文档内容
专题 13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：正四面体外接球....................................................................................................................2
题型二：对棱相等的三棱锥外接球....................................................................................................3
题型三：直棱柱外接球........................................................................................................................5
题型四：直棱锥外接球........................................................................................................................7
题型五：正棱锥与侧棱相等模型........................................................................................................9
题型六：垂面模型..............................................................................................................................12
题型七：二面角模型..........................................................................................................................15
题型八：坐标法解决外接球问题......................................................................................................18
题型九：多面体外接球......................................................................................................................23
题型十：锥体内切球..........................................................................................................................25
重难点突破：棱切球..........................................................................................................................27
02 重难创新练....................................................................................................................................30题型一：正四面体外接球
1．若正四面体的表面积为 ，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为 ，由题意可知： ，解得： ，
所以正四面体的棱长为 ，
将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为 ，正方体的体对角线长为 ，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径 ，
则外接球的体积为 ，
故选： .
2．已知正四面体 的外接球体积为 ，则正四面体 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】将正四面体 补成正方体 ，
设正方体 的棱长为 ，则正四面体 的棱长为 ，
正四面体 的外接球半径为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以，正四面体 的棱长为 ，
因此，正四面体的表面积为 .
故选：C.
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
3．已知四面体 中， ， ， ，若该四面体的各个顶点都
在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B．
C．
D．
【解析】解：由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为 ， ， ，长方体的对角线长为 ，
球的半径为 ，
此球的表面积为 ．
故选： ．
4．如图，在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 外接
球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：由题意， ， ， ，将三棱锥 放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为 ，2， ，
即 ， ， ，
解得： ， ， ．
外接球的半径 ．
三棱锥 外接球的体积 ．
故选： ．
5．在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表
面积为A． B． C． D．
【解析】解： 三棱锥 中， ， ， ，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， ，
则长方体的对角线长等于三棱锥 外接球的直径．
设长方体的棱长分别为 ， ， ，则 ， ， ，
，
三棱锥 外接球的直径为 ，
三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选： ．
题型三：直棱柱外接球
6．《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的十部古算书）中非常重要的
一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知“堑堵” 的
所有顶点都在球 的球面上，且 ．若球 的表面积为 ，则这个三棱柱的表面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， 的中点分别为 ， ，连接 ，取 的中点 ．直三棱柱 中， ， ，
四边形 是平行四边形，有 ，
因为三棱柱 的底面是直角三角形， ，所以 ， ，
， 分别是 ， 的外接圆圆心．
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以 为 的外接球的球心．
连接 ，因为球 的表面积为 ，所以球 的半径为1，即 ，
，则 ， ，可得 ， ，
所以三棱柱 的表面积 ，
故选：C．
7．已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且 ， ， ， ，若该三棱柱的
各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，在 中， ， ， ，
由余弦定理可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 外接圆半径 ，
设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中， ，易得球半径
，故此球的表面积为 ．
故选：A．
8．已知直三棱柱 的6个顶点都在球 的表面上，若 ， ，则球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在 中， ，且 ，
由余弦定理得 ，
设底面 的外接圆的半径为 ，由正弦定理得 ，即
再设直三棱柱 外接球的球心为 ，外接球的半径为 ，
在直角 中，可得 ，
所以球 的表面积为 .
故选：B.题型四：直棱锥外接球
9．已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上， ， ， ， ， 平
面 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在三棱锥 中，球心 在棱 的中垂面 上，由 平面 ，得 平面 ，
则球心 到平面 的距离为 ，在 中，由余弦定理得：
，
因此 外接圆半径 ，球 的半径 ，
所以球O的表面积 .
故选：C
10．已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ，则该三棱锥外接
球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】在 中，因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，取 中点E，则E为 的外心，且外接圆的半径为 ，
过E作底面的垂线 ，使 ，又 平面 ，则O为三棱锥外接球的球心，
所以外接球的半径 ，
所以三棱锥外接球的表面积为 ，
故选：C.
11．已知三棱锥 ， 平面 ， ， ，若三棱锥外接球的表面积为
，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
，
设 外接圆的半径为 ，则 ，即 ，设三棱锥外接球的半径为 ， ，解得 （负值已舍去）；
因为 平面 ，所以 ，即 ，解得 （负值已舍去）；
所以 .
