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易错点 15 概率
易错点1.事件、频率和概率概念理解错误
1.事件的关系
定义 表示法 图示
一般地，如果事件A发生时，事
包含
件B一定发生，则称“A包含于 记作A B(或B A)
关系
B”(或“B包含A”)
⊆ ⊇
给定事件A，B，若事件A与B不
互斥 若A∩B＝∅，则A与
能同时发生，则称A与B互斥，
事件 B互斥
记作AB＝∅(或A∩B＝∅)
给定样本空间Ω与事件A，则由
若A∩B＝∅，且
对立 Ω中所有 不属于 A 的样本点组成
A∪B＝Ω，则A与B
事件 的事件称为A的对立事件，记作
对立
A
2.事件的运算
定义 表示法 图示
给定事件A，B，由所有A中的
并事件 样本点与B中的样本点组成的事 记作 A ＋ B (或 A ∪ B )
件称为A与B的和(或并)
给定事件A，B，由A与B中的
交事件 公共样本点组成的事件称为A与 记作AB(或 A ∩ B )
B的积(或交)
3.用频率估计概率
一般地，如果在 n次重复进行的试验中，事件 A发生的频率为，其中，m是n
次重复试验事件 A发生的次数，则当 n很大时，可以认为事件 A发生的概率
P(A)的估计值为.
易错点2.古典概型公式理解错误
1.古典概型一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的(简称为有限
性)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大
小都相等(简称为等可能性)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古
典概型.
2.古典概型的概率公式
古典概型中，假设样本空间含有 n个样本点，如果事件C包含有m个样本点，
则P(C)＝.
3.概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B ) ；
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ 1 －
P ( B ) ；
性质5：如果A B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为
∅⊆A Ω，所以0≤P(A)≤1.
⊆
性质 6：设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－
⊆
P(A∩B).
易错点3.条件概率和全概率公式理解错误
1.相互独立事件
一般地，当P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 时，就称事件A与B相互独立(简称独立).如果事件
A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立.
2.条件概率
(1)概念：一般地，当事件 B发生的概率 大于 0 ( 即 P ( B )>0 ) 时 ，已知事件B发生
的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝.
(2)两个公式
①利用古典概型，P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) .
3.全概率公式
一般地，如果样本空间为Ω，A，B为事件，则BA与BA是互斥的，且B＝BΩ＝
B(A＋A)＝BA＋BA，从而 P(B)＝P(BA＋BA)＝P(BA)＋P(BA)，当 P(A)>0 且
P(A)>0时，有P(B)＝ P ( A ) P ( B | A ) ＋ P ( A )P(B| A ) .1．甲、乙、丙、丁4名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有A，B，C三个小区可
供选择，每个志愿者只能选其中一个小区去服务．则甲不在A小区、乙不在B小区服务的
概率为（ ）
A． B． C． D．
2．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算
经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的
重要文献．这5部专著中3部产生于汉、魏晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选
择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著均是汉、魏晋、南北朝时期
专著的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙
去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得冠军.”对乙说：“你当然不会
是最差的.”若在此对话的基础上5人名次的情况是等可能的，则最终丙和丁获得前两名的
概率为（ ）
A． B． C． D．
4．现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处
景点，设事件 为“4个人去的景点各不相同”，事件 为“只有甲去了九嶷山”，则
（ ）
A． B． C． D．
5．从装有 个红球和 个蓝球的袋中( ， 均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记
“第一次摸球时摸到红球”为 ，“第一次摸球时摸到蓝球”为 ；“第二次摸球时摸到
红球”为 ，“第二次摸球时摸到蓝球”为 ，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．1．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、
乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为
p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
3．现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教
室的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一个口袋中有大小、形状完全相同的4个红球，3个蓝球，3个白球，现从袋中随机抽
取3个球．事件甲：3个球的颜色互不相同；事件乙：恰有2个红球；事件丙：至多有1个
蓝球；事件丁：3个球颜色均相同．则下列结论正确的是（ ）
A．事件甲与事件丁为对立事件 B．事件乙的概率是事件丁的6倍
