5.3三角函数的性质（精讲）（学生版）_02高考数学_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）_学生版

5.3 三角函数的性质（精讲） 一.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图:“五点法”作图原理： 1.正弦函数与余弦函数的图像画法 在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． 在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)， 振幅 周期 频率 相位 初相 x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 三．伸缩平移 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”. 2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.一．求三角函数周期的方法 1.定义法； 2.公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T ＝； 3.图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期． 二．三角函数的定义域 求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象． 三．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型： 1.形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)； 2.形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 3.形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值 域(最值)； 4，形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法，也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式 反解求值域(最值)． 四．三角函数的单调性 ①先把ω化为正数 ②化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 ③把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内解x． 五．三角函数的对称性 1.对称轴：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令 ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ kπ(k∈Z)，求x即可. 2.对称中心：对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝ (k∈Z)，求x即可. 六．三角函数的奇偶性七．三角函数的伸缩平移 八．三角函数中的ω的求解 1.若已知三角函数的单调性，则转化为集合的包含关系，进而建立ω所满足的不等式(组)求解； 2.若已知函数的对称性，则根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以研究ω的取值； 3.若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于 ω的不等式(组)， 进而求出ω的值或取值范围. 九．易错点： 对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 考法一 三角函数的周期 【例1-1】（2023·北京）在下列四个函数，① ② （3） ④中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④ 【例1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（ ） A． B． C． D． 【例1-3】（2022秋·河北）函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2023·湖南）给出下列函数： ① ；② ；③ ；④ ． 其中最小正周期为 的有（ ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ 2．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D．不能确定 3．（2023北京）下列函数中，最小正周期为 的是（ ） A． B． C． D．4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示， 则 （ ） A．1 B． C．2 D． 考法二 三角函数的对称性与奇偶性 【例2-1】（2023·海南）设函数 的图象关于直线 对称，则 等于 （ ） A． B． C． D． 4π   ,0 【例2-2】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 f(x)2cos(3x)的图象关于点 3 对称，那么  的最小值为________． 【例2-3】（2023·广东）函数 是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 【例2-4】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数 为偶函数，则 的一个值可以是（ ） A． B． C． D． 【一隅三反】 π f(x)sin(x )(0) 1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若对于任意实数x，都有 3 π f(x)f( x)，则 的最小值为（ ） 3  5 A．2 B． C．4 D．8 2 2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）函数 图象的对称轴可以是 （ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数 的图象关于坐标原 点对称，则 的可能取值为（ ） A． B． C． D．  π  π f xsin2x ,(0 ) 4．（2022秋·辽宁锦州·高三校考阶段练习）函数  6  2 是偶函数，则____． 考法三 三角函数的定义域与值域   ylog 2cosx 3 【例3-1】（2023春·上海静安）函数 3 的定义域是__________.f x2 3sinx2cosx 【例3-2】（2023春·北京昌平） 的最大值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8  π 【例3-3】（2023云南）函数 f xcosx 3sinx在  0, 2   的最大值是（ ） 3 A．2 B．0 C．1 D． f xcosxcos2x 【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）函数 是（ ） 9 A．奇函数，且最大值为 B．偶函数，且最小值为 2 8 9 9 C．奇函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为 8 8 ysin2x2sinx 【例3-5】（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）函数 的最大值为__________．  1 1, 【例3-6】（2023·安徽）设函数ysinx定义域为 a,b ，值域为   2  ，则ba的最大值为______ 【一隅三反】  π y 1tanx  4x2 1．（2023春·辽宁本溪）函数  4 的定义域为________． tanx1 y  π 2．（2023春·辽宁沈阳）函数 tanx 的定义域为______．  6 π  y3sinx2 x0 3.（2023·福建）函数  2 最大值为（ ） A．2 B．5 C．8 D．7 2cosx f(x) 4．（2023春·四川南充）函数 的值域为______. 2cosx π   π x  ,m  f xcos3x  5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）当 6 时，函数  3的值  3  1,  域是 2 ，则m的取值范围是（ ）   π 7π 2π 7π , ,     A．9 18 B． 9 18 π 5π 2π 5π , ,     C．9 18 D． 9 18 考法四 三角函数的单调性  π y3sin 2x   【例4-1】（2023湖北）函数  6的单调递增区间是（ ）  π 5π  π π kπ ,kπ ,kZ kπ ,kπ ,kZ     A． 3 6  B． 6 3  π 5π  π π 2kπ ,2kπ+ ,kZ 2kπ ,2kπ ,kZ     C． 