文档内容
专题 8-1 立体几何中外接球内切球问题
目录
专题8-1立体几何中外接球内切球问题................................................................................................1
.....................................................................................1
题型一：外接球公式法............................................................................................................................1
题型二：外接球补型法............................................................................................................................4
题型三：外接球单面定球心法..............................................................................................................10
题型四：外接球双面定球心法..............................................................................................................18
题型五：内切球问题..............................................................................................................................25
................................................................34
一、单选题..............................................................................................................................................34
二、多选题..............................................................................................................................................41
三、填空题..............................................................................................................................................45
题型一：外接球公式法
【典例分析】
例题1．（2023·陕西西安·高三期末（理））长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，
16，则该长方体外接球的体积为（ ）
A．24π B．32π C．36π D．48π
【答案】C
【详解】设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ，则 ， ， ，解得
， ，所以长方体外接球的半径为 ，所以外接球的体积为
.
故选：C.
例题2．（2022·广东珠海·高一期末）一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为正方体的棱长为 ，所以其体对角线为 ，
所以外接球的直径即为 ，即外接球的半径 ，
所以外接球的体积 ；
故选：D
例题3．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））若体积为12的长方体的每
个顶点都在球 的球面上，且此长方体的高为2，则球 的表面积的最小值为
___________.
【答案】
【详解】设长方体长和宽分别为 ，球的半径为 ，所以
所以 ，故
所以表面积 ，当 时，等号成立.
即球 的表面积的最小值为
故答案为：
【提分秘籍】
①长方体外接球：在长方体 中，设一个顶点出发的三条边长分别为：
， ， ，则长方体外接球半径
②正方体外接球：在正方体 中，设边长为 ，则正方体外接球半径
【变式演练】1．（2022·全国·高三专题练习）长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长
方体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】长方体外接球直径 ，所以该长方体外
接球的表面积
故选：C.
2．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（文））已知长方体 的外
接球的表面积为 ，若 ， ，则直线 与直线 所成角的余弦值为
__________．
【答案】 ##
【详解】设长方体 的外接球半径为 ，则 ，可得 ，
则 ， ，
连接 、 ，如下图所示：
因为 且 ，故四边形 为平行四边形，则 ，
故直线 与直线 所成角为 或其补角，
由勾股定理可得 ， ，
，由余弦定理可得 ，
因此，直线 与直线 所成角的余弦值为 .
故答案为： .
3．（2022·贵州·高二学业考试）已知长方体的三条棱长分别为1， ， ，则该长方体
外接球的表面积为___．（结果用含 的式子表示）
【答案】
【详解】由题意得，长方体的体对角线即为外接球直径，设外接球半径为 ，则
，则外接球的表面积为 .
故答案为： .
题型二：外接球补型法
【典例分析】
例题1．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）在四面体 中，已知点 ， 分别
为棱 ， 中点，且 ， ，若 ， ，则该四面体外接
球半径为__________．
【答案】
【详解】解：根据长方体的面对角线特点，由对棱 ，且对棱中点E，F分别满
足 ， ，
则可构造长方体使得四面体 的顶点与长方体的顶点重合，由长方体的外接球即为四
面体的外接球
如下图所示：设长方体的长、宽、高分别为
则 ，
所以外接球的半径 ，即四面体 的外接球半径为 .
故答案为： .
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ，
， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】三棱锥 中， ， ， ，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5， ，则长方体的对角线长等于三棱锥
外接球的直径，如图，
设长方体的棱长分别为 ， ， ，则 ， ， ，则
，
因此三棱锥 外接球的直径为 ，所以三棱锥 外接球的表面积为 ．
故选：A
例题3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱锥 中， 为等边三角形，
， ， ， ，则三棱锥的外接球的半径为___________；
若 ､ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 的长度的最大值为
___________.
【答案】 3
【详解】由已知可证明 ， ， 两两垂直且长度均为 ，
所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
设外接球的半径为 ，则 .
