文档内容
第 05 讲 三角函数的图象与性质
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：三角函数的定义域
高频考点二：三角函数的值域
高频考点三：三角函数的周期性
高频考点四：三角函数的奇偶性
高频考点五：三角函数的对称性
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
角度3：根据三角函数的单调性求参数
高频考点七：三角函数中 的求解
角度1： 的取值范围与单调性相结合
角度2： 的取值范围与对称性相结合
角度3： 的取值范围与三角函数的最值相结合
角度4： 的取值范围与三角函数的零点相结合
角度5： 的取值范围与三角函数的极值相结合
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 05 讲 三角函数的图象与性质（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 )函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心
对称轴方程 无
递增区间
递减区间 无
2、三角函数的周期性
函数
周期
函数
周期
函数
( ) ( ) ( )
周期
其它特殊函数，可通过画图直观判断周期
(1)函数 的最小正周期 ．应特别注意函数 的周期为
，函数 ( )的最小正周期 ．(2)函数 的最小正周期 ．应特别注意函数 的周期为
．函数 ( )的最小正周期均为 ．
(3)函数 的最小正周期 ．应特别注意函数 |的周期为
，函数 ( ) 的最小正周期均为 ．
3、三角函数的奇偶性
三角函数 取何值为奇函数 取何值为偶函数
( )
( )
( )
( )
( )
(1)函数 是奇函数⇔ ( )，是偶函数⇔ ( )；
(2)函数 是奇函数⇔ ( )，是偶函数⇔ ( )；
(3)函数 是奇函数⇔ ( )．
4、三角函数的对称性
(1)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(2)函数 的图象的对称轴由 ( )解得，对称中心的横坐标由
( )解得；
(3)函数 的图象的对称中心由 )解得．
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】A
【详解】
∵函数 ，
∴函数 为最小正周期为 的奇函数.
故选：A.
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数 的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故选：C
3．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，所以 .
故 的定义域为 .
故选：A
4．（2022·陕西西安·三模（文））下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
当 时， ，显然该集合是 的子集
此时函数 单调递减，不符合题意；
当 时， ，显然该集合不是 的子集
此时函数 不单调递增，不符合题意；
当 时， ，显然该集合是 的子集
此时函数 单调递增，符合题意；
当 时， ，显然该集合不是 的子集
此时函数 不单调递增，不符合题意，
故选：C
5．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）已知函数 的图象关于点 中心对称，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数 的图象关于点 中心对称，
所以 ，则 ，即 ,
故 的最小值为 .
故选：B
6．（2022·江西景德镇·三模（理））函数 为偶函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
函数 为偶函数，
则有 ，解之得 ，令 ，则有
则函数 为偶函数的一个充分条件为
故选：C
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：三角函数的定义域
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
依题意 ，
所以 的定义域是 .
故选：D
例题2．（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
由 ，可得 ，则则函数 的定义域为
故选：C
例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数 定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由函数式知： ，
∴ ，即 .
故选：B.
题型归类练
1．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【详解】
令 ，解得： ， ，
定义域为 ， .
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
由 ，因为 ，所以 ，
即 ，
故选：A
高频考点二：三角函数的值域
例题1．（2022·陕西·长安一中高二期中（文））函数 最小正周期和最大值分别是
（ ）
A． 和 B． 和5
C． 和 D． 和5
【答案】C
且 ，
所以最小正周期 和最大值为 .
故选：C
例题2．（2022·北京师大附中高一期中）已知 的最大值为5，则 可以为
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
当 时， ，其中 ，函数最大值为 ，故A错误；
当 时， ，函数最大值为5，B正确；
当 时， ，其中 ，函数最大值为 ，故C错误；
当 时， ，函数最大值为1，故D错误.
故选：B例题3．（2022·河南·南阳市第二完全学校高级中学高一阶段练习）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
令 ， ，
可得 ， ，
，故 .
故选：B.
例题4．（2022·北京通州·高三期末）函数 是（ ）
A．奇函数，且最大值为2 B．奇函数，且最大值为1
C．偶函数，且最大值为2 D．偶函数，且最大值为1
【答案】D
由题意， ，
，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 即 时， 取最大值1.
故选：D.
