文档内容
重难点突破 01 圆中的范围与最值问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：斜率型....................................................................................................................................2
题型二：直线型....................................................................................................................................5
题型三：距离型....................................................................................................................................7
题型四：周长面积型..........................................................................................................................10
题型五：数量积型..............................................................................................................................12
题型六：坐标与角度型......................................................................................................................15
题型七：长度和差型..........................................................................................................................19
题型八：方程中的参数型..................................................................................................................23
03 过关测试.........................................................................................................................................271、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y−b
μ=
（1）形如
x−a
的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
t=ax+by
（2）形如 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
m=(x−a) 2 +(y−b) 2
（3）形如 的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值
问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
（1）数形结合
（2）多与圆心联系
（3）参数方程
（4）代数角度转化成函数值域问题
题型一：斜率型
【典例1-1】已知实数 ， 满足方程 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方程 化为 ，
表示的图形是一个以 为圆心， 为半径的半圆，
令 ，即 ，如图所示，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离 ，
解得 或 （负值不满足条件，舍去），
所以 的最大值为 ，
故选：C.
【典例1-2】如果实数 ， 满足 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 表示经过原点的直线， 为直线的斜率.
如果实数 ， 满足 和 ，即直线 同时经过原点和圆上的点 .
其中圆心 ，半径
从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为
则直线的斜率就是其倾斜角 的正切值，易得 ， ，
可由勾股定理求得 ，于是可得到 为 的最大值；
同理， 的最小值为－1.
则 的范围是 .
故选：B.
【变式1-1】若实数 、 满足条件 ，则 的范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，可得 ，
则直线 与圆 有公共点，
所以， ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故选：B.
【变式1-2】（2024·山东日照·二模）若实数 满足条件 ，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的几何意义即圆上的点 到定点 的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线
斜率之间，其中AC斜率不存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为 ，
由切线性质有， ，解得 ，故 的取值范围为 ，
故选：D
【变式1-3】已知 为圆 上任意一点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，由于 为圆 上任意一点，
故 可看作圆上任意一点 到定点 的斜率，
当直线 与圆相切时，此时斜率最大，
由于相切时， 故 ，此时斜率 ,
故 的最大值为 ，
故选：C
题型二：直线型
【典例2-1】（2024·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点 是圆 上的动点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【解析】由 ，令 ，则 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：A
【典例2-2】已知点 是圆 ： 上的一动点，若圆 经过点 ，则
的最大值与最小值之和为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为圆 ： 经过点 ，
．又 ，所以 ，
可看成是直线 在 轴上的截距.如图所示，当直线 与圆相切时，纵截距 取得最大值或最小值，此时 ，解得 ，
所以 的最大值为 ，最小值为 ，故 的最大值与最小值之和为 .
故选：C．
【变式2-1】点 在圆 上，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为：
【变式2-2】已知 ， 满足 ，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，表示以 为圆心， 为半径的圆，即
点 为圆 上的点，
令 ，即 ，当直线与圆 相切时 取得最值，所以
，即 ，解得 ，所以
故答案为：
【变式2-3】如果实数 满足等式 ，那么 的最大值是 ； 的最大值
是 ．
【答案】 / /【解析】由 ，得 的几何意义为圆 上的
动点到原点距离的平方．
因为圆心 到原点的距离为 ，所以圆上的动点到原点距离的最大值为 ，
则 的最大值是 ．
令 ，则 是直线 在 轴上的截距，
当直线与圆相切时，直线 在 轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值，
此时，圆心 到直线 的距离 ，解得 ，
所以 的最大值为 ．
故答案为： ； .
题型三：距离型
【典例3-1】已知点P(m，n)在圆 上运动，则 的最大值为 ，最小
值为 ， 的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为 ，半径为3，且P在圆 上，
则 表示在圆 上点到 距离的平方，
而圆心到 的距离为 ，
所以在圆 上点到 距离的最大值为8，最小值为2，
故 的最大值为64，最小值为4；
又 表示在圆 上点到原点的距离，而圆心到原点距离为 ，
所以 的范围为 .