设三棱锥外接球球心为 ，内切球球心为 ，内切球与平面 的切点为 ，易知：
， ， 三点均在 上，且 平面 ，设内切球的半径为 ，由等体积法：
，得 ，
将几何体沿截面 切开，得到如下截面图：
两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到 ， ，
∴ ，∴ ， 两点间距离的最大值为 .
故答案为：3；
【提分秘籍】
①墙角型：由一个顶点出发的三条棱两两互相垂直，可补形为长方体或正方体，再利用公
式法求解外接球问题；
②对棱相等型：如果一个多面体的对棱都相等，可以补形为长方体，或正方体，再利用公
式法求解外接球问题；
【变式演练】
1．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知正方形 的边长为2，点 为边
的中点，点 为边 的中点，将 ， 分别沿 折起，使
三点重合于点 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意知：三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球，如
图所示：又因为 ，
所以长方体的体对角线长为 ，
所以外接球的半径为： ，
所以外接球的表面积为 ，
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中， 平面 ， 为直角三角
形， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于三棱锥 中， 平面ABC， ， ，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：
则体对角线 即为外接球的直径，
所以 ，故三棱锥 的外接球表面积为 ．
故选：D
3．（2022·四川省乐山沫若中学高二期中（理））已知三棱锥 中， 面
， 则三棱锥的外接球的体积为___________.
【答案】
【详解】
由题可知,该三棱锥在长方体中，且三棱锥的四个顶点为长方体的四个顶点，
所以三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
由图可知长方体的长宽高分别为 ，
所以体对角线长 ，
所以外接球的体积等于 .
故答案为: .
4．（2022·湖北·高二期中）四面体A﹣BCD中，AB＝CD＝5， ，
，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为_____．
【答案】50π
【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体A﹣BCD的四个面为全等的三角形，所以可
在其每个面补上一个以 为三边的三角形作为底面，且分别以a，b，c为长、侧棱
两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为a，b，c的长方体，并且a2+b2＝25，a2+c2＝34，b2+c2＝41，
设球半径为R，则有(2R)2＝a2+b2+c2＝50，
∴4R2＝50，
∴球的表面积为 ．
故答案为： ．
题型三：外接球单面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·福建·高三阶段练习）在正三棱锥 中， 为 的中心，
已知 ， ，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设侧棱长为x，且易知
则 ，因为 ，则 ,所以 ，解得
，
所以 ，
设球心为M，则MP=MA=R， ，
因为 ，所 ，解得 ，所以表面积
，
故选：A.
例题2．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））在三棱锥 中，
， 平面 ，则三棱锥 的外接球 的体积为
______．
【答案】 ## ．
【详解】解：如图所示，设底面 的中心为 , 连接 ,取 的中点 ，连
接 .
由正弦定理得 .
因为
因为AC⊥平面PAB， 平面PAB，所以 ,
所以四边形 是矩形，所以 .
所以球 的半径为 .
所以外接球O的体积为 .
故答案为：例题3．（2022·江苏·苏州中学模拟预测）在四面体 中， ， ，
，设 ，则该几何体的外接球的体积为_________
【答案】
【详解】如图,该四面体的外接球的球心O必经过△ABC外接圆的圆心 且垂直于平面
ABC的直线上,且到A,P的距离相等.
在△ABC中,由余弦定理得：
.
由正弦定理得： ,解得：
而 ，所以 .
即该几何体的外接球的半径 .
所以外接球的体积为 .
