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重难点 06 三角恒等变换（3 种考向）
【目录】
考向1：给角求值问题
考向2：给值求值问题
考向3：给值求角问题
二、命题规律与备考策略
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求
角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2 +cos2 ＝1．
α α
（2）商数关系： ＝tan ．
2．诱导公式
α
公式一：sin（ +2k ）＝sin ，cos（ +2k ）＝cos ，tan（ +2k ）＝tan ，其中k Z．
公式二：sin（ + ）＝﹣sin ，cos（ + ）＝﹣cos ，tan（ + ）＝tan ．
α π α α π α α π α ∈
公式三：sin（﹣ ）＝﹣sin ，cos（﹣ ）＝cos ，tan（﹣ ）＝﹣tan ．
π α α π α α π α α
公式四：sin（ ﹣ ）＝sin ，cos（ ﹣ ）＝﹣cos ，tan（ ﹣ ）＝﹣tan ．
α α α α α α
π α α π α α π α α
公式五：sin（ ﹣ ）＝cos ，cos（ ﹣ ）＝sin ，tan（ ﹣ ）＝cot ．
α α α α α α
公式六：sin（ + ）＝cos ，cos（ + ）＝﹣sin ，tan（ + ）＝﹣cot ．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
α α α α α α
（1）C（ ﹣ ） ：cos （ ﹣ ）＝cos cos +sin sin ；
（2）C（ α + β ） ：cos（ +α ）β＝cos coαs ﹣βsin sαin ；β
（3）S（ α + β ） ：sin（ α+ β）＝sin αcos β+cos sαin ；β
（4）S（ α ﹣ β ） ：sin（α ﹣β ）＝siαn coβs ﹣cαos sβin ；
α β
α β α β α β
（5）T（ + ） ：tan（ + ）＝ ．
α β
α β
（6）T（
﹣ ）
：tan（ ﹣ ）＝ ．
4．二倍角α 的β 正弦、余弦、正切公式
α β
（1）S ：sin 2 ＝2sin cos ；
2
（2）C 2 α：cos 2α ＝cos2 α ﹣sαin2 ＝2cos2 ﹣1＝1﹣2sin2 ；
α
α α α α α
学科网（北京）股份有限公司 1（3）T ：tan 2 ＝ ．
2
三α 、题α 型方法
考向1：给角求值问题
一、单选题
1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子 化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.
【详解】原式
.
故选：B.
2．（2023·江苏南京·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角恒等变换求 的值，再利用作差法比较 的大小.
【详解】 ，
，
∵ ，则 ，
又∵ ，则
，则 ，即
∴
故选：C.
3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若 ，则实数 的值为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 2A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得 的值.
【详解】由已知可得
.
故选：A.
4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测） 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式 .
故选：A
二、解答题
5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数 .
（Ӏ）求函数 的单调递增区间；
（ӀӀ）若 ，求 的值.
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） .
【分析】（1）先用辅助角公式变形函数为 ，再把 带入函数单调递
增区间，分离出 即可得解；
（2）由 ，即 ，根据 的范围求出 ，带入
即可得解.
【详解】（Ⅰ）
学科网（北京）股份有限公司 3令 ，
得 ， ，
的单调增区间为 ， ；
（Ⅱ） ，即 ，
， ，
又 ，
所以 ，得
.
6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数 的最小值是－
2，其图象经过点 ．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
【答案】（1） （2）
【详解】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般是根据待定系数法求解：根据最小值是
－2，确定A＝2．根据图象经过点 ，可得 ，解得 （2）由已知得
，求 ，利用同角三角
函数关系得 ，代入化简得 的值
试题解析：（1）因为 的最小值是－2，所以A＝2．又由 的图象经过点 ，
可得 ， ，所以 或 ，又 ，所
学科网（北京）股份有限公司 4以 ，故 ，即 ．
（2）由（1）知 ，又 ， ，故 ，即
，又因为 ，所以 ，所以
．
考点：三角函数解析式，给值求值
考向2：给值求值问题
一、单选题
1．（2023·湖北·统考二模）已知 ，则
（ ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式、商数关系可得 ，再由和角正切公式展开求得
，最后由 求值即可.
