文档内容
第 03 讲三角函数的图象与性质
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解正、余弦函数在区间
内的性质．理解正切函数
在区间 内的单调性．
本节命题趋势仍是突出以三角函数的
（2）了解函数
图像、周期性、单调性、奇偶性、对
的物理意义， 2023年甲卷第12题，5分 称性、最值等重点内容展开，并结合
2023年天津卷第5题，5分 三角公式、化简求值、平面向量、解
能画出 的图
2023年I卷第15题，5分 三角形等内容综合考查，因此复习时
像，了解参数 对函数图像
要注重三角知识的工具性，以及三角
的影响．
知识的应用意识．
（3）了解三角函数是描述周期
变化现象的重要函数，会用三
角函数解决一些简单的实际问
题．知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中 ）
函数
图象
定义域值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是
；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
知识点三： 与 的图像与性质
（1）最小正周期： ．
（2）定义域与值域： ， 的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
（4）对称轴与对称中心．
假设 ．
①对于 ，②对于 ，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 轴交
点的位置．
（5）单调性．
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
（6）平移与伸缩
由函数 的图像变换为函数 的图像的步骤；
方法一： ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们
“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二： ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先
周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 而
言的，即图像变换要看“变量 ”发生多大变化，而不是“角 ”变化多少．
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（3）函数 函数无对称轴，对称中心为 ；
（4）求函数 的对称轴的方法；令 ，得
；对称中心的求取方法；令 ，得 ，即对称中心为
．
（5）求函数 的对称轴的方法；令 得 ，即
对称中心为
题型一：五点作图法
例1．（2023·湖北·高一荆州中学校联考期中）要得到函数 的图象，可以从正弦函数
或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
(1)由 图象变换得到函数 的图象，写出变换的步骤和函数；
(2)用“五点法”画出函数 在区间 上的简图．【解析】（1）步骤1：把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象；
步骤2：把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
步骤3：最后把函数 的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数
的图象．
或者步骤1：步骤1：把 图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
步骤2：把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象；
步骤3：最后把函数 的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数
的图象．
（2）因为 列表：例2．（2023·北京·高一首都师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
(1)用“五点作图法”在给定坐标系中画出函数 在 上的图像；
(2)求 ， 的单调递增区间；
(3)当 时， 的取值范围为 ，直接写出m的取值范围.
【解析】（1）因为 ，当 时， ，
列表如下：
0 1
1 2 0 0 1
作图如下：（2）因为 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以 的递增区间为
（3） ， ，
又 ，由（1）的图象可知， ， 的取值范围是 ．
例3．（2023·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校联考阶段练习）函数 .
(1)请用五点作图法画出函数 在 上的图象；（先列表，再画图）
(2)设 ， ，当 时，试研究函数 的零点的情况.
【解析】（1） ，
按五个关键点列表：
0
0 1 0 0
0 3 0 1 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示：
（2）因为 ，
所以 的零点个数等价于 与 图象交点的个数，设 ， ，则
当 ，即 时， 有2个零点；
当 ，即 时， 有1个零点；
当 ，即 时， 有0个零点.
【解题方法总结】
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
， 的图象中，五个关键点是：
（2）在余弦函数
．
题型二：函数的奇偶性
例4．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，则（ ）
A．若 ，则 为奇函数 B．若 ，则 为偶函数
C．若 ，则 为偶函数 D．若 ，则 为奇函数
【答案】B
【解析】 的定义域为 ，
对A：若 ， ，若 为奇函数，则 ，而
不恒成立，故 不是奇函数；
对B：若 ， ，
，故 为偶函数，B正确；
对C：若 ， ， ，故
不是偶函数，故C错误；
对D：若 ， ，
若 为奇函数，则 ，而 不恒成立，故 不是奇函数；
故选：B
例5．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）使函数 为偶函数，则 的一个
值可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，
因为 为偶函数，可得 ，所以 ，
令 ，可得 .
故选：A.
例6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）函数 的图像向左平移 个单位得到函
数 的图像，若函数 是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的图像向左平移 个单位，得 的图像，
又函数 是偶函数，则有 ， ，解得 ， ；
所以 .
故选：C．
变式1．（2023·北京·高三专题练习）已知的 图象向左平移 个单位长度后，得到函
数 的图象，且 的图象关于y轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得 ，
故 ，由于 的图象关于y轴对称，
则 为偶函数，故 ,即 ，
故 的最小值为 ，
故选：B变式2．（2023·浙江·高三期末）将函数 的图象向右平移 个单位得到一个奇函数的图象，
则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 为奇函数，
则 ，取 ，则 ．
故选：D
变式3．（2023·广东·高三统考学业考试）函数 是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【答案】D
【解析】解析：函数 ，
故该函数为偶函数，且它的最小正周期为 .
故选：D.
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最大值为M，最小值为m，则 的
值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】解: ，令 ， ，于是
，所以 是奇函数，从而 的最大值G与最小值g的和为0，而
.
故选：B
变式5．（2023·山东·高三专题练习）设函数 ，如果 ，则
的值是（ ）
A．-10 B．8 C．-8 D．-7【答案】B
【解析】令 ，由奇函数定义可知 ，化简计算可求得结果.令
,则 ，
所以 ，由 可知， ，即 ，
，
故选：B.