故答案为： .【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形 ），求出三角形 外接圆圆心
如图：若 为直角三角形，则外接圆圆心 在斜边的中点上；
若 为正三角形，则外接圆圆心 在重心位置；
若 为普通三角形，则利用正弦定理 ,确定出 的位置
②第二步：过点 作出平面 的垂线，如图为 ，则球心 在直线 上；
③计算：在 中，利用勾股定理求出外接球半径
【变式演练】
1．（2022·贵州·高三阶段练习（理））设三棱锥 满足 ，且
，当三棱锥体积最大时，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 中， ，则 在以 为弦，所对圆周角为 的圆上的一段优弧
上，如图，易知当 即 为等边三角形时， 到 的距离最大为
，
当 不变时，假设 于 ，当平面 平面 ，从而 平面
时， 点到平面 的距离最大为 ，也即三棱锥 的高最大，从而体积最大，
此时 是 中点，连接 ， ， ，设 是 外心，则 ， ， ，
过 作平面 的垂线 ，则三棱锥 的外接球球心在此垂线上，设 是三棱锥
的外接球球心，如图，连接 ，
，易得 ，设外接球半径为 ，即 ，
在直角梯形 和直角三角形 中， ，
，解得 ，
球表面积为 ．
故选：B．
2．（2022·贵州·贵阳六中一模（理））已知三棱锥 中， ， ，
，则它的外接球的表面积为______.
【答案】 ##
【详解】解：三棱锥 中， ， ， ，
所以， 为等边三角形，且 ，
所以
因为 平面 ，
所以 平面 ，设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ， 的外心为 ，连接 ，如图，
由球的性质可知 平面 ，
所以 ，
因为，在 中，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
3．（2022·江苏·常州市第一中学高三阶段练习）已知空间四边形 的各边长及对角线
的长度均为6，平面 平面 ，点M在 上，且 ，那么 外
接球的半径为______；过点M作四边形 外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之
比为______.
【答案】 ##【详解】空1：
由题意知 和 为等边三角形，取 中点E，连 ， ，则 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
同理可证： 平面 ，
设 外接球的球心为O，半径为R，
分别取 、 的中心 、 ，连接 ，
则 平面 ， 平面 ，
∴ ， ，则 为平行四边形，
由题意可得： ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，
故 ，
空2：
连 ，
∵ ， ， ，则H，O，M三点共线，
∴ ，
设过M作四边形 外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d，则
，即 ，
∵ ，则有：
当 时，此时截面过球心， 取到最大值 ，截面的面积最大为 ；
当 时， 取到最小值 ，截面的面积最小为 ；故截面面积最大值和最小值之比为 .
故答案为： ； .
4．（2022·山西运城·高三期中）已知正四棱锥 的底面是边长为2的正方形，其
内切球的体积为 ，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.
【答案】
【详解】已知正四棱锥 内切球的体积为 ，设球体的半径为 ， ，
解得 ，设正四面体的高为 ，如图所示，
因为球 与四棱锥相内切，所以由等体积法得： ，
在 中， ， ，即，化简得： ，
解得， ，设正四棱锥外接球的半径为 ，外接球的球心为 ，在 中，
，解得 ，所以正四棱锥外接球的表面积为
.
故答案为：① ；②
题型四：外接球双面定球心法
【典例分析】
例题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）已知菱形 的各边长为 ．如
图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥
，此时 ． 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持
，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取 中点 ，则 ，
∴ 平面 ， ，又 ，∴ ，作
，设点 轨迹所在平面为 ，则平面 经过点 且 ，设三棱锥
外接球的球心为 的中心分别为 ，易知 平面平面 ，且 四点共面，由题可得 ，
，解Rt ，得 ，又 ，则三棱锥
外接球半径 ，易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 ．
故选：C
例题2．（2022·四川省叙永第一中学校高二期中（理））在三棱锥 中，平面
平面 ， 与 都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体
积为________.
【答案】
【详解】
取 的中点为 分别是正三角形 和正三角形 的重心，
是该三棱锥外接球的球心，连接 ,
则 分别在 上， 平面 ， 平面 ， ， ，因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面
所以 平面 ，所以 ，同理可得 ，所以四边形 是平行四边
形，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，∴ ，
在直角三角形 中，球半径
∴外接球体积为 ，
故答案为：
【提分秘籍】
①第一步：选定一个底面（如图底面三角形 ），求出三角形 外接圆圆心
如图：若 为直角三角形，则外接圆圆心 在斜边的中点上；
若 为正三角形，则外接圆圆心 在重心位置；
若 为普通三角形，则利用正弦定理
P
,确定出 的位置
O
2 O
②第二步：过点 作出平面 的垂线； A
O
H 1
B C③第三步：重复上述两步，再做一条垂线；
④第四步：两条垂线的交点为球心
【变式演练】
1．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）已知菱形 的各边长为 .