故选：B
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
12．已知正六棱锥 底面边长为2，体积为 ，则 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正六棱锥 得，底面 为正六边形，设底面 的中心为 ，连接
，
则 ， 底面 ， 为正六棱锥 的高，
所以 ，
因为正六棱锥的体积为 ，所以 ，即 ，
故点 为 外接球的球心，半径为2，
故 外接球的体积 ，
故选：C．
13．已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
在 中， ，
由余弦定理： ,
所以 ，所以 外接圆半径为 ，即 .
在直角三角形 中， ， ，所以 .
设棱锥 外接球半径为 ，在直角三角形 中， ，
解得： .
所以球 的表面积为： .
故选：A
14．已知三棱锥 的侧棱长相等，且所有顶点都在球的球面上，其中
，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】如图，三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，
，
由余弦定理得 ，
，则 ，
截球 所得的圆 的圆心 为 的中点，半径 ，
由于三棱锥 的侧棱长相等，所以 共线，且 ，
.
设球的半径为 ，由 得： .
球 的表面积 ．
故选：A．
15．在三棱锥 中， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意画出图形，如图所示，
分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
又 ，所以 ， ， ，
由图形的对称性可知：球心必在 的延长线上，
设球心为 ，连接 ， ，
设半径为 ， ， ，
可知 ， 为直角三角形，
所以 ，所以 ，
解得 ， ，
所以球的表面积为 .
故选： .
题型六：垂面模型
16．如图， 是边长为4的正三角形，D是BC的中点，沿AD将 折叠，形成三棱锥 ．
当二面角 为直二面角时，三棱锥 外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由于二面角 为直二面角，且 和 都是直角三角形，
故可将三棱锥 补形成长方体来求其外接球的半径R，
即 ，解得 ，
从而三棱锥 外接球的体积 ．
故选：D
17．如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， 是
的中点， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意， 为等边三角形，且高 ，则 ，
而 ，又 ，则 为等边三角形，
平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ，于是 平面 ，
令 的外心为 ，三棱锥 外接球的球心为 ，则 平面 ，
又三棱锥 的外接球球心 在线段 的中垂面上，此平面平行于平面 ，因此 ，等边 外接圆半径 ，
三棱锥 的外接球 ，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，
故选：C
18．已知直角 的面积是10，CD是其斜边AB上的高．将 沿CD折起，使得二面角
是直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记 ，则 ，得 ，
又 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
由直角三角形性质可知 ，
在图2中，因为 ，二面角 是直二面角，
所以 ，所以可将三棱锥 补形成长方体，
记外接球半径为 ，
则
因为函数 在区间 单调递增，所以当 时， 取得最小值 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积的最小值 .
故选：B
题型七：二面角模型
19．在菱形 中， ， ，将 沿 翻折，使二面角 的余弦值为 ，则
四面体 的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，则 ， ，
故 是二面角 的平面角,
因为 ,所以 ,
在 中，由余弦定理 ,得 ，故四面体 是正四面体.
如图所示，将其放置在正方体中，使得 ， ， ， 是正方体的四个顶点，则正方体的棱长为 ，体对角线长 ，即四面体 的外接球的半径为 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
20．在四棱锥 中，已知平面 平面 ， ，
若二面角 的正切值为 ，则四棱锥 外接球的表面积为 ．
【答案】 /
【解析】分别取 、 的中点 、 ，连接 ．
因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 分别为 的中点，所以 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以三棱锥 外接球的球心 在直线 上，由 知 在线段 的延长线上．
设 ，则 ，即 ，所以 ，
所以三棱锥 外接球的半径为 ，表面积为 ，因为 ， ，即 ，
所以 、 、 、 四点共圆，
所以三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，
故四棱锥 外接球的表面积为 ．
故答案为：
21．在三棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 的正三角形，二面角
的大小为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 .