故答案为：64，4，【典例3-2】直线 过定点Q，若 为圆 上任意一点，则
的最大值为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
所以直线过定点 ，
由 ，知圆心坐标 ，半径为2，
所以 到圆心的距离为 ，则 在圆内，
则 的最大值为 ，
故选：B
【变式3-1】（2024·浙江·三模）已知 ，点 在圆 上运动，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】C
【解析】设 ，
则
，
当 时， 取得最大值 .
故选：C.
【变式3-2】（2024·山东济南·三模）圆 上的点到直线 的距离的最大值为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆 上的点到直线 的距离的最大值为 .
故选：C.【变式3-3】已知 ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．9 B．12 C．36 D．48
【答案】C
【解析】设 与 为圆 上一点，
则 ，得 ， ，
即 为等腰直角三角形，设 为 的中点，
则 ，得 ，
即点 在以 为圆心，2为半径的圆上，
故 ，
因为点 到定点D 的距离的最大值为 ，
因此 的最大值为36.
故选：C
【变式3-4】（2024·四川乐山·三模）已知圆 ，点 是 上的动点，过 作圆
的切线，切点分别为 ，直线 与 交于点 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意作出图形如图所示设 ， ，由 ∽ ,可得 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
所以点 ，
将点 的坐标代入直线 中，
化简可得 （ 不同时为 ），
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
所以 的最大值为
故选：B.
题型四：周长面积型
【典例4-1】（2024·高三·河南·开学考试）若直线 与圆 交于
A，B两点，则当 周长最小时，k＝（ ）
A． B． C．1 D．－1
【答案】C
【解析】直线 的方程可化为
所以直线 恒过定点 ，
因为
所以点 在圆内，
由圆的性质可得当 时， 最小， 周长最小，
又 ，
所以 ，此时 ．故选：C．
【典例4-2】在直角坐标系 中，已知 ，动点 满足 ，则 面积
的范围为
【答案】
【解析】设点 ，则
由已知得 ，
所以 ，即
故点 的轨迹方程为 ，即 ，其圆心 ，半径为 ．
直线AC的方程为 ，即
圆心 到直线AC的距离
则点 到边AC的距离的最小值为 ，最大值为
又
则 面积的最小值为 ，最大值为 ，
所以 面积的范围为 ．
故答案为： ．
【变式4-1】若圆C的方程为 ，则圆C的最小周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆C的方程为 ，
所以圆C的半径为 ，
所以圆C的最小周长为 .
故选：D.
【变式4-2】已知点 在直线 上运动，且 ，点 在圆 上，则
的面积的最大值为（ ）
A．8 B．5 C．2 D．1【答案】A
【解析】设圆心到直线的距离为 到直线的距离为 ，
又圆心坐标为 ，则 ，
又半径为 ，则当 最大时， ，
此时 面积也最大， ．
故选：A．
题型五：数量积型
【典例5-1】已知 是半径为5的圆 上的两条动弦， ，则 最大值是
（ ）
A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
如图，连接 ，作 ， ，
易知 是 的中点， 是 的中点，由勾股定理得 ， ，
故 ，
故 ，当 反向时等号成立，故C正确.
故选：C【典例5-2】在 ABC中，BC＝2， ，D为BC中点，在 ABC所在平面内有一动点P满足
△ △
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，即 ，
所以 ．
因为 ， ，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设 所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD BC， ，可得 ， ， ．
⊥
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得 ，圆M的方程为 ，
设 ，则 ，结合 ，
可得 ，
因为A点在圆M： 上运动，
所以 ，可得当 时， ，达到最大值．
综上所述，当 时， 有最大值 ．故选：D．
【变式5-1】已知圆 的弦 的中点为 ，点 为圆上的动点，则 的最大值为
（ ）
A．2 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】圆 ，圆心 ，半径为3，如图，
为弦 的中点， ，
共线时等号成立，
.
故选:D.
【变式5-2】在矩形 中， ， ， 为矩形 所在平面内的动点，且 ，则
的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，设 ， 中点为 ，
因为 ， ，所以 , ， ， ，
得到 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
又 ，当且仅当 （ 在 的延长线上）三点共
线时取等号，所以 ，
故选：B.