如图所示，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥
，此时 ， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球上运动，且
始终保持 ，则点 的轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取 中点 ，连接 ，
则 ， 平面
∴ 平面 ， ，又 ，
∴ ，
则三棱锥 的高 ，
三棱锥 体积为 ；
作 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 的中心分别为 ，
易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
解Rt ，得 ，又 ，
则三棱锥 外接球半径 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： .
2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）已知四边形 是边长为3的菱形且一
个内角为 ，把等边 沿 折起，使得点 到达点 ，则三棱锥 体积最大
时，其外接球半径为______．
【答案】【详解】如图，取 中点G，连接
当三棱锥 体积最大时，平面 平面 ，
此时 平面 ，从而 ．
又四边形 是边长为3且一个内角为 的菱形， 为等边三角形
所以 与 是边长为3等边三角形，
所以 ，
设 分别为 与 的外接圆圆心，圆的半径为 ，过点 作平面 的垂
线，过点 作平面 的垂线，则两垂线的交点O就是三棱锥 的外接球球心，设
球的半径为 ，且此时 分别为等边 与等边 的中心，
所以
由此得到四边形 为正方形，所以
所以 ，
所以外接球半径 ，所以三棱锥 的体积最大时，其外接球半径 .
故答案为： .
3．（2022·福建·高二期中）已知菱形 的各边长为 ，如图所示，将
沿 折起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，若 则三棱
锥 的体积为___________， 是线段 的中点，点 在三棱锥 的外接球
上运动，且始终保持 ，则点 的轨迹的周长为___________.
【答案】 ##
【详解】取 中点 ，连接 ，则 ，
平面 ，
∴ 平面 ， ，
又 ， ，
∴ ，则三棱锥 的高 ，
三棱锥 体积为 ；
作 于 ，设点 轨迹所在平面为 ，
则平面 经过点 且 ，设三棱锥 外接球的球心为 的中心分别为 ，
易知 平面 平面 ，且 四点共面，
由题可得 ， ，
，又 ，
则三棱锥 外接球半径 ，
易知 到平面 的距离 ，
故平面 截外接球所得截面圆的半径为 ，
∴截面圆的周长为 ，即点 轨迹的周长为 .
故答案为： ； .
题型五：内切球问题
【典例分析】
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的
正切值为 ， ，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为三棱锥 为正三棱锥，底面边长为6，
且侧面与底面所成角的正切值为 ，所以可得正三棱锥的高 ，侧面的高 ；
设正三棱锥底面中心为 ，其外接球的半径为 ，内切球半径为 ，
则有 ，也即 ，解得： ，
正三棱锥的体积 ，
也即 ，解得： ，
所以 ，
故选：B.
例题2．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一期末）已知某圆锥的内切球（球与圆锥
侧面､底面均相切）的体积为 ，则该圆锥的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设圆锥的内切球半径为 ，则 ，解得 ，设圆锥顶点为 ，底面圆
周上一点为 ，底面圆心为 ，内切球球心为 ，内切球切母线 于 ，底面半径， ，则 ，又 ，故
，又 ，故
，故该圆锥的表面积为 ，令
，则 ，当且仅当
，即 时取等号.
故选：A.
例题3．（2022·河南·高二阶段练习）已知正四面体 的棱长为12，球 内切于正
四面体 是球 上关于球心 对称的两个点，则 的最大值为
___________.
【答案】【详解】
设点 在平面 内的射影为 ，点 在平面 内的射影为 ，点 在平面 内
的射影为 ，如图1.
因为正四面体 的棱长为12，所以
.
设球 的半径为 .