【解题方法总结】
由 是奇函数和 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若 为奇函数，则 ；
（2）若 为偶函数，则 ；
（3）若 为奇函数，则 ；
（4）若 为偶函数，则 ；
若 为奇函数，则 ，该函数不可能为偶函数．
题型三：函数的周期性
例7．（2023·湖北襄阳·高三襄阳五中校考开学考试）已知 ， ，是函数
的两个零点，且 的最小值为 ，若将函数 的图象向左平
移 个单位长度后得到的图象关于原点对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知函数 的最小正周期 ，则 ，得 ， .
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，
要使该图象关于原点对称，则 ， ，所以 ， ，
又 ，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ．
故选：A
例8．（2023·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若对满足 的 ，总有 的最小值等于 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的周期为 ，
将函数的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
可得 ，
由 可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且 ，
不妨设 ，则 ，即 在 时取得最小值，
由于 ，此时 ，不合题意； ，此时
，
当 时， 满足题意.
故选：C.
例9．（2023·河北·高三校联考阶段练习）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以 的最小正周期 ．
故选：C．
变式6．（2023·高三课时练习）函数 （ ）的图像的相邻两支截直线 所得线段长为
，则 的值是______.
【答案】
【解析】因为函数 （ ）的图像的相邻两支截直线 所得线段长为 ，所以该函数的最小正周期为 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因此 ，
故答案为：
变式7．（2023·河北衡水·高三河北深州市中学校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为 的奇函数是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A： 最小正周期为 ，故A错误；
对于B： ，最小正周期 ，且为奇函数，故B正确；
对于C： ，最小正周期为 的偶函数，故C错误；
对于D： ，则 ，
故 为偶函数，故D错误.
故选：B
变式8．（2023·全国·高三专题练习）函数 对于 ，都有 ，则
的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 恒成立，
∴ 是函数 的最小值， 是函数 的最大值，
即 、 是函数的两条对称轴，则 的最小值为 .
故选：C.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，如果存在实数 ，
使得对任意的实数 ，都有 成立，则 的最小值为A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为 ，设 的最小正周期为 ，
则 ，所以 的最小值为 ，故选C.
考点：三角函数的周期和最值．
变式10．（2023·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）设函数 在 的图象大致
如图所示，则 的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象可知， ， ，
解得 .
设函数的最小正周期为 ，易知 ，
当且仅当 时符合题意，此时 ,
故选：A.
变式11．（2023·全国·高三对口高考）函数 的最小正周期是__________.
【答案】
【解析】因为 ，因为 的最小正周期为 ，
所以函数 最小正周期为 .
故答案为： .
变式12．（2023·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数 的最小
正周期是______．
【答案】
【解析】 所以
最小正周期为 ，
故答案为：
变式13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .则
__________.
【答案】
【解析】由条件，可得 ， ，… ，共506组，
所以 .
故答案为：1012.
变式14．（2023·四川遂宁·统考三模）已知函数 ， ，
，且 ，则 =_____
【答案】 /0.5
【解析】因为
，另外 ， ，且 ，
所以，函数 的最小正周期 满足 ，则 ，
所以， ，故当 时， 取最小值 .故答案为：
变式15．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知函数 ，则函数 的最
小正周期是__________．
【答案】
【解析】 ，故 ，
故答案为： ．
变式16．（2023·上海·上海中学校考模拟预测）已知函数 的最小正周期是
，则 ______.
【答案】4
【解析】 ，
所以最小正周期是 ，所以 .
故答案为：4
变式17．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）设函数 相邻两
条对称轴之间的距离为 ， ，则 的最小值为__________．
【答案】 /
【解析】因为函数 相邻两条对称轴之间的距离为 ，则函数 的周期
，
，又 ，因此 ，即 ，
所以当 时， .
故答案为：
变式18．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）函数 的最小正周期为
___________.
【答案】
【解析】 ，所以，其最小正周期为 .
故答案为：
变式19．（2023·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）设函数 （ ， ，
是常数， ， ）．若 在区间 上具有单调性，且 ，则 的
最小正周期为_______．
【答案】 /
【解析】 在区间 上具有单调性，区间 的长度为 ，
区间 的长度为 ，
由于 ，
所以 的一条对称轴为 ，其相邻一个对称中心为 ，即 ，
所以 .
故答案为：
变式20．（2023·全国·高三专题练习）下列6个函数：① ，② ，③ ，④
，⑤ ，⑥ ，其中最小正周期为π的偶函数的编号为___________.
【答案】①③⑤
【解析】① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 都是偶函数，
由函数的图象如如所示，可知 ， ， 的最小正周期都是 ， ，
不是周期函数， ，最小正周期为 ，故答案为：①③⑤
【解题方法总结】关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数 的周期分别为 ， ．
（2）函数 ， 的周期均为
（3）函数 的周期均 ．
题型四：函数的单调性
例10．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数 ，则下
列说法错误的是（ ）
A． 的值域为
B． 的单调递减区间为
C． 为奇函数，
D．不等式 的解集为
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ，故选项A正确；
由 得 ，
所以 的单调递减区间为 ，故选项B正确；
所以 ，
所以 为奇函数，故选项C正确；
由 得 ，
即
所以 ，所以不等式 的解集为 ，故选项D错误.