C．事件丙和事件丁相互独立 D．事件甲与事件丙相互独立
5．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个
正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 为“两次记录
的数字之和为奇数”，事件 为“第一次记录的数字为奇数”，事件 为“第二次记录的
数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件 与事件 是对立事件 B．事件 与事件 不是相互独立事件
C． D．
一、单选题
1．在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首.北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开
幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧.墩墩同学要从24个节气中随机
选取4个介绍给外国的朋友，则这4个节气中含有“立春”的概率为（ ）A． B． C． D．
2．从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则
下列每对事件互斥但不对立的是（ ）
A．“至少有1件次品”与“全是次品”
B．“恰好有1件次品”与“恰好有2件次品”
C．“至少有1件次品”与“全是正品”
D．“至少有1件正品”与“至少有1件次品”
3．天河英才秋季运动会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，现将三张分别印
有“琮琮”“ 宸宸”“莲莲”这三个图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放
入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的
概率是（ ）
A． B． C． D．
4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混
入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，
让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.记事件 表示“第k只飞出
笼的是苍蝇”， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
5．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，
丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任
何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．现将除颜色外其他完全相同的6个红球和6个白球平均放入A、B两个封闭的盒子中，
甲从盒子A中，乙从盒子B中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2
个球全部放入盒子A中；若2个球异色，则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子B中．
按上述规则重复两次后，盒子A中恰有8个球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．在二项式 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重
新排成一列，有理项中恰有两项相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．8．为加快新冠病毒检测效率，检测机构采取“ 合 检测法”，即将 个人的拭子样本合
并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个
人再做检测．现对来自重点管控区的 人进行核酸检测，若有 人感染病毒，则随机将其
平均分成 组后这两名感染患者在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出
一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球中恰有1个红球的概率为
10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑
球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以 ， 和 表示由甲口袋取出的球是
红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红
球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件B相互独立
C． D．
三、解答题
11．台湾是中国固有领土，台海局势牵动每个人的心．某次海军对抗演习中，红方飞行员
甲负责攻击蓝方舰队．假设甲距离蓝方舰队100海里，且未被发现，若此时发射导弹，命
中蓝方战舰概率是0.2，并可安全返回．若甲继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内，
有0.5的概率被敌方发现，若被发现将失去攻击机会，且此时自身被击落的概率是0.6．若
没被发现，则发射导弹击中蓝方战舰概率是0.8，并可安全返回．命中战舰红方得10分，
蓝方不得分；击落战机蓝方得6分，红方不得分．
(1)从期望角度分析，甲是否应继续飞行进入到蓝方方圆50海里的范围内？
(2)若甲在返回途中发现敌方两架轰炸机，此时甲弹舱中还剩6枚导弹，每枚导弹命中轰炸机概率均为0.5．
（i）若甲同时向每架轰炸机各发射三枚导弹，求恰有一架轰炸机被命中的概率；
（ii）若甲随机向一架轰炸机发射一枚导弹，若命中，则向另一架轰炸机发射一枚导弹，若
不命中，则继续向该轰炸机发射一枚导弹，直到两架轰炸机均被命中或导弹用完为止，求
最终剩余导弹数量 的分布列．
12．我国出现了新冠疫情后，医护人员一直在探索治疗新冠的有效药，并对确诊患者进行
积极救治.现有6位症状相同的确诊患者，分成 两组， 组3人，服用甲种中药， 组
3人，服用乙种中药.服药一个疗程后， 组中每人康复的概率都为 ， 组3人康复的概
率分别为 .
(1)设事件 表示 组中恰好有1人康复，事件 表示 组中恰好有1人康复，求 ；
(2)求 组康复人数比 组康复人数多的概率.