例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 的定义域为 ，值域为
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由 的值域为 ,可得 ，由 可得 ，所以 ，
解得 ，所以a的取值范围是 ，
故选:C
例题6．（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
设 ,因为 ，所以 ，
因为正切函数 在 上为单调递增函数，且 ,
所以 ．
∴函数 的值域为 ，
故选：A．
例题7．（2022·安徽·砀山中学高一期中）函数 ， 的值域为______．
【答案】
因为 ，所以 ，
，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .题型归类练
1．（2022·安徽·高一期中）函数 （ ）的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【详解】
．
令 ，则 ．而 在 上单增，
所以当 时， ．
故选：A．
2．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高一期中）函数 的最大值与最小值的和是
（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
令 ，则 ， ，
，
所以当 时， 有最大值 ，
当 时， 有最小值 ，
所以最大值与最小值的和是 ，
故选：C
3．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：因为
所以当 时 取得最小值 ；故选：C
4．（2022·四川乐山·高一期末）函数 ，则 的最大值为（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】C
，
令 ，则 ，
当 时， ，
故选：C．
5．（2022·全国·高一课时练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
根据正切函数的性质，可知：
在 上单调递增，
当 时， ；
当 时， .
所以
，
由 在 或 上单调递减，可得：
当 时， ；
当 时， .
所以函数 的值域是 .
故选：
6．（2022·上海·华师大二附中高一期中）函数 的值域是A． B． C． D．以上均不对
【答案】C
∵ ，且函数 在 上为增函数，
∴ ，即 .
∴ .
故选C.
7．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）函数 ， 的值
域为______．
【答案】
解：因为 ，所以 ，
，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
8．（2022·全国·高三专题练习）当 时，函数 的最大值为______．
【答案】-4
由题意得
所以 ，
当 时， ，
设
所以 ，所以当 时，函数 取最大值 .
所以 的最大值为-4．
故答案为：
高频考点三：三角函数的周期性
例题1．（2022·上海闵行·高一期中）函数 的最小正周期为_______________.
【答案】
解：由正切函数的周期公式得： ．
故答案为： ．
例题2．（2022·全国·高一）函数 的最小正周期是____
【答案】1
函数 的最小正周期 .
故答案为：1
例题3．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）函数 的最小正周期为
___________.
【答案】 ##
因为 ，
，
如下图所示：
结合图形可知，函数 的最小正周期为 .故答案为： .
例题4．（2022·河南南阳·高一期中）下列6个函数：① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.
【答案】①③⑤
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 都是偶函数，
由函数的图象如如所示，可知 ， ， 的最小正周期都是 ， ，
不是周期函数， ，最小正周期为 ，故答案为：①③⑤
题型归类练
1．（2022·上海·高三专题练习）函数 的最小正周期为___________.
【答案】2
解： 的周期为 ，
故答案为：2
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）函数 的最小正周期为____
【答案】
由余弦函数的性质知：最小正周期 .
故答案为：
3．（2022·上海市七宝中学高一期中）函数 的最小正周期是_________.
【答案】
解：
所以函数的最小正周期
故答案为： ．4．（2022·广西梧州·高二期中（文））函数 的最小正周期为________．
【答案】
，所以最小正周期为 ，
故答案为：
5．（2022·山东德州·高一期中）在下列函数中，以 为周期且在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由于 可以由函数 的图象保持x轴上方部分不动，将x轴下方部分翻折到x轴上方而
得到，故其周期为 ，
又 时， 是单调增函数，故A正确；
由于 时， 是单调减函数，故B不正确；
由于 时， 是单调减函数，故C不正确；
由于 时， 是单调减函数，故D不正确；
故选： ．
6．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知函数：① ，② ，③ ，④ ，
其中周期为 ，且在 上单调递增的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】B
【详解】函数 的周期为 ，且在 上单调递增，故①正确；
函数 不是周期函数，故②不正确；
函数 的周期为 ，且在 上单调递增，故③正确；
函数 的周期为 ，故④不正确.
故选：B
高频考点四：三角函数的奇偶性
例题1．（2022·上海市控江中学高一期中）函数 的奇偶性为________函数.（填“奇”、
“偶”或“非奇非偶”）
【答案】偶函数
由已知条件得 ，
则 ，
故函数为偶函数；
故答案为：偶函数.
例题2．（2022·上海市建平中学高一阶段练习）函数 是奇函数，那么常数
的最大值为______
【答案】为奇函数， ，
解得： ，又 ， 当 时， .
故答案为： .
例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）下列函数中，偶函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A， 为奇函数，故A不正确；
对于B， 为奇函数，故B不正确；
对于C， 为奇函数，故C不正确；
对于D， 为偶函数，故D正确.