故选：D.
例11．（2023·全国·模拟预测）将函数 的图象上各点向右平移 个单位长度得函数
的图象，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】将 的图象向右平移 个单位长度后，
得到 ，即 的图象，
令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， .
故选：C.
例12．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式 的解集为D．将 的图象向右平移 个单位长度后所得函数的图象在 上单调递增
【答案】C
【解析】由函数图象可知，最小正周期为 ，所以 ，
将点 代入 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，故A错误；
所以 ，故B错误；
令 ，则 ，所以 ， ，解得 ，
，
所以不等式 的解集为 ，故C正确；
将 的图象向右平移 个单位长度后，得到 的图象，令
， ，
解得 ， ，
令 得 ，因为 ，故D错误.
故选：C.
变式21．（2023·四川泸州·统考三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的
函数（ ）
A．在区间 上单调递减 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递增
【答案】B
【解析】函数的最小正周期是 ，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平
移后也不可能单调，AC错；
函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为，
选项B， 时， ，在此区间上 是减函数，B正确；
选项D， 时， ，在此区间上 不是单调函数，D错误．
故选：B．
变式22．（2023·北京密云·统考三模）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 .
对于A选项，当 时，
在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
故B错；
对于C选项，当 时，
则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时，
则 在 上单调递减，故D错.
故选：C.
变式23．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若函数
的图象向左平移 个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设函数 的图象向左平移 单位长度后得到的函数图象对应的函数为 ，由图可知 ，
函数 的图象的最小正周期为 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，取 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以由 ，得 ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，
所以不等式 的解集为 （ ），故选：C
变式24．（2023·全国·高一专题练习） 的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图可得 ，即 ，
结合图象可得到在区间 中， 为最高点，对应的横坐标为 ，
轴右侧第一个最低点为 ，对应的横坐标为 ，
故函数的单调递减区间为
故选：B
变式25．（2023·四川凉山·高一校联考期中）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：C
【解题方法总结】
三角函数的单调性，需将函数 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复
合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数 的单调区间的确定基本思想是吧 看做是一个整体，
如由 解出 的范围，所得区间即为增区间；
由 解出 的范围，所得区间即为减区间．
若函数 中 ，可用诱导公式将函数变为 ，则
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数 的单调性的讨论与以上类似处理即可．
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
例13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知函数 ，若将 的
图像向右平移 个单位长度后图象关于 轴对称，则实数 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 的图像向右平移 个单位长度后，变为
，
因 的图象关于 轴对称，
所以 为偶函数，
所以 ， ,
即 ， ,
因 ，所以 ，故当 时，实数 取得最小值为 ，
故选：B
例14．（2023·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知 ，函数
， 的最小正周期为 ，将 的图像向左平移 个单位长度，所得图像关于
轴对称，则 的值是______．
【答案】 /
【解析】 ，函数 的最小正周期为 ， ，
．
将 的图像向左平移 个单位长度，可得 的图像，
根据所得图像关于 轴对称，可得 ， ，解得 ， ，
又 ，则令 ，可得 的值为 ．
故答案为： ．
例15．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数 的对称中心为 ，若函数 的图象
与函数 的图象共有6个交点，分别为 ， ，…， ，则
__________.
【答案】6
【解析】显然函数 的图象关于点 成中心对称，
依题意，函数 的图象与函数 的图象的交点关于点 成中心对称，
于是 ，所以 .
故答案为：6
变式26．（2023·全国·高三对口高考）设函数 的图象关于点 成中心对称，若
，则 ______.
【答案】【解析】因为函数 的图象关于点 成中心对称，
所以 ，所以 ，所以
因为 ，所以 时， .
故答案为：
变式27．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）函数 向左平移 个单位长度之后关于
对称，则 的最小值为______.
【答案】1
【解析】 向左平移 个单位长度后，得 ，
因为函数关于 对称，
所以 ， ,
， ，
所以 的最小值为1.
故答案为：1
变式28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，且直
线 为 图象的一条对称轴，则 的最小值为______．
【答案】5
【解析】由 ，得 ，
又 ，解得 ，所以 ，
又直线 为 图象的一条对称轴，
则有 ， ，化简得 ， ，
又 ，故 的最小值为5．
故答案为： .
变式29．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，那么的最小值为________．
【答案】
【解析】 的图象关于点 对称， ，即
，令 ，可得 的最小值为 ．
故答案为：
变式30．（2023·全国·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函
数 的图象.若函数 的图象关于点 对称，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】由题可得 ，
的图象关于点 对称，
所以 ，解得 ，
，故 的最小值为 .
故答案为： .
变式31．（2023·江西吉安·高三统考期末）记函数 （ ）的最小正周期为 ，且
的图象关于 对称，当 取最小值时， _______.