【详解】由 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，故 ，
由 .
故选：C
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司 5【答案】D
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 ， ，则
=（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系可得 ，再由 求值即可.
【详解】由题设 ，则 ，
又 .
故选：C
4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几
何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，
黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为 的等腰三角形称为“黄金三角形”，那
么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，
（黄金分割比），则 （ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 6【答案】D
【分析】构造 ，根据题意推得 .然后根据诱导公式以及二倍角的
余弦公式化简，即可得出答案.
【详解】如图：
过D作 于E，则 ．
，
所以，
.
故选：D．
5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知 ， ， ， ，满足 ，
， ，有以下 个结论：
①存在常数 ，对任意的实数 ，使得 的值是一个常数；
②存在常数 ，对任意的实数 ，使得 的值是一个常数.
下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立
B．结论①不成立、②成立
C．结论①成立、②不成立
D．结论①、②都不成立
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将 和 用 ， 表示即可.
【详解】对于结论①，
∵ ， ，
∴ ， ，
学科网（北京）股份有限公司 7∴ ，
∴ ，
∴当 为常数， 时， 不是一个常数，故结论①不成立；
对于结论②，
方法一：
∵
又∵
∴
化简得 ，
∴存在常数 ，对任意的实数 ，使得 ，故结论②成立.
方法二：（特值法）
当 时， ，
∴ ，∴ .
∴存在常数 ，对任意的实数 ，使得 ，故结论②成立.
故选：B.
【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结
论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.
6．（2023·天津和平·统考二模）函数 的部分图象如图
学科网（北京）股份有限公司 8所示， ，则下列四个选项中正确的个数为（ ）
①
②函数 在 上单调递减；
③函数 在 上的值域为 ；
④曲线 在 处的切线斜率为 ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据图像求 的解析式，对于①②③：结合正弦函数的性质分析运算；对
于④：结合导数的几何意义运算求解.
【详解】由图可知：函数 过点 ，则 ，
即 ，且 ，可得 ，
又因为函数 过点 ，且为减区间的零点，
则 ，即 ，
则 ，解得 ，
注意到 ，即 ，则 ，解得 ，
故 ，解得 ，此时 ，
所以 .
对于①：令 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 9取 ，则 ，
即函数 在y轴左侧离y轴最近的对称轴为 ，
由图可得 ，即 ，
且 ，即 ，
所以
，
故①正确；
对于②：因为 ，则 ，
且 在 不单调，所以 在 上不单调，
故②错误；
对于③：因为 ，则 ， ，
可得 ，所以函数 在 上的值域为 ，
故③错误；
对于④：∵ ，
可得 ，
曲线 在 处的切线斜率为 ，故④错误；
故选：B.
【点睛】方法定睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定
（1）A由最值确定，A＝ 最大值 最小值 ；
（2）ω由周期确定；
（3）φ由图象上的特殊点确定．
提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．
二、多选题
7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 10A．若 ，则
B．若 ，则
C．“ ， ”的否定是“ ， ”
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于原点对称
【答案】BC
【解析】根据齐次式计算 ， 错误， ，
正确，特称命题的否定是全称命题， 正确，平移后得到偶函数， 错误，得到答案.
【详解】 ，则 ，故 错误；
，则 ， 正确；
根据特称命题的否定是全称命题：“ ， ”的否定是“ ， ”，
故 正确；
将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 为偶函数，
故 错误.
故选： .
【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题的否定，函数平移和奇偶性，意在
考查学生的综合应用能力.
8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（ ）
A．存在 ， ，使
B．在 中，若 ，则 是等腰三角形
C．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
D．在 中，若 ， 则 的值为 或
【答案】AC
【分析】赋值法可以判断A选项；在 中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可
判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由 ，求得 ，再由 ，
结合大角对大边求得 ，最后根据 求值即可判断选项D.
学科网（北京）股份有限公司 11【详解】对于A，当 时，正确；
对于B，由 可得 或 ，即 或 ，所以
是等腰三角形或直角三角形，错误；
对于C， (其中 是 外接圆的半径)，
正确；
对于D，因为 ， ，所以 .