3 6  D． 6 3 【例4-2】（2023·辽宁朝阳）（多选）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递增的是 （ ）A． B． C． D． asin0.9,b0.9,ccos0.9 a,b,c 【例4-3】（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）已知 ，则 的大小关系 是（ ） A．abc B．bca C．bac D．cba 【一隅三反】 f xsinx 3cosxx0,π 1．（2023春·山东）函数 的单调递增区间是（ ）  5   5 π  π   π  0, π  π,  ,0  ,0         A． 6  B． 6 6 C． 3  D． 6  x x 3．（2023春·广西）已知函数 f(x)cos2 sin2 ，则（ ） 2 2  π π  π π  A． f x 在    2 , 6  上单调递减 B． f x 在    4 , 12  上单调递增 C． f x 在    0, π 3   上单调递减 D． f x 在    π 4 , 1 7 2 π  上单调递增  π 4．（2023春·上海长宁）在下列函数中，既是0, 上的严格增函数，又是以 为最小正周期的偶函数的函  2 π 数是（ ） ysin2x ycos2x A． B． y sinx ysin x C． D．考法五 函数的伸缩平移 【例5-1】（2022·江西·南昌十中高三阶段练习）将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，得到关于 轴对称的图象，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【例5-2】（2022·陕西·二模）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ） A．向左平移是 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向右平移登 个单位长度 D．向右平移 个单位长度    f xcos2x  【例5-3】（2023·全国·高三专题练习）把函数  3的图象向右平移 3 个单位长度，再把横 1 gx gx 坐标压缩到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ） A．最小正周期为2 B．奇函数 2  g xgx C．偶函数 D．  3  【一隅三反】 f(x)sinx 3cosx  g(x) 1．（2023·北京·高三专题练习）已知的 图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x) || 的图象，且 的图象关于y轴对称，则 的最小值为（ ） π π π 5π A． B． C． D． 12 6 3 122．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象 （ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 3．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）将函数 图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再 向右平移 个单位，所得图象对应的函数（ ） A．在区间 上单调递增 B．在区间（ ， ）上单调递减 C．图象关于点（ ，0）对称 D．图象关于直线 对称 4．（2022·安徽滁州）若将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再 向下平移一个单位得到函数 的图象，则函数 （ ） A．图象关于点 对称 B．图象关于 对称 C．在 上单调递减 D．最小正周期是 考法六 由图象确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式 【例6-1】（2022·山东·烟台二中）若函数 的部分图象如图所示，则 和 的值是（ ）A． ， B． ， C． ， D． ， 【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数 ，则这段曲线的函数解析式可以为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ，  π 【例6-3】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）（多选）函数 f(x)sin(x)0,|| 的  2 f x 部分图象如图所示，则下列关于函数 的说法正确的是（ ） f x π A． 的最小正周期为7π  B． f x 的图象关于  12 ,0 中心对称  7π π  , C． f x 在   12 6  上单调递减 π D．把 f x的图像向右平移 个单位长度，得到一个奇函数的图象 12 【一隅三反】 1．（2022·甘肃武威）函数 （A，ω，φ为常数，A>0，ω>0， ）的部分图象如图 所示，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2021·陕西省洛南中学）已知函数 的部分图象如图所示， 则 的解析式是（ ）A． B． C． D． 3（2022·广东·佛山市顺德区容山中学）已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式可能为 （ ） A． B． C． D． 4．（2022·四川南充·二模）函数 的部分图像如图所示， ，则 （ ） A． 关于点 对称 B． 关于直线 对称 C． 在 上单调递减 D． 在 上是单调递增考法七 三角函数的综合运用 【例7-1】（2023·新疆·统考二模）如图所示的曲线为函数 的部分 图象，将 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得 到函数 的图象，则（ ） A．直线 为 图象的一条对称轴 B．点 为 图象的一个对称中心 C．函数 的最小正周期为2π D．函数 在 上单调递减 【一隅三反】 1．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）将函数 的图像上所有点横 坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，有下述四个结论：① ②函数 在 上单调递增 ③点 是函数 图像的一个对称中心 ④当 时，函数 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④ 2．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）（多选）已知函数 ，其 图象相邻对称轴间的距离为 ，点 是其中的一个对称中心，则下列结论正确的是（ ） A．函数 的最小正周期为 B．函数 图象的一条对称轴方程是 C．函数 在区间 上单调递增 D．将函数 图象上所有点横坐标伸长原来的2倍，纵坐标缩短原来的一半，再把得到的图象向左平移 个单位长度，可得到正弦函数 的图象 3．（2023·山东滨州·统考二模）（多选）已知函数 ，满足 ，则下列 结论正确的是（ ） A． 的值域为 B． 的最小值为2C． 的图象关于直线 对称 D． 是偶函数 考法八 ω的求法 【例8-1】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数 ，若 在 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例8-2】．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）若函数 在区间 上恰有唯一 极值点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例8-3】（2023春·广东汕头·高一金山中学校考期中）已知函数 在 上单调 递减，则 的取值范围为（ ） A． B．C． D． 【例8-4】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知函数 ， 若 ， 在 内有极小值，无极大值，则 可能的取值个数（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【一隅三反】 1．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 ，若对于任意实数x，都有 ，则 的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D．8 2．（2023·四川绵阳·统考三模）已知函数 是区间 上的增函数，则正实数 的取 值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 是偶函数， 且 在 上单调，则 的最大值为（ ）A．1 B．3 C．5 D． 4．（2023春·湖北）已知 ，如果存在实数 ，使得对任意的实数 x，都有 成立，则 的最小值为______.