【答案】 /
【解析】由 的图象关于 对称，则 ， ，
∴ （ ），
又∵ ，
∴当 ， 的最小值为4，此时 ， ，
∴ .
故答案为： .
变式32．（2023·福建宁德·高三校考阶段练习）写出满足条件“函数 的图象关于直线
对称”的 的一个值________．
【答案】 （答案不唯一，满足 即可）
【解析】由题意可得： ，则 ，
当 时， .
故答案为： .
变式33．（2023·江西赣州·高三校联考期中）已知函数 图象的一条对称轴为 ．
若 ,则 的最大______．
【答案】
【解析】由题知 .
所以
因为 ,所以当 取最大值
故答案为：
变式34．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）曲线 的一个对称中心为______（答案不唯
一）.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ，令 或 ，
则 或 ，
令 ，则 .所以函数的一个对称中心是 .
故答案为： （答案不唯一）.
变式35．（2023·甘肃武威·甘肃省武威第一中学校考模拟预测）函数 图象的一个对称
中心的坐标是______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】令 ，解得 ,则 图象的对称中心的坐标是
．
当 时， ，则 是 图像的一个对称中心．
故答案为： （答案不唯一）.
【解题方法总结】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（3）函数 函数无对称轴，对称中心为 ；
（4）求函数 的对称轴的方法；令 ，得
；对称中心的求取方法；令 ，得
，即对称中心为 ．（5）求函数 的对称轴的方法；令 得 ，即
对称中心为
题型六：函数的定义域、值域（最值）
例16．（2023·全国·高三专题练习）实数 满足 ，则 的范围是___________.
【答案】
【解析】 .故令 ， .
则原式 ，故 .
故答案为： .
例17．（2023·河北·校联考一模）函数 的最小值为__________.
【答案】 /
【解析】因为 ，所以
当 时， ，此时 的最小值为 .
故答案为：
例18．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若函数 的最小值为 ，则常数
的一个取值为___________.（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）.
【解析】 可化为 ，
所以 ，
设 ，则 ，设 ，
则 ，
因为函数 的最小值为 ，
所以 ， ，
所以 或 ，其中 ，
故答案为： （答案不唯一）.
变式36．（2023·全国·高三对口高考） 的最小值为__________.
【答案】
【解析】 ，
所以当 ， 时， 取得最小值 .
故答案为： ．
变式37．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于 的方程 在 上有实数解，则
实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】原方程
等价于
即函数 ， 在 上有交点，
∵ ，∴ ， ，故 ，
则 .
故答案为：
变式38．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数 的值域为
__________．
【答案】
【解析】因为 ，
又 ，所以 ，则 ，即函数 的值域为 .
故答案为： .
变式39．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 ， ，则函数 的值域
为______．
【答案】
【解析】当 时， ，
则 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为：
变式40．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ， ，则 的最
小值为________.
【答案】
【解析】
.
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即函数 的最小值为 .
故答案为： .
变式41．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 的最小值为
__________.【答案】
【解析】设 ，由 ，得 ，
又由 ，得 ，
所以 ，
令 ， ，
当 时， 时，即当 时，
原函数取到最小值 .
故答案为： .
变式42．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，该函数的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
令 且 ，则 ，
从而 ， 令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；在 上单调递减．
因为 ， ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
变式43．（2023·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则 的范
围是______________．【答案】
【解析】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
变式44．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）函数 的值域是___________.
【答案】
【解析】因为
又因为 ,
所以当 时, 取得最小值 -1 ,
当 时, 取得最大值 2 , 故 的值域是 .
故答案为：
变式45．（2023·全国·高三专题练习）设 、 且 ，求 的取值范围是________.
【答案】
【解析】解法一： ，，可得 ．
，
令 ， ，
显然函数 在 上单调递增， ， ，即 ，
的取值范围是 ．
解法二：由 得 ，设 ，即 ，
则
令 ， ， ， ，显然 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
变式46．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为_____________．
【答案】
【解析】令 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即函数 的值域为 ．
故答案为： .
变式47．（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为______．
【答案】2
【解析】 ，其中 ， ， .
∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵
∴当 时， 取得最大值 ．
故答案为：
变式48．（2023·全国·高三专题练习）函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】 的定义域满足 ，即 .
故答案为： .
变式49．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为______.
【答案】
【解析】设 ，因为 ，可得 ，
因为正切函数 在 上的值域为 ，
即函数 在 的值域为 .
故答案为： .
变式50．（2023·江西·校联考模拟预测）函数 的最大值为________．【答案】 /
【解析】∵ ，∴ ，由题意得 ，当且仅当
，即 时取等号，故 的最大值为 ．
故答案为：
【解题方法总结】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处
理．
（1） ，设 ，化为一次函数 在 上的最值求解．
（2） ，引入辅助角 ，化为 ，求解方法同
类型（1）
（3） ，设 ，化为二次函数 在闭区间 上的最值求
解，也可以是 或 型．
（4） ，设 ，则 ，故
，故原函数化为二次函数 在闭区间 上的最值求解．
（5） 与 ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 或 的函数求解释务必注意
或 的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
题型七：三角函数性质的综合
例19．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 （
）的图象与函数 的图象的对称中心完全相同，且在 上， 有极小值，则
（ ）
A． B．
C．函数 是偶函数 D． 在 上单调递增
【答案】AD【解析】由题意，函数 与 的最小正周期相同，则 ，且 .