题型六：坐标与角度型
【典例6-1】已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x，y)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使
0 0
∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 .
0
【答案】
【解析】
如图圆 ， 在直线 上，
若圆存在点 ，使得 ，
当 在直线 上运动，极端情况， 与圆 相切， .
在 中， ，所以 .所以以 为圆心， 为半径的圆与直线交于 ， 两点.
符合条件的点在线段 之间.
所以 或 .
故 的取值范围为 .
故答案为：
【典例6-2】已知 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】点 在圆 上， ,
则 ，
如图，当 与圆相切时， 取得最小值 ，所以 ，此时点 .
故选：C
【变式6-1】动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】设动圆圆心 ，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得 ,即 ，
，当且仅当 时取等号，即 ，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
故选：C
【变式6-2】（2024·湖南邵阳·三模）已知直线 ： 与圆 ： ，过直线 上的任意
一点 作圆 的切线 ， ，切点分别为A， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆 的圆心为 ，半径为1，则圆心 到直线 的距离为 ，可知直线 与圆 相离，
因为 ，且 ，
当 最小时，则 最大，可得 最大，即 最大，
又因为 的最小值即为圆心 到直线 的距离为 ，
此时 ，所以 取得最大值 ．
故选：C．
【变式6-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，已知 是圆 上一点，
，则 的正切值的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】设过 三点的圆的圆心为 ，且 ，
由于 ，故 最大，则 最大，
只需要圆 与圆 相切于点 时， 最大，
则有 或 （舍去）， ，
所以 ,易知此时 四点共线，
此时 进而 ，故 ，
故选：A.【变式6-4】已知圆D： 与x轴相交于A、B两点，且圆C： ，点
．若圆C与圆D相外切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆D： 的圆心 ，半径为 ，
圆C： 的圆心 ，半径为 ，
因为圆 与圆 相外切，所以 ，所以 ，
且圆 与 轴交于 ，不妨记 ，
因为圆 关于 轴对称，点 与点 关于 轴对称，点 在 轴上，
由对称性不妨令 ，
当 时，则 ，解得 ，
故
，
当 时，则 ，解得 ，
此时 ，
故 ，
当 时，则 ，解得 ，故
，
综上所述， 的最大值为 .
故选：B.
题型七：长度和差型
【典例7-1】已知复数 ， ， ， ， ， ，若 ，且 ，则
的最大值为 ．
【答案】
【解析】由 ，得复数 在复平面内对应点 ，复数 在复平面内对应点 ．
， ， ，记 与 夹角为
， ，所以 , ，
到直线 的距离 ，到直线 的距离 ，
即求 的最大值．
设点D为 的三等分点，且 ，
则D到直线 的距离 ，
，即求 的最大值，
设D到直线 距离为
，即求 最大值．
由 ， ，可知 ，
点 ， 在圆上运动， ，
故当 时， 取得最大值 ， 取得最大值 ，
取得最大值 ，
故答案为： .
【典例7-2】（2024·黑龙江佳木斯·三模）已知圆 上两点 ， ，O为坐标原点，
若 ，则 的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．12
【答案】D
【解析】由圆 上两点A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
得 ，
设 的中点为 ，则 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以点 的轨迹是以 为半径， 为原点的圆，
，
表示 两点到直线 的距离之和的 倍，
因为 为 的中点，故 两点到直线 的距离之和等于点 到直线 的距离的 倍，
圆心 到直线 的距离 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 ，
所以 的最大值是 .
故选：D.
【变式7-1】设A为直线 上一点，P，Q分别在圆 与圆
上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 关于直线 对称的点的坐标为 ，
则 ，解得 ， ，
即 ，由对称性可知 ，
对于圆 ，圆心 ，半径 ， ，
当且仅当A，C， 三点共线时等号成立，
由于 ， ，
则 .