因为 ，所以由正弦定理得 ，从而 .
又因为 ，所以 ，
从而 ，错误；
故选：AC.
【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后
利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常
见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值
的影响．
三、填空题
9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，则
________．
【答案】
【分析】先通过条件确定角 的范围，进而可求出 ，再利用
，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.
【详解】 ， ，
，
，
若 ，则 ，与 矛盾，
学科网（北京）股份有限公司 12故 ，
，
故答案为： .
四、双空题
10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在 中，
，则 __________；点 是 上靠近点 的一个三等分点，
记 ，则当 取最大值时， __________．
【答案】
【解析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出 ；设 ，
， ，则 ， ，根据正弦定理，得到 ，
，求出 ，得到
，表示出 ，求出最值，
即可得出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ；
设 ， ， ，
则 ， ，
由正弦定理可得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 13又 ，
由 ，得 ．
因为 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以当 时， 取得最大值 ，
此时 ，
所以 ， ；
答案为： ； .
【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的
应用，属于常考题型.
五、解答题
11．（2023·天津·统考二模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 .已知
， ， .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
学科网（北京）股份有限公司 14【分析】（1）由正弦定理可得出 ，利用余弦定理可求得 的值，进而可求得 的值；
（2）分析可知角 为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出 的值，再利用正弦定
理可求得 的值；
（3）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式可求得 的值.
【详解】（1）解：由正弦定理 及 可得 ，则 ，
由余弦定理 ，可得 ，故 .
（2）解：因为 ， ，则 ，
由正弦定理 可得 .
（3）解：由（1）可知 ，则 ，故 为锐角，
所以， ，
所以， ，
，
所以， .
12．（2023·云南丽江·统考一模）已知 ， .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司 15【分析】（1）先确定 的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用 求
解；
（2）先确定 的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用 并结合第
（1）问的数据求解.
【详解】（1） ，∴ ，故 ，所以
，
；
（2）因为 ， ，则 ，
又 ，∴ ，∴ ， ，
结合（1）中数据知，
，所
以
.
13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ， ．
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，c＝3，若向量
与 垂直，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先变形得到 ，再利用 计算
即可；
（2）先通过 求出 ，再利用向量垂直求出 ，则 也可得出，再通过正弦定理求
学科网（北京）股份有限公司 16角所对的边即可求出周长.
【详解】（1） ，
，
；
（2）由（1）得 ，
则 ，
，又 ，
，
又向量 与 垂直，
，
即 ，又
，则 ，
由正弦定理 ，
则 ，
的周长为 .
14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数 ，
且 ．
(1)求a的值和函数 在区间 上的最大值及取得最大值时x的值．
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1) ， 在 上的最大值为2，此时x的值为 .
学科网（北京）股份有限公司 17(2) .
【分析】（1）由 求得a的值，再由x的范围求得 的范围进而求得 的最
大值即可.
（2）由 得 ，再由 范围求出 的范围来判断 的
符号，进而求得 的值，再运用配凑角 求得 值.
【详解】（1）∵ ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 ，即 时， 取得最大值为1，
∴当 时， 取得最大值为2，
即： 在 上的最大值为2，此时x的值为 .
（2）∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
学科网（北京）股份有限公司 18.
故 的值为 .
15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数 的图象如图所示．将
函数 的图象向左平移 个单位长度后得函数 的图象．
(1)求 的解析式；
(2) 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ， ，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出 解析式，运用图象平移变换及诱导公
式求出 解析式.
（2）运用二倍角公式、平方公式求得 、 、 、 的值，运用诱导公式及
和角公式求得 ，结合正弦定理可求得c，运用三角形面积求解即可.
【详解】（1）由图可知， ，解得： ，
所以 ，即： ，
将点 代入 得 ，
所以 ， ，解得： ， ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司 19所以 ，
因为将函数 的图像向左平移 个单位长度后得函数 的图像，
所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
由 ，得 ， ，
因为 ，
所以 ，即： ，
所以由 ，得 ，
所以由 ，得 ，
所以 ，
由正弦定理 ，得 ，
所以△ 的面积 ．
考向3：给值求角问题
一、单选题
1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知 、 都是锐角，且 ，
，那么 、 之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】推导出 ，可得出 ，求出 的取值范围，即可得
解.