当 时， ，其一个对称中心为 ，
也是 的一个对称中心，
所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ， 有极大值，无极小值，不合题意；
当 时， ，其一个对称中心为 ，
也是 的一个对称中心，
所以 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， ， 有极小值，满足题意.
， ，A项正确，B项不正确；
，不是偶函数，C项不正确；
当 时， ，函数 在 上单调递减，则 在 上
单调递增，D项正确.
故选：AD
例20．（多选题）（2023·广东潮州·统考模拟预测）设函数 ， 的
最小正周期为 ，且过点 ，则下列正确的有（ ）
A． 在 单调递减
B． 的一条对称轴为
C． 的周期为D．把函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为
【答案】AB
【解析】根据辅助角公式得 ．
最小正周期为 ， ， ，即 ．
函数 过点 ， ，
，则 ．
当 时 ．即 ．
令 ，则 ，
当 时， 在 单调递减，故A正确．
令 ，则 ，
当 时， 的一条对称轴为 ，故B正确．
因为 为偶函数，所以 ，
则 的周期为 且 ，故C错误．
函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数 的解析式为 ，
故D错误．
故选：AB．
例21．（多选题）（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 的图象关于
对称，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 是偶函数
C． 在 上单调递增
D．把 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象关于点 对称【答案】AB
【解析】因为函数 的图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
所以 ，其最大值为2，故A正确；
令 ，
定义域为 ， ，
所以 即 是偶函数，故B正确；
时， ， 在 单调递增，
在 单调递减，故C错误；
把 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，
因为 ，
所以 的图象不关于点 对称，故D错误.
故选：AB
变式51．（多选题）（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数 ，则下
列说法正确的有（ ）
A．若 ，则
B．将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称
C．函数 的最小正周期为
D．若 在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】由 ，故 必有一个最大值和一个最小值，则 为半个周期长度，故 正确；
由题意 的图象关于 轴对称，B正确；
的最小正周期为 C错误.
，在 上 有且仅在3个零点，
结合正弦函数的性质知： ，则 ，D正确；
故选：ABD
变式52．（多选题）（2023·海南·高三校联考期末）已知函数 ，
， 恒成立， 在 上单调，则（ ）
A．
B．将 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象
C．
D．若函数 在 上有5个零点，则
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 是函数的一个零点，所以 ①，
又因为 对 恒成立，所以 时取得最小值，
即 ②，则①减②可得： ，
又因为 在 上单调，所以 ，
则 ，结合 ，所以 ，
所以 ， ，
则 ， ，又因为 ，所以 ，故A正确；
所以 ，
将 的图象向左平移 个单位长度后得到 ，故B正确；
，故C错误；
函数 在 上有5个零点，令 ，
即 与 的图象有5个交点，画出 与 的图象如下，
， ，
由图可知，当 时， 与 的图象有5个交点，
即函数 在 上有5个零点,故D错误.
故选：AB
变式53．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数
，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数
，则下列结论不正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期为
C． 在区间 上单调递增 D． 的最小值为1
【答案】BC
【解析】因为 ， ，所以 是偶函数，A正确； 显然是周期函数，
因为 ，所以B错误；因为当 时，所以 在区间 上单调递增，在 上单调递减，C错误；
因为
当 时，设 ，则 ，
同理：当 时， ，
由B中解答知， 是 的周期，所以 的最小值为1，D正确.
故选：BC.
变式54．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，下列叙述正确的有
（ ）
A． 的周期为2π； B． 是偶函数；
C． 在区间 上单调递减； D． x，x∈R，
1 2
【答案】BC
【解析】 是偶函数，不是周期函数， 是偶函数，是周期函数，最小正周期为 ，
故 不是周期函数，A错误，B正确；当 时，
，因为 ， 在次区间上单调递
减，故 在区间 上单调递减，C正确；
当 时， ， ， ，即 ，D选项错
误.
故选：BC
变式55．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听
到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． 的一个周期为 B． 的最小值为C． 的图象关于点 对称 D． 在区间 上有3个零点
【答案】ACD
【解析】选项A：
故 的一个周期为 ，A正确.
选项B：
，当 ， 时，取得最小值 ，
，当 ， 时即 ， 时，取得最小值 ，
所以两个函数不可能同时取得最小值，所以 的最小值不是 ，故B错误.
选项C：
，
，
所以 ，
所以 的图象关于点 对称，C正确，
选项D：
，
得 ，或 ，
得 ，或 ， ，
故 区间中的根为 ， ， ，
故D正确.
故选：ACD
变式56．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一
个作为已知，使函数 存在，求 的值．条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【解析】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使
函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
变式57．（2023·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数 的部
分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位
长度，得到函数 的图象，求函数 在 内的零点.