故选：D
例题4．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A， ， ， ，故 为非奇非偶函数，
对于B， ，定义域为 ， ， 为偶函数，
对于C， ， 为偶函数，
对于D，易知定义域为R, ， ， 为奇函数．
故选：D
例题5．（2022·北京·模拟预测）下列函数中，定义域为 的偶函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
对于A，根据指数函数的性质知，函数 为非奇非偶函数，不符合题意；
对于B，函数 满足 为偶函数，但定义域为，不为 ，不符合题意；
对于C，函数 为偶函数，但定义域为 ，不为 ，不符合题意；
对于D，函数 ，定义域为 ，且满足 为偶函数，符合题意.
故选：D.
例题6．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数 是（ ）
A．周期为 的偶函数 B．周期为 的奇函数
C．周期为 的偶函数 D．周期为 的奇函数
【答案】B
解： ，
所以函数的最小正周期 ，且为奇函数；
故选：B
例题7．（2022·山西晋中·高一期末）已知 ，若 ，则 ______．
【答案】
【详解】
由于 ，即 ，故 ，令 ，则
，即 在定义域内是奇函数，满足
，则 ，故
．
故答案为：
题型归类练
1．（2022·上海南汇中学高一期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
对于A，函数为奇函数， ，对于B，函数为非奇非偶函数， ，
对于C，函数为奇函数， ，
对于D， ，函数为奇函数， ，
故选：D
2．（2022·北京·汇文中学高一期中）已知函数 ，则该函数为（ ）
A．奇函数，最小值为 B．偶函数，最大值为
C．奇函数，最小值为 D．偶函数，最小值为
【答案】D
【详解】
由 ，定义域为 ，
， 是偶函数，
又 ，
时， ．
故选：D．
3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数中是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A： ，故 为奇函数；
B： ，故 为奇函数；
C： ，故 为偶函数；
D： ，故 为奇函数.
故选：C
4．（2022·辽宁·沈阳市奉天高级中学高一期中）若 是奇函数，则常数 的一个取值为
___________.
【答案】 （答案不唯一）
【详解】
依题意， 是奇函数，函数 是奇函数，所以 是奇函数，
所以 .
故答案为： （答案不唯一）
5．（2022·山东·高一阶段练习）已知 是奇函数，则 的值可以为___________.
【答案】
【详解】
根据诱导公式可知，当 时，
，而 为奇函数，
所以 的值可以为 .
故答案为： （答案不唯一）
6．（2022·北京市第五十中学高一期中）已知函数 ，则 的奇偶性及最小值
分别为( )
A．奇函数， B．偶函数，
C．奇函数， D．偶函数，
【答案】D
，
∵f(x)定义域为R关于原点对称，且 ，∴f(x)为偶函数，
根据二次函数性质可知，当 时，f(x)取最小值 ．
故选：D．
7．（2022·山东聊城·高一期末）已知函数 ，若 ，则
（ ）
A．5 B．3 C．1 D．0
【答案】A
依题意，令 ，则 是奇函数， ，
于是得 ，所以 .
故选：A
8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知函数 （ ， ， 为实数），
且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．4045
【答案】C
设 ， ，
则 ，是奇函数，
，所以 ，
．
故选：C．
高频考点五：三角函数的对称性
例题1．（2022·北京八中高一期中）函数 的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由 ，令 ,
解得 ，即函数的对称轴为： ，
当 时， ，
故选：C
例题2．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）函数 图像的一条对称轴方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，令 ,
解得 ，即函数的对称轴为： ，
当 时， ，
故选：B
8．（2022·海南·模拟预测）函数 的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解：令 ，则 ，
所以函数 的图象的对称中心为 ，故AB不是函数图象的对称中心；
令 ，则 ，故 不是函数图象的对称中心；
令 ，则 ，故 是函数图象的对称中心.
故选：D.
例题3．（2022·吉林长春·三模（文））函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，可得
当 时， ，当 时，
当 时， ，所以 为 的一个对称中心
故选：D
例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）若 是函数 图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为 是函数 图象的对称轴，
所以 ，故 ，
所以 ，故 的最小正周期的最大值为 ，
故选：D.