【详解】因为 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司 20所以， ，
因为 、 都是锐角，由题意可得 ，
所以， ，
所以， ，
因为 、 都是锐角，则 且 ，则 ，
所以， ，因此， .
故选：D.
2．（2023·全国·模拟预测）已知 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换可得出关于 的二次方程，求出 的取值范围，求
出 的值，可求得角 的值，代值计算可得出 的值.
【详解】因为 ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，
故 ，所以， ，则 ，
故 .
故选：C.
二、填空题
3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角 ， ，
学科网（北京）股份有限公司 21则 ______.
【答案】
【分析】化简 ，即可得到 ，再根据 的范围，即
可求出结果.
【详解】 ， ，
，
，
，
， ，
，则 .
故答案为： .
4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最
小的点.当三角形三个内角都小于 时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都
为 .已知点 为 的费马点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若
，且 ，则 的值为
__________.
【答案】6
【分析】化简 求得 ，结合余弦定理以及 求得
，利用三角形的面积列方程，化简求得
【详解】∵ ，
学科网（北京）股份有限公司 22∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
由余弦定理知， ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
∴ .
故答案为：6
【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注
意结合余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式.
三、解答题
5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点 关于 轴的
对称点为 ，求所有满足条件的 取值的集合 ；
（2）在 中，角 所对的边分别为 ，当角 为集合 中 的最小正数时，
， ，求边长 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 .
【分析】（1）根据点 与 关于 轴对称，得出横纵坐标的关系，利用同角三角函数的
商数关系，得出 ，解三角方程即可求解；
（2）根据（1）及已知条件，得出角 ，利用余弦定理及一元二次方程的解法即可求解.
【详解】解析：（1）由题意知 ，即 ，从而
故 .
学科网（北京）股份有限公司 23（2）由（1）知 ，因为角 为集合 中 的最小正数，
当 时， ，即
由余弦定理及 知 ，即 ，化
简整理，得
化简整理，得 ，解得 或 .
所以边长 的值为 或 .
6．（2023·全国·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系及两角和的正弦公式的逆用，结合三角形的内
角和定理及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可；
（2）利用同角三角函数的商数关系及正弦定理的边化角，根据（1）的结论得出角 的范
围及余弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，
所以 ，
则 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，由正弦定理得 ，
又 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
故 ，即 的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司 247．（2023·天津·校联考一模）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 的大小；
(2)设 ， ，求 和 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换得出角 的大小；
（2）由余弦定理求出 ，再由正弦定理得出 ，最后由三角恒等变换求解.
【详解】（1）解：因为 ，
所以
所以 ，
因为 ，所以 ，所以
又 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理及 ， ， ，
有 ，故 ．
由正弦定理 ，可得 ．因为 ，故 ．
因此 ， ．
所以， ．
8．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形
中， ， ，且 是边长为 的等边三角形， 交 于
点．
学科网（北京）股份有限公司 25(1)若 ，求 ；
(2)若 ，设 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得 ，可求得 的长，然后在 中，利用勾股
定理可求得 的长；
（2）求得 ， ，在 中利用余弦定理可得出关于 的等式，
结合三角恒等变换可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值.
【详解】（1）解：因为 ，可得 ，
因为 ，可得 ， ，
故 中， ，可得 ．
（2）解：设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，
可得 ，
可得 ，可得 ，解得 ，
因为 ，则 ，得 ，
则 ，所以 ，得 ．
9．（2023·广东茂名·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满
足 .
(1)求A；
学科网（北京）股份有限公司 26(2)若D为边BC上一点，且 ，试判断 的形状.
【答案】(1) ；
(2)直角三角形.
【分析】（1）利用三角变换得到 ，即可求出 ；
（2）设 ，利用正弦定理，化简求出 ，得到 ，即可证明.
【详解】（1）由 得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）设 ， ，则 ， ， ，
在 中，由正弦定理知 ，
即 ，即 ，
化简得 ，
所以 ， ，
所以 是直角三角形.
学科网（北京）股份有限公司 27学科网（北京）股份有限公司 28