故选A．
【变式7-2】在定圆 内过点 作两条互相垂直的直线与C分别交于A，B和M，N，则的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，当 ， ， ，交换 位置可得 ，
故 ， ，又 ， 显然能取到，故 ，由对勾函数性质可
知，当 或 时， ，故 ，
故选：D
【变式7-3】（2024·广西贵港·模拟预测）已知圆C： ，直线l： ，
若l与圆C交于A，B两点，设坐标原点为O，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆C： 的圆心为 ，半径为2，
直线l的方程可化为 ，于是l过定点 ，且 ，
显然 ，即 ，
又 ，因此 ，
设 ， ，显然 ，
则 ，其中 ，当 时等号成立，此时 ，，符合条件，
所以 的最大值为 ．
故选：D
题型八：方程中的参数型
【典例8-1】（2024·山东泰安·二模）已知在矩形 中， ， ，动点 在以点 为圆心且
与 相切的圆上，则 的最大值为 ；若 ，则 的最大值为
.
【答案】 3
【解析】如图：以 为原点，以 所在的直线为 , 轴建立如图所示的坐标系，
则 ， ， ， ，
动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，
设圆的半径为 ，
， ，
，
，圆的方程为 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
，故 的最大值为 ，
， ，
，
， ，
，
，
，
故 的最大值为3，
故答案为： ，3
【典例8-2】如图，在直角梯形 中， ，点M在以 为直径的半圆
上，且满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】如图，以 为原点建立直角坐标系，设 中点为 ，易得 ，则 中点
， ，
故以 为直径的圆的方程为 ，过 作 轴平行线交 轴于 ，交半圆于 ，则
，设 ，
则 ，又
，
故 ，则 ，其中
，
显然当 时， 取最大值 .
故选：D.
【变式8-1】已知 ， ， ， ，则 面积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点 ，因为 ，所以 ，
点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又直线 的方程为 ： ， ，圆心 到直线 的距离
，所以 到直线 的距离最大值为则 面积的最大值为 .
故选： .
【变式8-2】已知点 ，点 为圆 上一动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点 为圆 上一动点，故设 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 ，则 ，
其中 为辅助角， ，
则 ，整理得 ，
故 的最大值为 ，
故选：A
【变式8-3】已知过点 的动直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的切线，两切
线交于点 .若动点 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，连接 、 ，则 、 ，所以四边形 对角互补，则 、 、
、 四点在以 为直径的圆上.设 ，则该圆的圆心为 ，半径为 ，则该圆的方程为
，又该圆和圆 的交点弦即为 ，故 直线所在的方程为
，整理得 ，又因为点 在直线 上，故
，即 点的轨迹为 ，又因为 的坐标为 ，因为
，所以 在圆 上运动，故 的最小值为 到直线 的距离
减去半径，即 ，即 的最小值为 .
故答案为：
1．（多选题）已知实数x，y满足方程 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 B． 的最大值为
C． 的最大值为 D． 的范围是
【答案】ABD
【解析】因为实数x，y满足方程 ，
所以 ，得圆心为 ，半径为1，
对于AB，设 ，则两直线与圆有公共点，
所以 ，
解得 ， ，
所以 的最大值为 ， 的最大值为 ，所以AB正确，
对于C，因为原点 到圆心 的距离为 ，
所以圆上的点到原点的距离 ，所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，所以C错误，
对于D， 表示出圆上的点 到直线 的距离，
因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，即 ，所以D正确，
故选：ABD
2．（多选题）已知圆 ，点 为圆 上一动点， 为坐标原点，则下列说法中正
确的是（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C．直线 的斜率范围为
D．以线段 为直径的圆与圆 的公共弦方程为
【答案】AC
【解析】圆 的圆心 ，半径 ，
又 ，所以 ，即点 在圆外，
所以 ，故A正确；
，当且仅当 在线段 与圆 的交点时取等号，故B错误；
设直线 ，根据题意可得 点到直线 的距离 ，解得 ，故C正确；
设 的中点为 ，则 ，又 ，
所以以 为直径圆的方程 ，显然圆 与圆 相交，
所以公共弦方程为 ，故D错误．故选：AC．
3．（多选题）点 是圆 上的动点，则下面正确的有（ ）
A．圆的半径为3
B． 既没有最大值，也没有最小值
C． 的范围是
D． 的最大值为72
【答案】BC
【解析】圆 转化为 ，
则圆的圆心为 ，半径为2，选项A错误.