例题5．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））若函数 的图象关于直
线 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【详解】
解：因为 ，所以 ，其中 ， ；
因为 为 的对称轴， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ；
故选：C
题型归类练
1．（2022·河南南阳·高一期中）函数 的图象的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由于正弦函数的性质，有 ，即 ，当 时， ，
故选：D
2．（2022·重庆·三模）函数 的图象的一条对称轴为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：令 ，则 ，
即函数 的图象的对称轴为 ，
当 时， .
故选：B.
3．（2021·全国·高一课时练习）函数 图象的一个对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，可得 ．
所以当 时， ，故 满足条件，
当 时， ，故 满足条件；
故选：D
4．（2022·广东·模拟预测）函数 的一个对称中心是（ ）
A．（0，0） B．（ ，0） C．（ ，0） D．以上选项都不对
【答案】B
【详解】因为 的对称中心为
所以令 ，
当k=1时， ，即（ ，0）为函数 的一个对称中心.
经检验，其他选项不成立.
故选：B
5．（2022·全国·高一单元测试）函数 图象的对称中心的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，得 ，
故函数 图象的对称中心的坐标为 .
故选:D.
6．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 的对称中心坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令 ），
解得 ，
故函数的对称中心为 ，
故选：D．7．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数 的最小正周期为 ，且其图
象关于直线 对称，则函数 图象的一个对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
∵函数的最小正周期为 ，
∴ ，则 ，
则 ，
∵图像关于直线 对称，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴当 时， ，
则 ，
由 ，解得 ，
当 时， ，
即函数 图象的一个对称中心为 .
故选：B.
8．（2022·江西·高一期中）已知函数 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 的图象关于直线 对称，所以 ，即 ，解得 ，则 ．
故选：B
高频考点六：三角函数的单调性
角度1：求三角函数的单调区间
例题1．（2022·山东日照·模拟预测）下列区间中，函数 单调递减的区间是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
的单调递减区间即函数 的单调递增区间，令
,解不等式得到 ，令 得 ，
，
所以 是函数的单调递减区间，其他选项均不符合，
故选：B
例题2．（2022·河北·高三阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题意，函数 ，
令 ，解得 ,
所以函数 的单调递减区间为 .
故选：B.例题3．（2022·甘肃张掖·高一期末）函数 的单调递减区间是（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【详解】
解： ，令 ， ，解得 ， ，
故函数的单调递减区间为 ；
故选：A.
例题4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数 单调
递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 ，令 ，解得 ，
所以函数的单调递增区间为 ，当 时可得函数的一个单调递增区间为
，因为 ，所以函数在 上单调递增；
故选：D
例题5．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
令 ，解得 ，所以函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
例题6．（2022·河南·模拟预测（理））函数 在下列区间单调递减的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
当 时，即 时单调递减，令 ，得
是 的单调递减区间.
故选:B．
角度1题型归类练
1．（2022·湖南·高一课时练习）y＝cos 在[0，π]上的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由 的单调递减区间为 ，可得 ，解得 ，
又 ， 时， .
故选：D.
2．（2022·江西·高一期中）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【详解】
解：由 ，可得 ，
即 ，所以 的单调递增区间是 .
故选：A．
3．（2022·湖南·高一课时练习）函数 的单调递增区间是（ ）
A． (k∈Z)
B． (k∈Z)
C． (k∈Z)
D． (k∈Z)
【答案】D
【详解】
由 可得
所以该函数的单调增区间为 ( )．
故选：D
角度2：根据三角函数的单调性比较大小
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) ， ； (2) ， ；
(3) ， ； (4) ， ．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】
(1) 在区间 上递增，所以 .(2) 在区间 上递增，所以 .
(3) ， ，
在区间 上递增，所以 .
(4) 在区间 上递减，所以 .
例题2．（2022·湖南·高一课时练习）利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) ， ；(2) ， ．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)因为 在 上单调递增，
而 ，
所以
(2)因为 在 上单调递增，
因为 ，
而 ，
所以 ，
即 .
例题3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）下列不等式中，正确的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，A错误；
，B正确；
，故 ，C错误；
，D错误；
故选：B.
例题4．（多选）（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
解：因为余弦函数 是偶函数，比较 与 即可，
因为 ，所以 ，即 ，A正确；
，正弦函数 ，在（ ， ）上单调递减，且 ，
所以 ，即 ，B正确；
因为 ，且 在 内单调递增，
所以 ，C错误；
因为 ，则 ，D正确．
故选：ABD
角度2题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A选项， ，
因为正切函数 在 上为增函数，且 ，
所以， ，即 ，A选项错误；
对于B选项，由于正切函数 在 上为增函数，且 ，
所以， ，B选项错误；
对于C选项， ， ，
因为余弦函数 在 为减函数，且 ，
所以， ，即 ，C选项正确；
对于D选项，由于正弦函数 在 上为增函数，且 ，
所以， ，D选项错误.