【答案】 /
【解析】取 的中点为 ，连接 ， ， 是边长为 的正三角形，
则 ， ，又 平面 ， 平面 ，则 ，又 ， 平
面 ，
于是 平面 ，而 平面 ，则 ，因此 为二面角 的平面角，
即 ，则 ，将三棱锥 补成三棱柱（ 为底面、 为侧棱），
则该三棱柱的外接球就是三棱锥 的外接球，
设三棱锥 的外接球半径为 ，显然 的外接圆半径 ，
因此 ，所以球的体积为 .故答案为：
22．已知 是边长为4的正三角形， 是 边上的中线．现将 沿 折起，使二面角
等于 ，则四面体 外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】因为 是正三角形，且 是 边上的中线，
所以 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ；
记 的中点为 ， 的外接圆圆心为 ，
过 作平面 的垂线，则球心 在该垂线上，连接 ，
因为二面角 等于 ，所以 ，
由正弦定理可知 ，所以 ，
由垂径定理以及线面垂直的性质易知四边形 是矩形，
所以 ，
所以 ，即外接球的半径 ，
所以外接球的表面积为 ，
故答案为： .题型八：坐标法解决外接球问题
23．如图，在长方体 中， ， ， 分别是棱 ， 的中点，点
在侧面 内，且 ，则三棱锥 外接球表面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，连接 ， ， ，易证四边形 是平行四边形，因为 ，所以 四点共面，又因为点
在侧面 内，所以点 在线段 上.
取 的中点 ，连接 ， ，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ，易证 ，
则 平面 ，则三棱锥 外接球的球心 在直线 上，连接 ， ， ， .
设三棱锥 外接球的半径为 ，则 .因为 ，所以
， ，所以 ，所以 .则当 与 重合
时， ，此时三棱锥 外接球的半径取得最小值 ；当 与 重合时， ，此时三棱锥
外接球的半径取得最大值 .故三棱锥 外接球表面积的取值范围是 .
故答案为： .
24．如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ， 的中点，将 沿 折起
到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体 的外接球体积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、 、
，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点 ，设外接球
的球心为 ，半径为 ，则 ，即
，解得 ，所以 ，所以外接球的体积
；
故选：B25．如图，已知四棱锥 ，底面 是边长为3的正方形， 面 ， ，
， ，若 ，则四棱锥 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，设
，
则 ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
于是 ，则 ，∴ ，四棱锥 外接球直径为 ，故其表面积为
．
故选：B.
26．四棱锥P﹣ABCD中，△ABP是等边三角形，底面ABCD是矩形，二面角P﹣AB﹣C是直二面角，
，若四棱锥P﹣ABCD的外接球表面积是20π，则PA，BD所成角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】四棱锥 外接球的表面积为 .连接 角 于 ，由于四边形 是
矩形，所以 是矩形 的外心，球心 在其正上方.设 是 的中点，连接 ，由于 是等边
三角形，所以 ，由于平面 平面 ，所以 平面 .由于
，所以 .设 ，则 ，所以
，即 ，解得 .由以及 平面 可知 两两垂直，以 为空间坐标原点建立如图所示的空间直角
坐标系， ，则 ， ，设异面直
线 所成角为 ，则 .
故选：C.
题型九：多面体外接球
27．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体沿交于一顶
点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体．它的
各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的半正多面体被称为二十四等边体．如图
所示，已知该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为 ，则其外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将二十四等边体补全为正方体，则该二十四等边体的过A，B，C三点的截面为正六边形
，
设原正方体棱长为 ，则正六边形边长为 ，其面积为 ，解得 ，
因此原正方体的棱长为 ，由对称性知，二十四等边体的外接球球心是原正方体的体对角线的交点，
球半径 为该点到点 的距离 ，所以外接球的表面积为 .
故选：D
28．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到：用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正
四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．如图，正二十面体是由20个
等边三角形组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，是五个柏拉图多面体之一．如果把
按 计算，则该正二十面体的外接球半径与棱长的比为 ；该正二十面体的表面积与该正二
十面体的外接球表面积之比等于 ．【答案】 / /
【解析】如图，这个正二十面体上方的一个正五棱锥：
则正二十面体的外接球就是这个五棱锥的外接球.
不妨设正二十面体的棱长为2.
如图：
正五边形 的外接圆半径就是黄金 的外接圆半径，
设为 ，则 .
则 到正五边形 中心 的距离为： .
设正二十面体的外接球半径为 ，则 .
所以正二十面体的外接球半径与棱长的比为： .正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比： .
故答案为： ；
29．如图（1），在长方体 中， ， ， 为上底面 的中心.现将矩形
绕点 在原平面内顺时针旋转 角，连接 、 、 、 、 、 、 、 ，
得到如图（2）所示的十面体，若这个十面体的各个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积是 .