因为 ，所以 ，则
.
，当且仅当 时，等号成立.
过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作
，垂足为 ，如图2.圆 的半径为 是关于点 对称的两个点，且 .
.
，当且仅当直线 与圆
相切时，等号成立.，当且仅当
时，
等号成立.
因为以上取等条件可以同时成立，所以 .
【提分秘籍】
①等体积法：将空间几何体拆分为以内切球球心 为顶点的多个几何体，再利
用等体积法求出内切球半径 ，主要用于多面体内切球问题；
例如：在四棱锥 中，内切球为球 ，求球半径 .方法如下：
即： ，可求
出 .
②独立截面法：主要用于旋转体中，通过独立截面（过球心的截面），在截面中求出内切
球的半径.
【变式演练】
1．（2022·浙江台州·模拟预测）在四棱锥 中，平面 平面 ，
为边长为1的等边三角形，底面 为矩形.若四棱锥 存在一个内切球（内切
球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切
球），则内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于平面 平面 ， 为边长为1的等边三角形，底面 为矩
形，
所以四棱锥 的内切球在等边三角形 的“正投影”是等边三角形 的内
切圆，
设等边三角形 的内切圆半径为 ，则 ，解得 ，
所以内切球的半径为 ，其表面积为 .
故选：D
2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面
是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内
切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，
则（ ）
A．圆锥的表面积是 B．球 的体积是
C．四棱锥 体积的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BCD
【详解】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为 ，连接
，如图，正 内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心 都在线段 上，连
，
，则球O的半径 ，显然 ， ，
， ，
对于A，圆锥的表面积是 ，A错误；
对于B，球O的体积是 ，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心 到平面的距离相等，均为 ，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥 的体积最大，
，当且仅当 ，即 时取“=”，
则四棱锥 体积的最大值为 ，C正确；
对于D，因 ，则有 ，即 ，因此
，
由均值不等式得： ，即 ，当且仅当
时取“=”，D正确.
故选：BCD
3．（2023·江西江西·高三阶段练习（理））如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，
遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门
吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为
正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和
正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为 ，则模型中九个球的体积和为
__________.【答案】
【详解】如图所示正四面体 ，设棱长为 ，高为 ， 为正四面体 内切球
的球心，延长 交底面 于 ， 是等边三角形 的中心，过 作 交
于 ，连接 ，
则 为正四面体 内切球的半径，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以正四面体 内切球的体积 ，
由图可知最大球内切于高 的正四面体中，最大球半径 ，
故最大球体积为 ；中等球内切于高 的正四面体中，中等球半径 ，
故中等球的体积为 ；
最小求内切于高 的正四面体中，最小球半径 ，
故最小求的体积为 ；
所以九个球的体积和 ，
故答案为： .
4．（2022·全国·高一课时练习）如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别
与正方体内切，求两球半径之和.
【答案】
【详解】作正方体的对角面，得如图所示的截面图:其中AB,CD为正方体的棱，AD,BC为
正方体的面对角线，AC为体对角线，球心 和 在 上，过 分别作 的垂线交于E，F两点.
设小球半径为r，大球半径为R,则由题意知 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，即两球半径之和为 .
一、单选题
1．（2022·重庆市永川北山中学校高三期中）在三棱锥 ，若 平面 ，
， ， ， ，则三棱锥 外接球的表面积是（ ）
A．100π B．50π C．144π D．72π
【答案】A
【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，∵ ，
∴外接球的表面积为： ．
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练习）金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它
的结构是由8个等边三角形组成的正八面体. 若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，正八面体的棱长为 ，
根据正八面体的性质可知： ，
所以 是外接球的球心，且半径 ，
所以外接球的体积为 .
故选：A3．（2022·江苏扬州·高三期中）古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内
有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以
为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ，高为 ，所以
.
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知球 是棱长为1的正方体 的内
切球，则平面 截球 的截面面积为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】平面 截球 的截面为 的内切圆，
正方体棱长为1， .
