在 内任取一实数 ，则使
的概率为 .故①正确；
对于②：“类比平面三角形的性质，推测空间四面体的性质”为类比推理.故②错误；
对于③：把十进制数78转换成二进制数，利用“除 取余法”，
得到 .故③正确；
对于④：根据方差的性质，若一组数据 的方差为10，则另一组数据 的方差
也为10.故④错误.
故选：C
10．【答案】D
【解析】因为每所高校至少对接两家用人单位，
所以每所高校共有 种选择，所以甲、乙两所高校共有 种选择，
其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有 种，
所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为 ，
故选：D
11．【答案】ACD
【解析】由题可知事件 的对立事件为“没有新冠病毒阳性或恰有2例新冠病毒阳性”，故A错误；
由条件概率公式可得 ，故B正确；
由题可知事件 与事件 可以同时发生，故C错误；
由题可知事件 与事件 相互影响，故D错误.
故选：ACD.
12．【答案】ABC
【解析】中文书籍的阅读时长平均值为 天，英文书籍的阅读时长平均值
为 天，所以中文书籍比英文书籍更受欢迎，选项A正确；
因为中文书籍阅读时长小于等于5的频率为0.2，小于等于6的频率为0.5，所以第40百分位数为6天，英
文书籍阅读时长小于等于5的频率为0.3，小于等于6的频率为0.6，所以第40百分位数为6天，故中、英
文书籍阅读时长的第40百分位数均为6天，选项B正确；
阅读时长少于10天，则中、英文书籍的时间可以为(4，4)，(4，5)和(5，4)三种情况，阅读总时长少于10
天的概率 ，选项C正确；
对于D：“阅读时长低于5天”指阅读时长为4天，“阅读时长为高于6天”指阅读时长为为7天，所以
“阅读时长少于5天”与“阅读时长为高于6天”是互斥而不对立事件，选项D错误．
故选：ABC.
13．【答案】
【解析】设齐王有上、中、下三等的三匹马 、 、 ，田忌有上、中、下三等的三匹马 、 、 ，
所有比赛的方式有： 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ； 、 、 ；
、 、 ，一共 种.
若齐王第一场比赛派上等马，则第一场比赛田忌必输，此时他应先派下等马 参加.
就会出现两种比赛方式： 、 、 和 、 、 ，其中田忌能获胜的为 、 、 ，
故此时田忌获胜的概率最大为 .故答案为： .
14．【答案】
【解析】4个人分配到4个学校的情况总数为 种，4个人恰好分配到4个学校的情况为 种，所以
4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有 种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是
.
故答案为： .
15．【答案】
【解析】设A晚点为事件X，B准点为事件Y，因为 ，所以 .
由条件概率公式得 ， ，
因此 ，可以求解得到 ，因此B晚点的概率为 .
故答案为：
16．【答案】
【解析】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为 ，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率
.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率 .
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率 ，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率 .
故答案为： .
17．【答案】(1)甲的合格率为 ，乙的合格率为 ；(2)分布列见解析， ；(3)当 时， 最大
【解析】（1）根据茎叶图知，15道题中甲同学合格了5个题，乙同学合格了6个题，
所以甲同学合格的概率为 ，乙同学合格的概率为 .
（2）设一轮比赛中，甲同学获得 的个数为 ，则 的可能取值为0，1，
则
由于甲同学2轮比赛可能获得 的个数为0，1，2，
故 的可能取值为0，1，2，
所以
的分布列为
0 1 2
（3）设10轮比赛中，甲同学获得 的个数为 ，则 ，
则 ( 且 )．由于 ，
因为 随着 的增大而增大，
所以 时， ，则有 ；
时， ，则有 ，
故当 时， 最大．
18．【答案】(1)甲店羊肉粉受欢迎；(2) .
【解析】（1） 组的平均得分 ，
B组的平均得分 ，
由平均分可知，甲店羊肉粉受欢迎.
（2）A组评分在区间[80，84）和[96，100]的市民分别为 人， 人，
故由分层抽样抽取评分在区间[80，84）的有2人，分别记为 ，评分在区间[96，100]的有3人，分别记
为 ,随机抽取2人的基本事件为 ， ， ,共
10个基本事件，其中两人的评分在同一区间的有4个，故这两人的评分在同一区间的概率 .
1．【答案】C
【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 ．故选：C．
2.【答案】36
【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名
同学 先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
3．【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，
共有 种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30的有3
种选法，故概率 ，故选C．
4．【答案】
【解析】因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，且第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，
若第1场或第2场输1场，则 ，
若第3场或第4场输1场，则 ，
所以甲以4：1获胜的概率是 ．
5．【答案】B
【解析】设 “区间 随机取1个数” ，
“取到的数小于 ” ，所以 ．6．【解析】如图所示：
设从区间 中随机取出的数分别为 ，则实验的所有结果构成区域为
，其面积为 ．
设事件 表示两数之和大于 ，则构成的区域为 ，即图中的
阴影部分，其面积为 ，所以 ．
7．【答案】C
【解析】解法一： 设直角三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则区域I的面积即
的面积，为 ，区域Ⅱ的面积
，所以 ，由几何概型的知识
知 ，故选A．
解法二：不妨设 为等腰直角三角形， ，则 ，所以区域 I的面积即的面积，为 ，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积 ．
根据几何概型的概率计算公式，得 ， ，所以 ，
， ，故选A．
8．【答案】 B
a πa2
【解析】设正方形边长为 a ,则圆的半径为 2 ,则正方形的面积为 a2 ,圆的面积为 4 ．由图形的对称
性可知,太极图中黑白部分面积相等,即各占圆面积的一半．由几何概型概率的计算公式得,此点取自
1 πa2
π
2 4
a2 8
黑色部分的概率是 ,选B．
秒杀解析:由题意可知,此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例,由图可知其概
1 1
p
率4 2 ,故选B．