【解析】（1）由图象可得 ，
，则 ，即 ，
∴ ，
由图象得 ，即 ，
∴ ， ，则 ， ，
又 ，∴ ，
故 ；
（2）将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
再将所得图象向左平移 个单位长度，得到函 ，
∴ ，
令 ，则 或 ，解得 ， ，或 ， ，
又 ，∴ 或 ，
即函数 在 内的零点为0与 .
变式58．（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数 在区间
上单调，其中 ， ，且 ．
(1)求 的图象的一个对称中心的坐标；
(2)若点 在函数 的图象上，求函数 的表达式．
【解析】（1）由函数 在区间 上单调，
且 ，可知 ，
故 的图象的一个对称中心的坐标为
（2）由点 在函数 的图象上，
有 ，又由 ，
，
可知函数 在区间 上单调递减，
由函数 的图象和性质，
有 ，
又 ，有 ，
将上面两式相加，有 ，
有 ，
又由 ，可得 ，则 ，
又由函数 在区间 上单调，
有 ，可得 ，可得 ，
故 ．
变式59．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测） ，
， ，
(1)若 ，求 的值；
(2)若函数 的最小正周期为
①求 的值；
②当 时，对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围
【解析】（1）依题意，
，
当 时， ，
（2）①由（1）知 ，
最小正周期 ，得 ，
②当 时， ，当 时，
，当 ，即 时， 的最大值为2，
不等式 恒成立，即 恒成立，
整理为 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，得 ，
综上可得， ，当 时， ，当 时，
，当 ，即 时， 的最大值为0
不等式 恒成立，即 恒成立，
整理为 ， 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，得 ，
综上可得， ，
综上可知，当 时， ，当 时， .
变式60．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数
，其中 为水深（单位：米）， 为时间（单位：小
时），该函数图像如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【解析】（1）由图知 ， ， ， ，
所以 ，将点 代入得 ，
结合 解得 ，
所以函数 的解析式 .
（2）货船需要的安全水深为 米，所以当 时货船可以停留在港口.
由 得 ，得 ，
即 ，当 时， ，当 时， ，
所以该船一天之内至多能在港口停留 小时.
变式61．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数
的图像相邻对称轴之间的距离是 ，______；
①若将 的图像向右平移 个单位，所得函数 为奇函数．
②若将 的图像向左平移 个单位，所得函数 为偶函数，
在①，②两个条件中选择一个补充在______并作答
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)设函数 的零点为 ，求 的值．
【解析】（1）因为函数 的图像相邻对称轴之间的距离是 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
选①：
当将 的图像向右平移 个单位，得到函数 ，
因为 为奇函数，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，则
则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
选②： 的图像向左平移 个单位，得到函数 ，
因为函数 为偶函数，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，则则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 .
（2）因为函数 的零点为 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
.
变式62．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若方程 在
上有解，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由函数的图象知： ，则 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，则 ，又因为 ，则 ，
所以 ；
（2）由题意得： ，
令 ，
则 化为： ，
即 在 上有解，
由对勾函数的性质得： ，
所以 .
【解题方法总结】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性 奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数 为奇函数；若函数图像关于 轴对
称，则函数 为偶函数）；对称性 周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是 ；相邻的对称中心之
间的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ）；对称性 单调性（在相邻的对称轴之间，
函数 单调，特殊的，若 ，函数 在 上单调，且 ，设
，则 深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
题型八：根据条件确定解析式
方向一：“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式．
例22．（2023·甘肃金昌·高三统考阶段练习）已知函数 （ ， ， ）的
部分图象如图所示，设使 成立的a的最小正值为m， ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】使 成立的a即为 的对称中心的横坐标，
∴a的最小正值为 ，
由图可知 ， ， ，∴ ，
将点 代入 ，得 ，
∴ ， ，
， ，∵ ，∴取 ，
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：B.
例23．（2023·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）已知函数 （
为常数， ）的部分图像如图所示，若将 的图像向左平移 个单位长度，得到函数
的图像，则 的解析式可以为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，所以 ，故 ，
因为 ， ，所以 ， ，
即 .
又因为 ， 解得 .
即 .
将 的图像向左平移 个单位长度，
得到函数 .
故选：A
例24．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 的部分
图象如图所示，把 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到
原来的 倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式是（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由题中函数图象可知： .
最小正周期为 ，所以 ， ，
将点 代入函数解析式中，得 ，
所以 ， ，即 ， .
因为 ，所以 ，故 ， .
把 的图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得到函数图象的解析式为 ， ；
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），
得到函数图象的解析式为 ， .
故选：D
变式63．（2023·全国·高三专题练习）函数 的部分图象如图所示，
则函数 的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可得 ，可得 ，
，可得 ，
由于函数 在 附近单调递减，且 ， ，
由图象可知，函数 的最小正周期 满足 ，可得 ，
，则 ，
所以 ，解得 ，
，所以 ， ，因此 ．
故选：D．
变式64．（2023·北京通州·统考模拟预测）已知函数 （ ， ）的部分图象如
图所示，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由图知： ，则 ，故 ，则 ，
由 ，则 ，
所以 ， ，
又 ，故 ，
综上， ，
故选：C.
变式65．（2023·宁夏·高三银川一中校考阶段练习）已知函数 ， ， ，
的部分图象如图所示，则函数的解析式为_______________.