内切圆半径 .
截面面积为： .
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表
面积为 ，则此圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【详解】
如图为圆台及其外接球的轴截面， 为外接球球心， ， 为等腰梯形的下底和上底的中
点，所以 ， ，
因为外接球的表面积为 ，所以外接球的半径为 ，圆台下底面半径为4，所以
， ，则 ， ，即圆台上底面半径为3，所以
圆台的体积为 .
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内
切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦
点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电
筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生
了椭圆的截面．如图，在地面的某个占 正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得
与小球相切．若 ，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】在 中，设 ，
， ， ，
，
， ∴长轴长 ， ，
则离心率 .
故选：A
7．（2022·广东广州·高三阶段练习）在正四棱台 中，上､下底面边长分别
为 ，侧棱长为 ，则该正四棱台的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图：连接 ，记其交点为 ，
则 为正方形 的外接圆的圆心，连接 记其交点为 ，
由正四棱台的性质可得 平面 ，
设该正四棱台的外接球的球心为 ，由球的截面性质可得 平面 ，
所以球心 在直线 上，设 ，则 ， ， ，
所以 ，由已知 ， ， ，
因为底面 ， 都为正方形可得 ， ，
过点 作 ，垂足为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以正四棱柱的外接球的半径为5，其外接球的表面积 ，
故选：C.
8．（2022·天津和平·二模）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为 ，该圆锥的内切
球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（ ）
.
A． B． C．3 D．
【答案】A
【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为 ，球的半径为 ，圆锥
的底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，由已知可得 ， 所以△SAB为等边三角形，故点P是△SA B的中心，
连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故 ，
解得 ，故正四面体的外接球的半径 .
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为 时，截得它的正方体的棱长为 ，而正四面体
的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以 ，解得 ,
故选：A
二、多选题
9．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三期中）已知圆锥 的底面半径 ，侧面
积为 ，内切球的球心为 ，外接球的球心为 ，则下列说法正确的是（ ）A．外接球 的表面积为
B．设内切球 的半径为 ，外接球 的半径为 ，则
C．过点 作平面 截圆锥OP的截面面积的最大值为2
D．设母线 中点为 ，从 点沿圆锥表面到 的最近路线长为
【答案】ABD
【详解】设母线长为 ，侧面积为 ，所以 .
所以 ， 为等边三角形.
则圆锥的轴截面 的内切圆半径即为圆锥内切球的半径，其外接圆的半径为圆锥外接
球的半径，如图1
图1
设内切球 的半径为 ，外接球 的半径为 ，
则 ，
又 ，所以， .
由正弦定理可得，在 中， ，即 ，则 .
所以，外接球 的表面积为 ，A正确.
因为， ， ，所以 ，B项正确.
显然，过点 作平面 截圆锥OP的截面均为腰长为 等腰三角形，如图2，在底面圆上
任取一点 ，易知 .
所以， ，即最大面积为 ，C项错误.
图2
将圆锥侧面沿 剪开，得到的扇形的半径 ，弧长 ，
则扇形的圆心角 ，如图3所示.图3
连结 ，即为最近路线，在 中，有 ， ，
所以， ，D项正确.
故选：ABD.
10．（2022·福建·莆田第五中学高三期中）已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有
一动点M、N，若线段MN的最小值为 ，则（ ）
A．正四面体的外接球的表面积为 B．正四面体的内切球的体积为
C．正四面体的棱长为12 D．线段MN的最大值为
【答案】BC
【详解】依题作出图形，如下：
设正四面体的棱长为a，
则它的外接球与内切球的球心重合，则它的外接球和内切球的球心重合，
作 平面BCD，垂足为G，则G为 的重心，且 ，
则正四面体的高为 ，
设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，
由图可知， ，解得 ，，
依题可得 ，即 ，解得 ，故C正确；
正四面体的外接球的表面积为 ，故A错误；
正四面体的内切球的体积为 ，故B正确；
线段MN的最大值为 ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
11．（2022·江苏苏州·高三阶段练习）在四边形 中， ，
为等边三角形，将 沿边 折起，使得 ，则三棱锥 外接
球的体积为______.