故选：C.
2．（多选）（2022·安徽·界首中学高一期末）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
对于A选项，因为正弦函数 在 上单调递增，且 ，则 ，
A选项正确；对于B选项，因为余弦函数 在 上为减函数， ，
，因为 ，则 ，即 ，B选项不正确；对于C
选项，当 时，正切函数 单调递增，因为 ，所以
，C项不正确；对于D选项，因为正弦函数 在 上单调递增，又因为，所以 ，D项正确．
故选：AD.
3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
对于A， 在 上单调递增，又 ， ，A正确；
对于B， 在 上单调递减，又 ， ，B错误；
对于C， ，又 ， ，C正确；
对于D， ， ，
又 ， ，D正确.
故选：ACD.
4．（多选）（2022·山东临沂·高一期末）下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】
对于A， ， ， ，
函数 在 上单调递增，则 ，A不正确；
对于B， ， ，而 ，
函数 在 上单调递增，则 ，B正确；
对于C， ， ，则 ，C不正确；
对于D， ， ，即 ，D正确.故选：BD
5．（2022·湖南·高一课时练习）比较大小：tan ________tan .
【答案】
【详解】
根据三角函数的诱导公式，可得 ，
，
因为 ，且函数 在 上为单调递增函数，
所以 ，所以 .
故答案为：
6．（2022·湖南·高一课时练习）利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1) ， ；(2) ， ；(3) ， ．
【答案】(1) (2) (3)
(1)因为 ， ，所以 ， ，故 ；
(2)因为 ，且 在 上单调递减，故 ；
(3) ， ，因为 ，且
在 上单调递增，所以 ，所以 ，故
7．（2022·全国·高一课时练习）比较下列两个正切值的大小：
(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ，tan ．
【答案】(1)tan 167°0），对任意x∈R，都有 ≤
，并且 在区间 上不单调，则ω的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】
解： 对任意 ，都有 ，
为函数的最大值，则 ， ，
得 ， ，
在区间 ， 上不单调，
，
即 ，即 ，得 ，
则当 时， 最小.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 ．在 内的值域为 ，则 的取
值范围是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为 ，所以 ，
又因为 的值域为 ，结合余弦函数图象（如下图）：
可知 ，所以解得 ，
故选：D.
3．（2021·全国·高一专题练习）已知 在区间 上的最大值为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ，即 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ．
故选：A．
4．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数 在 处取得最大值，且 ，若函数 在 上是单调的，则 的最大值为______．
【答案】 ##11.25
【详解】
由题意，函数
满足 ， ，
可得 ， ，
两式相减得 ，其中 ，
解得 ，
又由 ，可得 ，
即 ，解得 ，
故m的最大值为8，
此时 取得最大值 ．
故答案为：
角度4： 的取值范围与三角函数的零点相结合
例题1．（2022·吉林·模拟预测（理））已知函数 在 上有且仅有 个零
点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，当 时， ，
因为函数 在 上有且仅有 个零点，则 ，解得 .
故选：B.
例题2．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数 在 上有且只
有5个零点，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为 ，
令 ，即 ，
所以， 在 上有且只有5个零点，
因为 ，所以 ，
所以，如图，由正弦函数图像，要使 在 上有且只有5个零点，
则 ，即 ，
所以实数 的范围是 .
故选：C
角度4题型归类练
1．（2022·北京外国语大学附属上海闵行田园高级中学高一期中）设 ， 若函数 在区间
上恰有两个零点， 则 的取值范围为 .
【答案】 或
由 得 即 ，∵函数 在区间 上恰有两个零点，
∴ ，即满足 的k恰有两解，
又 ，所以 取2,3或3,4，
当k取2,3时， 且 ，即 ，
当k取3,4时， 且 ，即 ，
所以 的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
2．（2022·上海市七宝中学高三期中）已知函数 （其中 为常数，且 ）有且
仅有 个零点，则 的最小值为_______
【答案】2
由 得 ,
,
设 ,则
作出 与 的图象如图
则 ,得 ,
即 的最小值是 ,
故答案为: .