设 ，则直线 与圆有交点，即 ，
整理得 ，解得 或 .
既 没有最大值，也没有最小值，选项B正确.
设 ， ，
则 ，其中 .
则 的取值范围为 ，选项C正确.
又 ，则 ，
因此
其中 .
则 的最大值为 ，选项D错误.故选：BC.
4．（多选题）（2024·高三·福建福州·期末）已知 ， ，动点C满足 ，记 的轨
迹为 .过 的直线与 交于 两点，直线 与 的另一个交点为 ，则( )
A． 关于 轴对称 B． 的面积的最大值为
C．当 时， D．直线 的斜率的范围为
【答案】AC
【解析】设 ，由 得， ，
整理得 的方程为 ，其轨迹是以 为圆心，半径 的圆．
由图可知，由于 ，所以当 垂直 时，即 时， 的面积的最大值，
所以 ，选项B错误；
因为 ，所以 ，所以 ，
又轨迹 的轨迹关于 轴对称，所以 关于 轴对称，选项A正确；
当 时， ，则 为等腰直角三角形， ，选项C正
确；
当直线 与圆 相切时， ，此时 ，所以 ，所以切线 的倾斜角为 和 ，
由图可知，可得直线 的斜率的取值范围为 ，选项D错误.
故选：AC
5．（多选题）若实数 、 满足条件 ，则下列判断正确的是（ ）
A． 的范围是 B． 的范围是
C． 的最大值为1 D． 的范围是
【答案】BD
【解析】对于选项A、B、C利用基本不等式进行化简求解即可，对于选项D，利用数形结合进行判断求解
对于A， ，故 ，化简得，
，所以， ，A错
对于B， ，又因为实数 、 满足条件 ，故 ，所以， ，
B对
对于C，由于 ，所以， ，
故 ，化简得， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ，C
错
对于D， 即求该斜率的取值范围，明显地，当过定点的直线的斜率不存在时，
即 时，直线与圆相切，当过定点的直线的斜率存在时，令 ，
则 可看作圆 上的动点到定点 的连线的斜率，
可设过定点 的直线为： ，
该直线与圆 相切，圆心到直线的距离设为 ，
可求得 ，化简得 ，故 ，故D对
故选：BD
6．（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被
后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，
且其“欧拉线”与圆M： 相切，则下列结论正确的是（ ）
A．圆M上点到直线 的最小距离为
B．圆M上点到直线 的最大距离为
C．圆M上到直线BC的距离为 的点有且仅有2个
D．圆 与圆M有公共点，则a的范围是
【答案】AD
【解析】由题意，可得如下示意图：
∵ 为等腰三角形且AB＝AC，知：外心、重心在 的中垂线上，由“欧拉线”定义即 为“欧拉
线”且B、C中点 在直线上，而 ，
∴直线 ： ，而圆M与直线 知 ，∴圆M： ，且直线 ：
圆心M到直线 的距离 ，圆上点与直线距离范围为 ，故A正确，B错误；
圆心M到直线BC的距离 ，故C错误；
圆 与圆M有公共点，即 ，所以 ，故D
正确.
故选：AD
7．（多选题）设点 为圆 上一点，已知点 ， ，则下列结论正确的有
（ ）
A． 的最大值为
B． 的最小值为
C．存在点 使
D．过 点作圆 的切线，则切线长为
【答案】AD
【解析】对于A，设 ，则 点到直线 的距离 ，
解得 ，得 的最大值为 ，故A正确；
对于B，令 ，
则 点到直线 的距离 ，
解得 ，得 的最小值为 ，故B错误；
对于C，假设存在点 使 ，设P(x,y)，则
，化简得 ，
因此满足 的点 在圆 上，此圆圆心为 ，
半径为 ，而 ，因此与圆 外离，所以不存在点 使 ，故C错误；
对于D，圆 的圆心为 ，半径为 ，则过 点作圆 的切线，
则切线长为 ，故D正确.