【答案】
【解析】由图象得到 的最大值为 ，所以
将点 、 代入解析式 ，
，因为 ， ，可得 ，
所以
故答案为： ．
变式66．（2023·江苏南京·高三统考期中）设函数 ，（其中 ， ）的部分图象如图，则函数 的解析式为 _______.
【答案】
【解析】由 过 求 的值，根据五点画法坐标求出 ，即可求出结论. 过点 ，
，或 ，
函数在 轴右侧第一个最高点坐标为
若 时， ，
若 时， （舍去），
.
故答案为: .
方向二：知性质（如奇偶性、单调性、对称性、最值），求解函数解析式（即 的值的确定）
变式67．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，当 时，
的最小值为 ，则 ______；若将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象在
轴上的截距为 ，则 在 上的值域为______．
【答案】
【解析】易知 的最大值和最小值分别为 和 ，
因为 ，所以 、 一个为 的最大值点，
一个为 的最小值点，设函数 的最小正周期为 ，则由 的最小值为 ，
得 ，所以 ，则 ，
所以 ．
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
所得图象对应的函数为 ，
令 ，则 ，
可得 ，
，所以， ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
若 ，则 ，
则 ，则 .
故 在 上的值域为 ．
故答案为： ； ．
变式68．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）某函数 满足以下三个条件：
① 是偶函数；② ；③ 的最大值为4．
请写出一个满足上述条件的函数 的解析式______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 是偶函数，所以 的图象关于y轴对称，
因为 ，所以 ，即
所以 的图象关于点 对称，所以4为 的一个周期，
又 的最大值为4，所以 满足条件.故答案为： （答案不唯一）
变式69．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，且 ，写
出一个满足条件的函数 的解析式：___________.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】∵ ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
令 ， ， ， ， ，
令 ， ， .
故答案为： （答案不唯一）.
变式70．（2023·河北·校联考模拟预测）已知函数 的图象过点 ，
且相邻两个零点的距离为 .若将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，则函数 的
解析式为___________.
【答案】
【解析】 的相邻两个零点的距离为 ， 的最小正周期 ， ；
又 ， ，解得： ，
又 ， ， ，
.
故答案为： .
变式71．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，满足
， ，且 在 上有且仅有5个零点，则此函数解析式为_____________．
【答案】
【解析】因为 ，令 ，
则 ，即 ，
所以 是 图像的对称中心，
又 ，令 ，
则 ，即 ，
所以 是 图像的对称轴，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 在 上有且只有5个零点，所以 ，又 ，
即 ，所以 ，得 ，代入上式，得 ，
又 ，所以 ，所以 .
故答案为：
变式72．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 （ ， ）满足
，其图象与 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 ，则函数 的解析式为
__________.
【答案】 或
【解析】因为 满足 ，所以 图象关于 对称，
因为 图象与 轴在原点右侧的第一个交点的坐标为 ，
所以 ，所以 ，所以 即 ，所以 ， ，
解得： ， ，
因为 ，所以 或
所以 或 .
故答案为： 或 .
变式73．（2023·全国·高三专题练习）函数 ( ， )为偶函数，
且函数 的图像的两条对称轴之间的最小距离为 ，则 的解析式为________.
【答案】
【解析】∵函数 ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，则 .
∵ 为偶函数，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
故 ，
即 ，
∴ .
故答案为：
变式74．（2023·上海虹口·统考一模）设函数 （其中 , ）,若函数 图
象的对称轴 与其对称中心的最小距离为 ,则 ______．【答案】
【解析】解:由题知,因为 对称轴与对称中心的最小距离为 ,
所以 ,即 ,
所以 ,此时 ,
因为对称轴为 ,
故有: ,
即 ,
因为 ,
所以 ,
故 .
故答案为:
【解题方法总结】
根据函数必关于 轴对称，在三角函数中联想到 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．
题型九：三角函数图像变换
例25．（2023·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，函数
的图像过 两点，为得到函数 的图像，应将 的图像（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D
【解析】
代入 得 即
即
对于A选项，
,故A错误
对于B选项
，故B错误
对于C选项
，故C错误
对于D选项，
，故D正确
故选：D
例26．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度
后，得到函数 的图象，则 的值可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
由题意可得 ，可得 ，当 时， ，
故选：D.
例27．（2023·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）已知把函数 的图象
向右平移 个单位长度，可得函数 的图象，则 的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题知，
，
且
，
，
即 ，
解得 ，当 时， 取得最小正值，
.故选：C.
变式75．（2023·全国·高三专题练习）为了得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】由题意，由于函数 ，
观察发现可由函数 向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
故选：A.
变式76．（2023·青海西宁·统考二模）为了得到函数 图象，只要将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
B．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
C．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
D．向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
【答案】A
【解析】只要将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，即A正确；
将 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到的是函数 的图象，故B错误；
将 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，
得到的是函数 的图象，故C错误；将 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到的是函数 的图象，故D错误；
故选：A
变式77．（2023·全国·高三专题练习）若要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】因为 ，
故将已知转化为要得到函数 的图象，
又 ，
所以将 的图象向右平移 个单位长度即可得到 的图象.