【答案】 ##
【详解】取 中点M，连接 ，
因为 ，所以 ,为等边三角形，则 ，而 ，
故 ，
,
由题意知 为等边三角形， ，M为 中点，
故 , ,而 平面 ,
故 平面 ,又 平面 ,故平面 平面 ,
过D作平面 的垂线，垂足为N，因为平面 平面 ,
所以N点一定落在直线 上，则 ,
,又 ，故 ，
即M为 的中点，且M为 外接圆圆心，
设三棱锥 外接球的球心为O，则点O一定在过点M垂直于平面 的直线上，
设外接球半径为R，则 ,①,
作 为垂足，则 为矩形，故 ,
所以 ,②,
②联立解得 ，
故答案为：
12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）在三棱锥 中，二面角和 的大小都为 ， ， ， ，则三棱
锥 的外接球与内切球的表面积的比值为__________.
【答案】
【详解】如图，作 平面 ，垂足为 ，过 作 ，垂足为 ，
所以 为二面角 的平面角，由 ， 大小均
为 知，点 到直线 距离相等，即点 是 的内切圆圆心，设半径为 则
，
又因为在 中， ， ， ，
所以 为直角三角形，
，
所以 ，
设 中点为 ，过 作直线 的平行线 ，
所以三棱锥 外接球球心 在直线 上且位于平面 下方，
在直角 中，过 作 交 于 ，作 交 于 ，
连接 ，所以 与 全等， ，
因为 是 中点，所以 ，
所以 ，
所以在直角 中， ，
设 ，
所以
又因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
设内切球半径为 ，
因为 ,
所以 ，
所以 ，
所以 ,故答案为： .
13．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥S－ABC中， ，△ABC的
边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【详解】 ，正三棱锥中 ，所以 ，
侧面是正三角形，则正三棱锥 为正四面体．
将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为 ，
则其外接球的半径 ，所以该正三棱锥外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
14．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（文））连接正方体的每个面的中心构成一个正八面
体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.【答案】
【详解】解：不妨设正方体边长为2，则正方体内切球半径 ，
正八面体边长为 ，它的内切球球心为正方体中心 ，记正八面体内切球半径为 ，
将正八面体分为8个以 为顶点的三棱锥，
故 ，
解得 ，
所以该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为 .
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习）在高为2的直三棱柱 中，AB⊥AC，若该直三
棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为___________.
【答案】 ##
【详解】因为直三棱柱 的高为2，设内切球的半径为 ，所以 ，所以
，
又因为AB⊥AC，所以设 ，所以 .，因为
，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，
而 ，当且仅当 “ ”时取等.
当 时，底面△ABC周长最小，所以 ，所以
，所以此时
△ABC周长的最小值： .故答案为： .
16．（2022·广西柳州·三模（文））已知对棱相等的四面体被称为“等腰四面体”，它的
四个面是全等的锐角三角形.设等腰四面体的三组对棱长分别为a、b、c，则该四面体的体
积计算公式为， ，其中 ．在等腰四面
体A－BCD中， ， ， ，则该四面体的内切球表面积为
_________．
【答案】 ##
【详解】在 中，设 ，
由余弦定理得 ，
，
∴ ，
四面体的体积 ，
∵△ABC为锐角三角形，∴ ，
， ，
，
设四面体内切球半径为r，
∵四面体的四个面全等，则 ，解得 ，
∴内切球表面积为 .故答案为： .
17．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史
上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆
柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内
切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，
则该比值的最大值为________．
【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥内切球半径为 ，
作出圆锥的轴截面如下图所示：
设 ， ， ，
， ， ，又 ，
， ，
，
则圆锥表面积 ，圆锥内切球表面积 ，
所求比值为 ，令 ，则 ，
当 时， 取得最大值 .
故答案为： .