故选：AD.
8．（多选题）（2024·高三·辽宁鞍山·开学考试）已知直线 ，圆为圆 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为5
B． 的最大值为
C．直线 与圆 相切时，
D．圆心 到直线 的距离最大为4
【答案】BC
【解析】圆 的方程可化为 ，所以圆 的圆心为 ，半径 .
，P(x ,y )是圆上的点，
0 0
所以 的最大值为 ，A选项错误.
如图所示，当直线 的斜率大于零且与圆相切时， 最大，
此时 ，且 ，B选项正确.
直线 ，即 ，过定点 ，
若直线 与圆 相切，则圆心 到直线 的距离为 ，
即 ，解得 ，所以C选项正确.
圆心 到直线 的距离 ，
当 时， ，
当 时， ，所以D选项错误.
故选：BC
9．（多选题）（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼
斯圆的定义：在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数 （ ，且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知
，点M满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72
C．若 ，则 的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
【答案】ABD
【解析】对于A，设点 ，由 ，得 ，
化为 ，所以点M的轨迹是以点 为圆心、4为半径的圆，
所以 面积的最大值为 ，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N， ，
当点M的坐标为 时取等号，故 的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点 在圆外，点 在圆内，
，当B，M，Q三点共线且点M
在线段BQ之间时， ，故C错误；
对于D，由 ，|OB|=2，有 ，当点M不在x轴上时，
由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是 中 的平分线，故D正确．
故选：ABD．
10．（多选题）已知点 在圆C： 上，点 ， ，则（ ）
A．直线 与圆 相切
B．点 到直线 的距离小于7
C．当 最大时，
D． 的最小值小于15°
【答案】BCD【解析】对于A：圆 ： 的圆心 ，半径 ，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离 ，
可知直线 与圆 相离，A错误；
对于B：因为圆心 到直线 的距离 ，
所以圆 上的点 到直线 的距离最大值为 ，B正确；
对于C：当直线 与圆 相切（图中 位置）时， 最大，
此时 ，C正确；
对于D：直线 与圆 相切（图中 位置）时， 最小，
由 ，
又
得 ，
又 ，
可得 ，
又 ，
因为 ，
所以 ，又 为锐角，所以 ，D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知 为直线 上的一点，动点 与两个定点
， 的距离之比为2，则（ ）
A．动点 的轨迹方程为 B．
C． 的最小值为 D． 的最大角为
【答案】ACD
【解析】设 ，依题意有 ，化简得 ，
所以动点 的轨迹方程为 ，A选项正确；
方程 表示圆心为B(4,0)半径为2的圆，圆心B(4,0)到直线 的距离
，
所以|MN|的最小值为 ，B选项错误；
，当 三点共线时，有最小值，
最小值为点 到直线 的距离 ，C选项正确；
的最大时， 与圆 相切，此时 ， ， ，D选项正确；
故选：ACD
12．（多选题）已知点 在圆 上，点 是直线 上一点，过点 作圆 的
两条切线，切点分别为 、 ，又设直线 分别交 轴于 ， 两点，则（ ）
A． 的最小值为 B．直线 必过定点C．满足 的点有两个 D． 的最小值为
【答案】BCD
【解析】圆 的圆心为 ，半径 ，
则 到直线 的距离 ，
则 ，故A错误；
设 ，以 为直径的圆 ，
又圆 ，两圆的方程相减得 ，即 ，
由 ，解得 ，因此直线 过定点 ，故B正确；
对于直线 ，令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 的中点为 ， ，
则以 为直径的圆 的方程为 ，又 ，
则 ，所以以 为直径的圆与圆 相交，所以满足 的点有两个，故C正确；
因为 ， ，设 ，M(x,y)，则 ，
则 ，即
又 ， ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 在线段 与圆 的交点时取得最小值，故D正确.故选：BCD
13．（2024·高三·山东济宁·开学考试）过直线 上一点 作圆 的两条
切线，切点分别为 ，则线段 的长度的范围是 ．
【答案】
【解析】由题意知， ，
则圆心 ，半径 ，
如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，
连接AB，CA，CB，CP，则 ，易知 ，
所以 ，有 ， ，
所以 ，得 ，
当 最小时， 取得最大值，即点C到直线 的距离为
，此时 ，所以 ；
又 三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以 ，
所以 ，即线段AB的长度的取值范围为 .
