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易错点 15 概率
易错点1.事件、频率和概率概念理解错误
1.事件的关系
定义 表示法 图示
一般地，如果事件A发生时，事
包含
件B一定发生，则称“A包含于 记作A B(或B A)
关系
B”(或“B包含A”)
⊆ ⊇
给定事件A，B，若事件A与B不
互斥 若A∩B＝∅，则A与
能同时发生，则称A与B互斥，
事件 B互斥
记作AB＝∅(或A∩B＝∅)
给定样本空间Ω与事件A，则由
若A∩B＝∅，且
对立 Ω中所有 不属于 A 的样本点组成
A∪B＝Ω，则A与B
事件 的事件称为A的对立事件，记作
对立
A
2.事件的运算
定义 表示法 图示
给定事件A，B，由所有A中的
并事件 样本点与B中的样本点组成的事 记作 A ＋ B (或 A ∪ B )
件称为A与B的和(或并)
给定事件A，B，由A与B中的
交事件 公共样本点组成的事件称为A与 记作AB(或 A ∩ B )
B的积(或交)
3.用频率估计概率
一般地，如果在 n次重复进行的试验中，事件 A发生的频率为，其中，m是n
次重复试验事件 A发生的次数，则当 n很大时，可以认为事件 A发生的概率
P(A)的估计值为.
易错点2.古典概型公式理解错误
1.古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限
性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大
小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古
典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，假设样本空间含有 n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，
则P(C)＝.
3.几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积或度数)
成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。
比如：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何
区域内随机地取一点，该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事
件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可
以是线段，平面图形，立体图形等。用这种方法处理随机试验，称为几何概型.
几何概型与古典概型相对，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸。这
个概念在我国初中数学中就开始介绍了。
古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它
与古典概型的区别在于试验的结果是无限个。
4.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 －
P ( B ) ；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为
∅⊆A Ω，所以0≤P(A)≤1.
⊆
性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
⊆
P(A∩B).
易错点3.条件概率和全概率公式理解错误
1.相互独立事件一般地，当P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件
A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，当事件 B发生的概率 大于 0 ( 即 P ( B )>0 ) 时 ，已知事件B发生
的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) .
3.全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与BA是互斥的，且B＝BΩ＝
B(A＋A)＝BA＋BA，从而 P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，当 P(A)>0 且
P(A)>0时，有P(B)＝ P ( A ) P ( B | A ) ＋ P ( A )P(B| A ) .
1．已知 、 分别表示随机事件A、B发生的概率，那么 是下列哪个事件
的概率（ ）
A．事件A、B同时发生 B．事件A、B至少有一个发生
C．事件A、B都不发生 D．事件A、B至多有一个发生
2．北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，
打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小
林没有选择冰壶的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．从两名男生，两名女生共4名同学中随机选2名参加社会实践活动，则所选两名同学性
别不同的概率为（ ）
A． B． C． D．4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算
经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的
重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选
择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期
专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图矩形由六个相同的小正方形组合而成，其中阴影部分形如一个逗号．若在该矩形中
任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）．
A． B．
C． D．
1．在区间 随机取1个数，则取到的数小于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
3．将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
4．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片
上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率
是( )
A． B． C． D．
一、单选题
1．口袋中共有2个白球2个黑球，从中随机取出两个球，则两个球颜色不同的概率为（
）
A． B． C． D．
2．一种电子小型娱乐游戏的主界面是半径为r的一个圆，点击圆周上点A后该点在圆周上
随机转动，最终落点为B，当线段AB的长不小于 时自动播放音乐，则一次转动能播放
出音乐的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．我国18岁的滑雪运动员谷爱凌在第24届北京冬奥会上勇夺“两金一银”，取得了优异
的成绩，在某项决赛中选手可以滑跳三次，然后取三次中最高的分数作为该选手的得分，
谷爱凌为了取得佳绩，准备采用目前女运动员中最难的动作进行滑跳，设每轮滑跳的成功
率为0.4，利用计算机产生0~9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3表示滑跳成功，
4，5，6，7，8，9表示滑跳不成功，现以每3个随机数为一组，作为3轮滑跳的结果，经
随机模拟产生如下10组随机数：931，502，659，491，275，937，740，632，845，302.
由此估计谷爱凌“3轮滑跳中至少有2轮成功”的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
4．由于发现新冠阳性感染者，2022年4月17日-23日芜湖市主城区实施静态管理，最终控
制了疫情.初三、高三学生于27日返校复课，返校前需提供48小时核酸检测阴性证明.为配合核酸检测，我市从3名护士和2名医生中随机选取两位派往某社区检测点工作，则恰好
选取一名医生和一名护士的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m，n，则满足 的概率
是（ ）
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的 的值与下面的哪个数最接近？（ ）
A． B．
C． D．
7．一个质地均匀的正四面体，四个面分别标以数字1，2，3，4．抛掷该正四面体两次，
依次记下它与地面接触的面上的数字．记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B
为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是（ ）
A． B．事件A与事件B互斥
C． D．事件A与事件B相互独立
8．2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人逐渐
高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲一起制作
了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B，C，D.小明每次
投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B，C，D区的概率分别为0.01，0.1，0.3，0.59，小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰壶进入A或C
区，另一个冰壶进入B或D区的概率为（ ）
A．1 B．0.2139 C．0.4278 D．0.1958
二、多选题
9．已知事件 与事件 为互斥事件， 是事件 的对立事件， 是事件 的对立事件，若
， ，则（ ）
A． B．
C． D．事件 与事件 不独立
10．甲、乙两个盒子中分别装有红球、白球和黑球若干，从甲盒子中取出一个红球的概率
为 ，取出一个白球的概率为 ；从乙盒子中取出一个红球的概率和取出一个白球的概率
均为 .现从两个盒子中各取出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．两个球都是黑球的概率为 B．两个球中一个红球一个白球的概率为
C．两个球中恰有一个黑球的概率为 D．两个球中至少有一个红球的概率
三、解答题
11．新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，
某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为200的样本进行关于线
上教学实施情况的问卷调查.已知该校高二年级共有学生840人，高三年级共有960人，抽
取的样本中高一年级有50人.如表是根据抽样调查情况得到的高一学生日睡眠时间（单位：
h）的频率分布表.
分组 频数 频率
m n
6 0.12
8 0.16
s 0.24
11 0.229 0.18
合计 50 1
(1)求该校高一学生的总数；
(2)求频率分布表中实数m，n，s的值；
(3)已知日睡眠时间在区间 内的6名高一学生中，有2名女生，4名男生，若从中任
选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率.
12．某小学认真贯彻教育部门“双减”工作的精神，执行相关措施一段时间后，为了解
“双减”工作的实际效果，在该校1200名学生中随机抽取了100名小学生，调查他们周末
完成作业的时间（以下简称作业时间，单位： )，将统计数据按[0，0.5)，[0.5，1)， ，
[4，4.5]分组，得到如图所示的频率分布直方图，
(1)求直方图中 的值；
(2)估计全校学生作业时间不低于2 的人数；
(3)按照分层抽样的方法，从全校学生作业时间不低于2 和低于2 的学生中抽取5人组成
核心素养考察团，若从考察团中选取2人作为团长和副团长求这2人都来自作业时间低于2
的学生的概率．