【答案】
【解析】该十面体的外接球的球心是上下底面中心连线的中点，该点到该十面体每个顶点的距离均为
，
所以这个十面体的外接球的半径为 ，从而其表面积 .
故答案为：
题型十：锥体内切球
30．若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 ，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】【解析】
过圆锥的旋转轴作轴截面，得 及其内切圆 和外接圆 ，
且两圆同圆心，即 的内心与外心重合，所以 为正三角形，
由题意 的半径为 ，
所以 的边长为6，
所以圆锥的底面半径为3，
所以圆锥的侧面积 ．
故答案为： .
31．已知三棱锥 三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且 ，M为该三棱锥的内
切球上的动点，则M，P两点间距离的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ，且三条侧棱两两垂直，
则△ 是边长为 的正三角形，
如图，设三棱锥的内切球 与平面 相切于 ，
根据已知条件知 三点共线，且 为△ 的中心，
连接 与球交于点 ，此时 最小，
连接 与 交于 ，由已知得 ，
， ，
而 ， ，
设球 的半径为 ，则由等体积法得，
，即 ，解得 ，
所以 .
故答案为： .
重难点突破：棱切球
32．若正四面体的棱长为2，各条棱均与同一球面相切，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
在棱长为 的正方体中构造棱长为 的正四面体 ，
显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半径为正方体棱长的一半，即 ，
则该球的表面积为 ．
故选：A33．已知正三棱柱 的体积为18，若存在球O与三棱柱 的各棱均相切，则球O的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正三棱柱 的底面边长为 ，高为 ，上底面中心为 ，下底面中心为 ，
连接 ，则球 的球心 在 的中点上，设球 切棱 于 ，切棱 于 ，
则 、 分别为所在棱的中点，
由题意 ，①
因为 ， ，
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，②
联立①②可得 ，
所以球 的半径为 ，
所以球O的表面积为 ，
故选：C.
34．在正三棱锥 中， ，若球 与三棱锥 的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】取 的中心 ，连接 ，
则 平面 ，且与棱均相切的球的球心 在 上，
连接 并延长交 于 ，则 为 的中点， ，
连接 ，易证 ，
过 作 ，交 于点 ，
设球 的半径为 ，则 ，
由题意易求得 ，
由勾股定理得 ，
在 中， ，所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，从而 ，所以 ，
所以 ，故球 的表面积为 .
1．（2024·云南·一模）已知正四棱锥的高为 ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图：
设正四棱锥的高为 ，球的体积为 ，所以球的半径 ，
设正四棱锥的底面边长为 ，则 ，解得 ，
所以正四棱锥的体积 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，故当 时，正四棱锥的体积 取得最大值，最大值为 .
故选：C
2．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知三棱锥 各个顶点都在半径为 的球 的球面上，且
， ， ，则球心 到平面 的距离为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】
如图，过点 作底面 的射影 ，因 ，则点 为 的外心，
又因 ， ，故点 为 的中点，
连接 ，则三棱锥 的外接球的球心 必在 上，
连接 ，则 ， ，
在 中， ，
因 平面 ，故球心 到平面 的距离为 .
故选：A.
3．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥 的外接球，若正三棱锥 的高为
，底边 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱锥 的底面中心为M，D为BC的中点，连接AD，
显然球心O在直线PM上，设球O的半径为R，因为 ，
所以球心O到底面ABC的距离为 ， ，
由 ，得 ， ，
所以球心O到平面ABC的距离为 ．
故选：A
4．已知四面体 的各个面均为全等的等腰三角形，且 .设 为空间内一点，且 ，
， ， ， 五点在同一个球面上，若 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将四面体 放入长方体中，设长方体的相邻三条棱长分别为 ， ， ，
依题意，可知 ， ，则 ， ， ，
解得 ， ，由于 ，即异面直线 和 的距离为 ，
由于长方体的左右侧面为正方形，
∴ ，取 中点 ，连接 ，则 左侧面， 在左侧面，
∴ ，又 ， ， 平面 ，
故 平面 ，四面体 的外接球半径为 ，球心为 ，
由 ，知点 的轨迹为一个圆，设轨迹圆的半径为 ，圆心为 ，过 ， ， 作球的一个轴截面，
∴ ，且 ， ，且 ，
解得 ， ，
∴ 的轨迹长度为 .