故答案为：14．已知 与 相交于点 线段 是圆 的一
条动弦，且 则 的范围为
【答案】
【解析】直线 ，即 ，
直线过定点 ，且斜率存在.
直线 ，即 ，
直线过定点 ，直线与 轴不平行.
线段 的中点为 ， ，
由于 ，所以 ，
所以 点的轨迹是以线段 为直径的圆，
即 点的轨迹是圆 （除点 ）.
圆 的圆心为 ，半径为 ，
设 是 的中点，连接 ，则 垂直平分 ，
则 ，所以 点的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
即 点的轨迹是圆 ，
， 即圆 （除点 ）上的点，
与圆 上的点的距离，
，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为：15．（2024·高三·上海闵行·开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点 满足
，则 的范围为 .
【答案】
【解析】以 中点为原点 ，以 所在直线为 轴，以 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系
，
因为 ，所以 ， .
设 ，因为 ，所以 ，
整理得 ，即 .
.又 ，
则 ，则 .
故答案为：
16．（2024·江西宜春·一模）已知点 ，若圆 上存在点 满足
，则实数 的取值的范围是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，
，即 ，
在以 为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆 有公共点，
所以 ，解得 ．
故答案为： ．
17．已知 若圆 上存在点P，使得 ，则
m的范围 ．
【答案】
【解析】设点 ，由 得： ，整理得： ，
于是得点P的轨迹是以原点O为圆心，m为半径的圆，而圆 的圆心 ，半径
为2，
显然圆O与圆C有公共点P，因此有 ，而 ，解得 ，
所以m的范围是 .
故答案为：
18．（2024·上海·一模）已知点 为圆 的弦 的中点，点 的坐标为 ，且 ，
则 的范围是 ．
【答案】
【解析】设 ，
，， ，
，即 ，
，所以 .
因为 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆
所以 的取值范围为 ，即
则 的范围是
故答案为：
19．已知 ， ，若圆 （ ）上恰有两点 ， ，使得 和 的面积
均为 ，则 的范围是 ．
【答案】
【解析】 ，使得 和 的面积均为 ，只需 到直线 的距离为
2，直线 的方程为 ，圆心到直线 的距离为1，
当 时，圆 （ ）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；
若 时，圆 （ ）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；
当 时，圆 （ ）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则 .
20．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知实数 满足 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
所以点 在圆 上，其中圆心为 ，半径为 ，
又 ，其中 表示点 与点 连线的斜率，
又 ，所以点 在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时， 取得最值，设过点 的直线 的方程为 ，
即 ，则 ，解得 或 ，
即 的最大值为 ，最小值为 ，所以 的最大值为 .
故答案为：
21．已知圆 ，动点 在圆 上，则 面积的最大值为
．
【答案】
【解析】因为圆 化为标准方程为 ；
圆心 ，半径 ，
圆 化为标准方程为 ；
圆心 ，半径 ，
可得 ， ；
则 面积 ；
当 ，即 时，
的面积最大，其最大值为 ．
故答案为：
22．（2024·河南周口·模拟预测）已知点 ， 为圆 上一动点， 为直线 上一
点，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】不妨设x轴上定点 使得满足 ，M(x ,y )，
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则 ，整理得， ，
又 ，所以 ，则 ，
解得 ，所以 ，使得 ，要使 最小，则 最小，
所以B，M，N三点共线，且MN垂直于直线 时取得最小值，如图所示.
故 的最小值为点B到直线 的距离 .
故答案为：
23．已知 满足 ，则函数 的最小值为 ．
【答案】
【解析】由 ，
得
，
表示 两点之间的距离，
表示 两点之间的距离，
则 ，
设 ，使得 ，
由阿氏圆性质知 ，
则 ，
当且仅当 三点共线，且 在线段 上时，取等号，
所以 的最小值为 ．故答案为： .