故选：D
变式78．（2023·陕西·统考模拟预测）已知函数 的部分图象如
图所示，则下列说法正确的是（ ）A．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
B．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
C．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象
D．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象
【答案】A
【解析】由图象可知，函数 的最小正周期为 ，则 ， ，
，则 ，可得 ，
，所以， ，
所以， ，
因此，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象.
故选：A.
变式79．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）已知曲线 ，
则下面结论正确的是（ ）
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度C
1 2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲
1
线C
2
【答案】C
【解析】曲线 ，把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得 的图象；
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线 的图象.
故选：C.
变式80．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，将函数 的图象经
过下列哪种可以与 的图象重合（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】C
【解析】 ，
将函数 的图象向右平移 个单位： ；
故选：C
【解题方法总结】
由函数 的图像变换为函数 的图像．
方法： 先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像 的图像
的图像
的图像
题型十：三角函数模型
例28．（2023·江西赣州·高三校联考阶段练习）如图，摩天轮的半径为 m，其中心 点距离地面的高度
为 m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且 转一圈，若摩天轮上点 的起始位置在最高点处，则摩
天轮转动过程中下列说法正确的是（ ）A．转动 后点 距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第 和第 点 距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 m的时间长为
【答案】D
【解析】设转动过程中，点 离地面距离的函数为：
，
由题意得： ，
，则 ，
所以 ，
选项A，转到 后，点 距离地面的高度为：
，故A不正确；
选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，
故B不正确；
选项C，因为
，
，
所以 ，
即第 和第 点 距离地面的高度不相同，故C不正确；
选项D，令 ，
则 ，由 ，解得 ，
所以 ，
即摩天轮转动一圈，点 距离地面的高度不低于 m的时间为 ，
故D正确；
故选：D.
例29．（2023·全国·高三专题练习）2019年长春市新地标——“长春眼”在摩天活力城Mall购物中心落成，
其楼顶平台上的空中摩天轮的半径约为40m，圆心O距地面的高度约为60m，摩天轮逆时针匀速转动，每
15min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时P距离地面的高度
，当距离地面的高度在 以上时可以看到长春的全貌，则
在转一圈的过程中可以看到整个城市全貌的时间约为（ ）
A．2.0min B．2.5min C．2.8min D．3.0min
【答案】B
【解析】由题意可知摩天轮运动一周距离底面的最高点为(60+40)米与最低点(60-40)米，相差80米，
∴ ；运动一周15分钟，即 ；
由 ，可得 ，故 .
要看到全景需 ，解之得： ，故时间长为 min.
故选：B
例30．（2023·重庆·高三统考阶段练习）某钟表的秒针端点 到表盘中心 的距离为 ，秒针绕点
匀速旋转，当时间 时，点 与表盘上标“12”处的点 重合．在秒针正常旋转过程中， ， 两点的
距离 （单位： ）关于时间 （单位： ）的函数解析式为（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数 的定义域为 ，周期为 ，且 时， ，
对于选项A，函数 周期为 ，A错误；
对于选项B，函数 周期为 ，B错误；
对于选项D，当 时， ，D错误；
对于选项C，
，
所以函数 ，
故选：C.
变式81．（2023·全国·高三专题练习）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类一项古老的发明，也是
人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时
针方向匀速旋转，且旋转一周用时8秒.经过 秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满
足 ，则 的表达式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因点 在水车上，所以 .
由题可知 的最小正周期为8，则 ，又 ，则 .
因 ，则 ，又 ，故 .
综上： .
故选：D
变式82．（2023·全国·高三专题练习）一个大风车的半径为8m，匀速旋转的速度是每12min旋转一周.它
的最低点 离地面2m，风车翼片的一个端点 从 开始按逆时针方向旋转，点 离地面距离 与时间
之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】以过风车中心垂直于地面的竖直向上的直线为y轴，该直线与地面的交点为原点，建立坐标系，
如图，依题意，设函数解析式为 ，
显然 ，则 ， ，
函数 的周期 ，则 ，因当 时， ，即有 ，则 ，
于是得 ，
所以点 离地面距离 与时间 之间的函数关系式是 .
故选：C
【解题方法总结】
（1）研究 的性质时可将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解
题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转
化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
1．（2023•甲卷）已知 为函数 向左平移 个单位所得函数，则 与
的交点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】把函数 向
左平移 个单位可得
函数 的图象，而直线 经过点 ，且斜率为 ，
且直线还经过点 ， 、
， ，
，
，如图，
故 与 的交点个数为3．
故选： ．
2．（2023•乙卷）已知函数 在区间 ， 单调递增，直线 和 为函数
的图像的两条对称轴，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据题意可知 ，
，取 ， ，
又根据“五点法“可得 ， ，， ，
，
．
故选： ．
3．（2023•上海）已知 ，记 在 ， 的最小值为 ，在 ， 的最小值为 ，则下
列情况不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】
【解析】由给定区间可知， ．
区间 ， 与区间 ， 相邻，且区间长度相同．
取 ，则 ， ，区间 ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能．
结合选项可得，不可能的是 ， ．
故选： ．
