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专题 13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题
目 录
01 正方体、长方体外接球...................................................................................................................2
02 正四面体外接球...............................................................................................................................2
03 对棱相等的三棱锥外接球................................................................................................................2
04 直棱柱外接球..................................................................................................................................3
05 直棱锥外接球..................................................................................................................................3
06 正棱锥与侧棱相等模型...................................................................................................................5
07 侧棱为外接球直径模型...................................................................................................................6
08 共斜边拼接模型...............................................................................................................................6
09 垂面模型..........................................................................................................................................7
10 二面角模型......................................................................................................................................8
11 坐标法..............................................................................................................................................9
12 圆锥圆柱圆台模型.........................................................................................................................1013 锥体内切球....................................................................................................................................11
14 棱切球............................................................................................................................................12
01 正方体、长方体外接球
1．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在长方体 中，已知 ，
，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为 .
2．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为 ，则球的表面积为
．
02 正四面体外接球
4．（2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习）在正四面体 中，以 为直径作球 ，点 在球
与 的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥 的体积的最小值为 时，该正四面体
外接球的体积为 ．
5．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体 中， 为 的中点，点 在以 为球心的球上运动，
，且恒有 ，已知三棱锥 的体积的最大值为 ，则正四面体 外
接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为 ，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
03 对棱相等的三棱锥外接球
8．（2023•罗湖区月考）已知在四面体 中， ，则四面体
的外接球表面积为 ．
9．（2023•孟津县校级期末）若四面体 中， ， ，则四面体
的外接球的表面积为 ．
10．（2023•三模拟）在四面体 中， ， ， ，则其外接球的
表面积为 ．
04 直棱柱外接球
11．（2023·陕西西安·高三高新一中校考阶段练习）在直三棱柱 中，
，则三棱柱 外接球体积等于（ ）A． B． C． D．
12．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知球O为正三棱柱 的外接球，正
三棱柱 的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（ ）
A． B． C． D．
05 直棱锥外接球
13．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在体积为 的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝
BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）在三棱锥 中， 平面BCD，
，则已知三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ，
，则三棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2023·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ，且 ，则四棱锥 的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A． B． C．3 D．
17．（2023·浙江丽水·高三统考期末）如图，在三棱柱 中， 底面 ， ，
， ， 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 的外接球体积的
最大值为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥 中， 平面 ， ， ．过点
分别作 ， 交 于点 ，记三棱锥 的外接球表面积为 ，三棱锥
的外接球表面积为 ，则 （ ）A． B． C． D．
06 正棱锥与侧棱相等模型
19．（2023·云南保山·高三统考期末）已知正三棱锥 的侧棱与底面所成的角为 ，高为 ，则
该三棱锥外接球的表面积为 .
20．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥 中， ，
，该三棱锥的外接球体积为 ．
21．（2023·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体
积为 ，则该正四棱锥的体积最大值为 ．
22．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等
分点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
07 侧棱为外接球直径模型
23．（2023•保山期末）已知三棱锥 的顶点都在球 的球面上， 是边长为6的正三角形，
为球 的直径，且此三棱锥的体积为 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．24．（2023•大连模拟）球 的直径 ， ， 是该球球面上的两点， ， ，
则棱锥 的体积为
A． B． C． D．
25．（2023•迎泽区校级月考）已知球 的直径 ， 、 是该球面上的两点，且 ，
， ，则三棱锥 的体积为
A． B． C． D．
08 共斜边拼接模型
26．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 底面 是边长为 的等边三
角形､若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积大小为（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB．则三棱
锥D-ABC外接球的表面积是（ ）．A． B． C． D．
28．（多选题）（2023·山东·泰安一中高一期中）三棱锥 中，平面 平面ABC，
， ，则（ ）
A．
B．三棱锥 的外接球的表面积为
C．点A到平面SBC的距离为
D．二面角 的正切值为
09 垂面模型
29．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在三棱锥 中，已知 ，
且平面 平面ABC，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形 中，
，将 沿对角线 折起，使得点 翻折到点 ，若面 面
，则三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．31．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知四棱锥 的底面 是矩形，其中 ，
，平面 平面 ， ，且直线 与 所成角的余弦值为 ，则四棱锥
的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
32．（2023·四川泸州·统考一模）已知三棱锥 中，平面 平面 ，且 和 都
是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2的菱形 中， ，将菱形
沿对角线 折起，使得平面 平面 ，则所得三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形， ，且面
面ABCD，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为
A． B． C． D．
10 二面角模型
35．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）在边长为 的菱形 中， ，沿对角线 折
成二面角 为 的四面体 （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A． B．
C． D．
36．（2023·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为 的菱形ABCD中， ，沿对角边 折
成二面角 为 的四面体 ，则四面体 外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2的菱形 中， ，将菱形
沿对角线 折起，使二面角 的大小为 ，则所得三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
38．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在三棱锥 中， 底面 是边长为 的
等边三角形､若二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积大小为（ ）
A． B． C． D．
39．（2023·湖北·高三统考期末）在三棱锥 中， ， ，设侧面 与底面
的夹角为 ，若三棱锥 的体积为 ，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，
（ ）
A． B． C． D．4
11 坐标法
40．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中 中， ，AD＝2，M是棱 的中
点，过点B，M， 的平面 交棱AD于点N，点P为线段 上一动点，则三棱锥 外接球表面
积的最小值为 ．41．（2023·上海·统考模拟预测）一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 、
、 、 ，则该四面体的内切球与外接球体积之比为
42．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位： ）
的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表
面积的最小值为
43．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体 的棱长为2，若点M在线段 上运动，当
的周长最小时，三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
44．（2023·江苏扬州·高三统考期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直
于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，
则该“阳马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．
45．（2023·山西·统考一模）如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ， 的中
点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体 的
外接球体积是（ ）A． B． C． D．
12 圆锥圆柱圆台模型
46．（2023·全国·高三专题练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，
若球的体积为 ，则圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
47．（2023·云南昆明·高三开学考试）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生
的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”
所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长
为6dm，侧面积为 ，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于
______ .
48．（2023·云南师大附中高三阶段练习）已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，
圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为 ，则圆台的体积为
___________.
49．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表
面积为______．
13 锥体内切球
50．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD的边长为1， ，将 沿AC翻折，当三
棱锥 表面积最大时，其内切球表面积为 .
51．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知圆锥的顶点为 ，轴截面为锐角 ， ，则当
时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为 ．
52．（2023·江西抚州·高三临川一中校考期末）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公
路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更
是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则
模型中九个球的表面积和为 .
53．（2023·山西长治·高三统考期末）如图，正四棱台 的上､下底面边长分别为2，
分别为 的中点，8个顶点 构成的十面体恰有内切球，则
该内切球的表面积为 .
14 棱切球
54．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱 的各棱长均为 ，以A为球心的球与棱
相切，则球A于正三棱柱 内的部分的体积为 .
55．（2023·河南商丘·高三商丘市第一高级中学校考期中）已知正三棱锥
，球O与三棱锥 的所有棱相切，则球O的表面积为 ．56．（2023·全国·统考模拟预测）已知三棱锥A﹣BCD所有棱长都相等，球 与它的六条棱都相切，球
与它的四个面都相切，则球 与球 的表面积之比为 ．
57．（2023·山东·高三校联考阶段练习）与棱长为 的正方体所有棱都相切的球的体积为 ．
58．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥 中， ， ，
若球O与三棱锥 的六条棱均相切，则球O的表面积为 ．
59．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥 中， ，
若球 与三棱锥 的六条棱均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