角度5： 的取值范围与三角函数的极值相结合
例题1．（2022·北京市第十九中学高一期中）若函数 （ ）在区间 上恰好取到3次最
小值，请写出一个符合题意的 的值：___________.【答案】3（只要符合 即可）
由 ， 得
因为函数 （ ）在区间 上恰好取到3次最小值，
所以 ，故
则 的值可以是3
故答案为：3（只要符合 即可）
例题2．（2022·河南洛阳·三模（理））若函数 在 上有且仅有6个极值点，
则正整数 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】
设 ，则当 时，
由 在 上有且仅有6个极值点，则 在 上有且仅有6个极值点.
如图由正弦函数的图像性质可得
解得 ，所以正整数 的值为3
故选：B
角度5题型归类练
1．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））已知函数 ， ，函
数 在 上有且仅有一个极小值但没有极大值，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ ，∴ ．又 ，∴ ．
当 时，函数取到最小值，此时 ， ．解得 ， ．所以当 时， .
故选：C．
2．（2022·重庆·三模）已知函数 在区间 内有唯一的极值点，则 的取值范
围是___________.
【答案】
【详解】
函数 ，由于 ，
所以 ，
根据正弦函数的图象，以及 在区间 内有且只有一个极值点，
所以 且 ，所以 ．
故 的取值范围是 .
故答案为： .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为函数 的单调递增区间为 ，对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
2．（2021·全国·高考真题（文））函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【详解】
由题， ，所以 的最小正周期为
，最大值为 .
故选：C．
3．（2019·全国·高考真题（理））设函数 =sin（ ）( ＞0)，已知 在 有且仅有5个
零点，下述四个结论：
① 在（ ）有且仅有3个极大值点
② 在（ ）有且仅有2个极小值点
③ 在（ ）单调递增
④ 的取值范围是[ )
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D【详解】
当 时， ，
∵f（x）在 有且仅有5个零点，
∴ ，
∴ ，故④正确，
由 ，知 时，
令 时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当 时， ，
若f（x）在 单调递增，
则 ，即 ，
∵ ，故③正确．
故选D．
4．（2019·全国·高考真题（理））下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A
【详解】
因为 图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为 ，周期为 ，排除C，作
出 图象，由图象知，其周期为 ，在区间 单调递增，A正确；作出 的图象，由
图象知，其周期为 ，在区间 单调递减，排除B，故选A．5．（2019·北京·高考真题（理））函数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
【答案】 .
函数 ,周期为
6．（2019·全国·高考真题（文））函数 的最小值为___________．
【答案】 .
【详解】
，
， 当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
7．（2021·浙江·高考真题）设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.【答案】（1） ；（2） .
（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，
，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
8．（2019·浙江·高考真题）设函数 .
（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；
（2）求函数 的值域.
【答案】（1） ；（2） .
(1)由题意结合函数的解析式可得： ，
函数为偶函数，则当 时， ，即 ，结合 可取 ，相
应的 值为 .
(2)由函数的解析式可得：.
据此可得函数的值域为： .
第五部分：第 05 讲 三角函数的图象与性质（精练）
1．（2022·江苏连云港·模拟预测）如果函数 满足 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为函数 满足 ，所以 的图象关于 对称，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的最小值为 .
故选：B
2．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数 ，则f（x）（ ）
A．在（0， ）单调递减 B．在（0，π）单调递增
C．在（— ，0）单调递减 D．在（— ，0）单调递增
【答案】D
【详解】
，
故当 时， ，所以 不单调，AB错误；当 时， ， 在 上单调递增，
故D正确
故选：D
3．（2022·福建宁德·模拟预测）函数 的周期为2，下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C．f（x）在[ ， ]上单调递增
D． 的图像关于直线 对称
【答案】C
【详解】
由 可知， ,由此可知选项 不正确；
由 可知， ，
即 是偶函数，由此可知选项 不正确；
由 ，解得 ,
当 时，区间 上为单调递增，由此可知选项 正确；
由 ，解得 ，
则直线 不是 的对称轴，由此可知选项 不正确；
故选： .
4．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数 在区间 上恰有两个最小值点，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】
令 ，因为 ，所以 ，
问题转化为函数 在 时恰有两个最小值点，
所以有 ，因为 ，所以 ，
故选：A
5．（2022·北京昌平·二模）“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
当 时， 满足在区间 上单调递减，即由“ ”可推出“函数
在区间 上单调递减”，
反之由“函数 在区间 上单调递减”推不出“ ”，如 时，
也满足在区间 上单调递减，
∴“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的充分而不必要条件.
