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微重点 10 球的切接问题
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是
通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半
径等，一般出现在压轴小题位置．
考点一 空间几何体的外接球
例1 (1)(2022·保定模拟)已知三棱锥P－ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，PA＝
AB＝AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A．12π B．16π C．20π D．24π
(2)(2022·临川模拟)已知在四棱锥 P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面
PAB⊥底面ABCD，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为(
)
A. B.
C．64π D．16π
规律方法 求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以
及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
跟踪演练1 (1)已知四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，则四面体
ABCD的外接球的表面积为________．
(2)如图，在三棱锥A－BCD中，△BCD为等腰直角三角形，BC⊥CD，侧面ABD为边长为
2的等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，则三棱锥A－BCD外接球的体积为________．
考点二 空间几何体的内切球
例2 (1)(2022·酒泉模拟)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝
4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
(2)(2022·湖北多校联考)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得
到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.规律方法 空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，
作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
跟踪演练2 (1)在封闭的直三棱柱ABC－ABC 内有一个体积为V的球，若△ABC的三边长
1 1 1
为4,4,6，棱柱的高为2，则V的最大值为( )
A. B. C．4π D.
(2)(2022·西安模拟)六氟化硫，化学式为SF ，在常温常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃
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的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫的分子结构为正八
面体结构(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)，如图所示．若此正八面体的棱长为
2，则它的内切球的表面积为( )
A. B. C. D.