故选：C.
5．已知正三棱锥 ，点 都在半径为 的球面上，若 两两垂直，则球心到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为 两两垂直，所以正三棱锥 的外接球就是所在正方体的外接球．
如图，外接球的球心即为正方体的中心 ，正方体的体对角线就是外接球的直径．
设正方体的棱长为 ，外接球的半径为 ，则 ，即 ，
即 ， ， ，．设点 到平面 的距离为 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以球心 到平面 的距离为 ．
方法二：如图， 为等边三角形 的中心，连接 ，
则三棱锥 的外接球球心 在直线 上，连接 ，设 ，
则 ， ，
，
（或 ），
在 中， ，即
（或 ），解得 （ 舍去），
所以 ，即球心 到平面 的距离为 ．方法三：因为 两两垂直，所以正三棱锥 为正方体的一部分，
它的外接球就是该正方体的外接球，如图，外接球的球心即为正方体的中心 ，
正方体的体对角线就是外接球的直径，即 ．
因为 ，且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
同理 平面 ，又 ， 平面 ，
故平面 平面 ，设体对角线 交平面 于点 ，交平面 于点 ，
由正方体的性质知 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，故 ， ，
又 平面 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，则 ，同理 ，又 平面 ， ，
故 平面 ，所以球心 到平面 的距离为 ．
故选：C．
6．（2024·宁夏吴忠·一模）已知 是球 的球面上的三个点，且 .
若三棱锥 的体积是 ，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 ，
由正弦定理可得 外接圆的半径 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
则球 的半径 ，所以球 的体积为 .
故选：A
7．（24-25高三上·湖南·期中）已知正四棱锥的顶点都在球上，且棱锥的高和球的半径均为 ，则正四棱
锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为棱锥的高和球的半径均为 ，所以底面正方形的外接圆圆心即为球心，外接圆半径即为球的
半径，
所以正四棱锥的底面边长 ，
故四棱锥的体积为 .
故选：B.
8．（24-25高三上·山东济宁·期中）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ，
， ， 平面 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】因为 ， ， ，
由余弦定理得 ，
故 ，所以 ⊥ ，
的外接圆圆心为 的中点 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
故 的中点即为球 的球心，此时有 ，
且 ，故外接球半径为 ，
外接球表面积为 .
故选：C
9．（多选题）如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，若四边
形 是边长为2的正方形，则（ ）
A．异面直线 与 所成角大小为
B．二面角 的平面角的余弦值为C．此八面体的外接球体积为
D．此八面体的内切球表面积为
【答案】ACD
【解析】连接 、 交于点 ，连接 、 ，
因为四边形 为正方形，则 ，
又因为八面体的每个面都是正三角形，
所以 、 、 三点共线，且 面 ，
所以以 为原点，分别以 、 、 为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示，
则O(0,0,0)， ， ， ，
， ， ，
对于A项， ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ，
所以 ，即异面直线 与 所成角大小为 ，故A项正确；
对于B项， ， ， ，
设面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，则 ， ，则 ，
设面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，则 ，
所以 ，
又因为面 与 所成的二面角的平面角为钝角，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ，故B项错误；
对于C项，因为 ，
所以 为此八面体外接球的球心，且外接球的半径为 ，
故体积为 ，故C项正确；
对于D项，设内切球的半径为 ，
则八面体的体积为 ，
又八面体的体积为 ，
所以 ，解得 ，
所以内切球的表面积为 ，故D项正确.
故选：ACD.
10．（2025·陕西渭南·一模）半径为2025的三个球放在桌面上．两两相切．现将另一个球放在三个球上方
（与三个球都相切）．且这个球的最高处与另外三个球的最高处在同一个平面上．则这个球的半径为
．
【答案】675【解析】
假设桌面上三个球的球心为 ，两两外切，则 是半径为 的正三角形，且位于一个水平
面上。
设顶端球的球心为 O，半径为 ，于是 ,
考虑四个球心形成的正三棱锥， 为顶点在底面的投影，设 为顶点到底面的距离,
利用勾股定理， ，于是 ,
另一方面，题干已知球的上顶点在同一水平面上，得到 ,两个方程联立，解得 .