故选：A.
6．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）若函数 是周期函数，
最小正周期为 ．则下列直线中， 图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 最小正周期为 ，故 恒成立，故 ， ，代入得 ，所以，
令 ，可得对称轴为 ，故结合选项，函数 图象的对称轴为 ，
其它直线均不是函数图象的对称轴.故选：B
7．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）A． 的图象关于直线 对称 B． 的图象关于点 对称
C． 有2个零点 D． 是偶函数
【答案】B
【详解】
显然， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且
，
记 ，则有 ，
故 是奇函数，选项D错误.
又
故 的图象关于点 对称，选项B正确，选项A错误；
令 ，则有 ，即 或 ，
解得 或 ，即 ， 或 ，
故 有3个零点，选项C错误.
故选：B
8．（2022·广西师范大学附属外国语学校模拟预测）声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯
音的数学模型是函数 ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模
型是函数 ；以下几个结论：
① 是 的一个周期；
② 在 上有3个零点；
③ 的最大值为 ；
④ 在 上是增函数.
则正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】
的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ，
所以 的最小正周期是 ，故①正确；当 ， 时，
，即 ，
即 或 ，解得 或 或 ，
所以 在 上有3个零点，故②正确；
因为 的周期为 ，所以只需求 在 上的最大值，
，
令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，此时 ，则 在 ， 上单调递增，
当 时， ，此时 但不恒为0，则 在 上单调递减，因为
， ，则当 时，函数 取得最大值 ，故③正确，④错误.
故答案为：B.
二、填空题
9．（2022·河北邯郸·模拟预测）请写出一个函数表达式___________满足下列3个条件：①最小正周期
；②在 上单调递减；③奇函数
【答案】
【详解】
根据三角函数的图像与性质，可以写出 ， 等函数表达式，都满足条件.
故答案为： （答案不唯一）
10．（2022·山东德州·高一期中）已知函数 的相邻两个零点之间的距离是 ，则
______．
【答案】1
【详解】
函数 的相邻两个零点之间的距离是 ，则有 的周期 ，解得 ，
于是得 ，所以 .
故答案为：111．（2022·陕西·长安一中高一期末）已知函数 ，则下列说法正确的有________.
① 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
② 在 上单调递增
③ 在 内有2个零点
④ 在 上的最大值为
【答案】②③
【详解】
由函数 ，
对于①中，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 ，所以①不正确；
对于②中，令 ，解得 ，
当 时，可得 ，即函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，所以②正确；
对于③中，令 ，可得 ，解得 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 ，
所以 在 内有2个零点，所以③正确；
对于④中，由 ，可得 ，
当 时，即 时，函数取得最大值，最大值为 ，所以④不正确.
故答案为：②③.
12．（2022·湖南·长沙一中高二阶段练习）已知函数 ， ，有三个不同的
零点 ，且 ，则 的范围是________.
【答案】【详解】
解：依题意函数 ， ，
有三个不同的零点 ，且 ，
令 ，得 ，
令 ，画出函数 ， 的图象如图，
由图可知 关于直线 对称， 关于直线 对称，而 ，
所以 .
故答案为：
三、解答题
13．（2022·北京师大附中高一期中）设函数 ， ．
(1)求 的单调递减区间；
(2)若曲线 的对称轴只有一条落在区间 上，求 的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【解析】
(1)由题设 ，令 ， ，则 ， ，
所以 的单调递减区间为 ， .
(2)令 ， ，则 ， ，
又 对称轴只有一条落在 上，则 .
14．（2022·北京市第二十五中学高一期中）已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值；
(3)设函数 ，求函数 在 上的最小值和最大值，并求出此时对应的
x值．
【答案】(1) (2) (3) 时 ， 时
【解析】
(1)解：因为 ，
所以
(2)解：因为 ，所以
(3)解：因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以
所以当 ，即 时 ；
当 ，即 时
15．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期；(2)求函数 的单调递减区间；
(3)当 时，求证： .
【答案】(1) (2) (3)证明过程见解析
【解析】
(1)
，
则函数 的最小正周期 ；
(2)令 ， ，
解得： ，
故函数 的单调递减区间是 ；
(3)证明： 时， ，
所以 ，即 .
