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专题 12.5 解题技巧专题：全等三角形中多解、动点、最值与
新定义型问题
目录
【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】....................................................................................1
【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】........................................................................................................7
【考点三 全等三角形中的动点最值问题】..........................................................................................................16
【考点四 全等三角形中的动点综合问题】..........................................................................................................22
【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】..................................................................................................35
【典型例题】
【考点一 利用三角形全等求时间或线段长的多解问题】
例题：（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形 中， ， ，延长 到点E，使
，连接 ，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿 运动，设点P的运动
时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形 中， ， ，点P从点A出
发，以 的速度沿 边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以 的速度沿
边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为
时，存在某一时刻， 与 全等．2．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图， ， ，动点 从点 出发（不含点
）以2个单位长度/秒的速度沿射线 运动，点 为射线 上一动点，且始终保持 ，当点 运
动 秒时， 与以点 ， ， 为顶点的三角形全等．
3．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形 中， ，
．动点P以 的速度从点A出发沿边 向点D匀速移动，动点Q
以 的速度从点B出发沿边 向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线 向点D匀速移动，
三点同时出发．连接 ，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、
M为顶点的三角形与 全等．
4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在 中，已知 是 的高，
，直线 ，动点 从点 开始沿射线 方向以每秒3厘米的速度运动，动点 也同时从点 开始在直线 上以每秒1厘米的速度向远离 点的方向运动，连接 ，设运动
时间为 秒；（1）当 为 秒时， 的面积为 ；（2）当 为
秒时， ．
【考点二 与全等三角形有关的多结论问题】
例题：（23-24七年级下·上海浦东新·期末）如图，在 中， ， 的角平分线 、
相交于点 ，过 作 交 的延长线于点 ，交 于点 ． 有下列结论：① ；
② ；③ ；④ ；其中正确的个数是（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在 中， 和 的平分线 ， 相交于
点O， 交 于E， 交 于F，过点O作 于D，下列三个结论：① ；
②若 ， ，则 ；③当 时， ；④若 ， ，
则 ．其中正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（22-23八年级上·山东日照·期末）如图， 中， 、 的角平分线 、 交于点P，
下列结论：
① 平分 ；
②点P到 三边所在直线的距离相等；
③若 、 分别垂直 ， 于M、N，则 ；
④ ．
其中正确的是（ ）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．①②③④
3．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图， 中， ， 于点D，过点A作
且 ，点E是 上一点且 ，连接 ， ，连接 交 于点G．下列结论中
正确的有（ ）个．
① ；② ；③ 平分 ；④ ．
A．2 B．3 C．4 D．54．（22-23八年级上·广东湛江·期中）如图，在 和 中， ， ， ，
．连接 ， 交于点M，连接 ．下列结论：
① ，② ，③ 平分 ，④ 平分 ．其中正确的结论个数有（ ）
个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点三 全等三角形中的动点最值问题】
例题：（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，锐角 的面积为10， 的平分线交
于点D，M、N分别是 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，在 中， ， ， ， ，
平分 ，点E是 上的动点，点F是 上的动点，则 的最小值为 ．
2．（23-24八年级上·陕西商洛·期中）如图，在 中， ， 平分 ，P为线段 上
一动点，Q为边 上一动点，当 的值最小时， 的度数为 ．3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在 中，
平分 ，若M，N为边 上的动点，那么
的最小值为 ．
4．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，在 中， 为 边上的中线， 是 的平分线，