故答案为：
11．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面
平面 ， ， ，若点 、 、 、 都在球 的表面上，则球 的表面积为
．
【答案】
【解析】过点 在平面 内作作 ，垂足点为 ，
取线段CD的中点 ，连接 、 ，如下图所示：
因为 ， ，则 ，所以，三棱锥 的外接球的球心 为 中点，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
平面 ，则 平面 ，
设球 的半径为 ，则 ，
又 ， ，所以， ， ， ，
所以， ，
所以，三棱锥 的体积为 ，
解得 ，因此，球 的表面积为 .
故答案为： .
12．（2024·河南·模拟预测）已知四棱锥 的5个顶点都在球 的球面上，且 平面
，则球 的表面积为 ．
【答案】
【解析】根据题意可知四边形 的顶点在同一个圆上，连接 ，如下图所示：
易知 ，又 ，
在 中，由余弦定理可得 ；
在 中，由余弦定理可得 ;
又易知 ，所以可得 ，
解得 ，又 ，所以 ，
可得 ，即 ，设四边形 的外接圆半径为 ，由正弦定理可得 ，
解得 ，
又 平面 ，且 ，
设四棱锥 的外接球半径为 ，
可得 ，即 ；
因此外接球的表面积为 .
故答案为：
13．（24-25高三上·福建·期中）已知球 的半径为 ， 、 、 三点均在球面上， ，
， ，则三棱锥 的体积是 .
【答案】
【解析】如下图所示：
设 的外心为点 ，连接 、 ，则 平面 ，
在 中， ， ， ，由余弦定理可得
，则 ，
由正弦定理可得 ，则 ，
所以， ，
，
所以， .
故答案为： .
14．（24-25高三上·辽宁·期末）已知四面体 的四个顶点均在球 的球面上， ， ，
，若 ，则球 体积的最小值为 .
【答案】
【解析】因为 ， ， ，所以可以将四面体补成一个长方体，
使得四面体的6条棱为长方体的6条面对角线，
设长方体过同一顶点的3条棱长分别为 ， ， ，球 的半径为 ，
则 ，由 ，
得 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，所以 ，
则球 的体积为 ，所以球 体积的最小值为 .
故答案为：
15．有一个儿童玩具，外部是一个透明的塑料大球 ，内部是8个半径均为1的小球 （球
壁厚度均忽略不计），其中 两两相切， 两两相切， 两两相切，
两两相切， 两两相切，且 ， 均与球 相切，则球 的半径为
.
【答案】
【解析】连接 ， ， ， ， ， ，
由题可得三棱锥 是棱长为2的正四面体，
连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
因为 两两相切， 两两相切， 两两相切，
两两相切，所以三棱锥 ､三棱锥 ､
三棱锥 ､三棱锥 分别是以三棱锥 的四个面为底面，
且棱长均为2的正四面体，又 均与球 相切，
所以三棱锥 的外接球球心就是大球的球心 .
作出三棱锥 和三棱锥 的示意图如图所示，连接 ，则球 的半径为 .
易得正四面体的高 ，
到平面 的距离即三棱锥 内切球的半径 ，
易得 ，得 ，则 ，所以球 的半径为 .
16．已知三棱锥 的各个顶点均在半径为1的球O的球面上， ， ，则三棱锥
的体积的最大值为 .
【答案】
【解析】设 所在小圆圆心为 ，半径为r， ，
则 ，所以 的面积为 ，
设 ，
则 ，
令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值为 ，
设球心O到平面 的距离为h，则 ，因为 ，所以 为球O的一条直径，所以S到平面 的距离为 ，
此时三棱锥 的体积为 ，
设 ，则 ，令 ，解得 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，三棱锥 的体积的最大值为 .
故答案为：
17．（24-25高三上·四川·期中）已知棱长为1的正四面体 ， 分别为 的中点，若以
的中点 为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球 半径的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】由于正四面体总可以由一个正方体的两两不相邻的四个顶点构成，故我们可以设有一个正方体
.
该正方体每个面的对角线长都是 ，所以棱长为 .
此时，注意到 是该正方体的一对对面的中心，所以 的中点 一定是正方体的中心.
这就说明 ，从而 是 的外接球球心.
从而在球 与 的棱有公共点的情况下，球 最大的情况显然就是成为外接球的情况，所以半径的最大值就是 .
故答案为： .