， ，若E，F分别是边 和 上的动点，则 的最小值是 ．
【考点四 全等三角形中的动点综合问题】
例题：（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在 中， ，高 、 相交于点O，
，且 ．
(1)求线段 的长；(2)动点P从点O出发，沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发沿射线
以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达A点时，P、Q两点同时停止运动．
设点P的运动时间为l秒， 的面积为S，请用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，点F是直线 上的一点且 ．是否存在t值，使以点B、O、P为顶点的三
角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在 中， ， ， ，
，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为 ．
(1)如图①，当 时， ________cm；
(2)如图①，当 ________ 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图②，在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有一个
动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
2．（22-23七年级下·贵州贵阳·期末）如图，已知，点A，B在直线l两侧，点C，D在直线l上，点P为l
上一动点，连接 ， ，且 ．(1)【问题解决】如图①，当点P在线段 上时，若 ， ，则
（填“＞”或“＝”或“＜”）；
(2)【问题探究】如图②，当点P在 延长线上时，若 ， ，探究线段
， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，当点P在线段 上时，若 ，将 沿直线l对折得到
，此时 ，探究线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）平面直角坐标系中，点A，C分别是 轴和 轴上的动点，
．
(1)如图1，若 ，求点 的坐标
(2)如图2，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 的延长线于点F， 交 轴于点 ，若 平分
， ，求点 的纵坐标；
(3)如图3，当点 运动到原点 时， 的平分线交 轴于点 ， 为线段 上一点，将 沿翻折， 的对应边的延长线交 于点G，H为线段 上一点，且 ，求 的值（用
含 的式子表示）
4．（23-24七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，已知 中， ，点 为直
线 上的一动点（点 不与点 、 重合），以AD为边作 ，连接CE．
(1)发现问题：如图①，当点 在边 上时．
①请写出 和 之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证： ；
(2)尝试探究：如图②，当点 在边 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 、 、 之间存在的
数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．
(3)拓展延伸：如图③，当点 在 的
延长线上且其他条件不变时，若 ，求线段 的长．并求 的面积．
【考点五 全等三角形中的新定义型综合问题】
例题：（23-24八年级上·河南商丘·期中）阅读下列材料，并完成任务．筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，几何图形的定义通常可作为图形的性质也可以作为图
形的判定方法．也就是说，如图，若四边形 是一个筝形，则 ， ；若 ，
，则四边形 是筝形．
如图，四边形 是一个筝形，其中 ， ．对角线 ， 相交于点O，过点O作
， ，垂足分别为E，F，求证：四边形 是筝形．【变式训练】
1．（23-24七年级下·江苏南京·期末）定义：只有一组对角相等的四边形叫做等角四边形．如：在四边形
中，若 ，且 ，则称四边形 为等角四边形，记作 等角四边形．
【初步认识】
（1）如图 ，四边形 是 等角四边形， ， ，则 _____ ；
【继续探索】
（2）如图 ，四边形 是 等角四边形， 平分 ， 平分 ，求证： ；
（1）如图 ，已知 ，点 分别在边 上．在 的内部求作一点 ，使四边形
是 等角四边形，且 ．
（要求：用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）
2．（23-24八年级下·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以 的三边 ， ， 为边向三
角形外侧作正方形 ， 和 ，则称这三个正方形为 的外展三叶正方形，其中任意
两个正方形为 的外展双叶正方形．(1)作 的外展双叶正方形 和 ，记 ， 的面积分别为 和 ；
①如图（2），当 时，求证： ；
②如图（3），当 时， 与 是否仍然相等，请说明理由．
(2)已知 中， ， ，作其外展三叶正方形，记 ， ， 的面积和S，请
利用图（1）探究：当 的度数发生变化时， 的值是否发生变化？若不变，求出 的值；若变化，求
出 的最大值．
3．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在 中，把 绕点A顺时针旋转α(
)得到 ，把 绕点A逆时针旋转β得到 ，连接 ．当 时，我们称
是 的“旋补三角形”， 边 上的中线 叫做 的“旋补中线”，点A叫做
“旋补中心”．(1)【探索一】如图1， 是 的“旋补三角形”， 是 的“旋补中线”，探索 与
的数量关系．
在探索这个问题之前，请先阅读材料：
【材料】如图2在 中，若 ， ．求 边上的中线 的取值范围．是这样思考的：延
长 至E，使 ，连结 ．利用全等将边 转化到 ，在 中利用三角形三边关系即可求
出中线 的取值范围．中线 的取值范围是 ．
请仿照上面材料中的方法，猜想图1中 与 的数量关系，并给予证明．
(2)【探索二】如图3，当 时， 是 的“旋补三角形”， ，垂足为点E，
的反向延长线交 于点D，探索 是否是 的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，
请说明理由．
