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第十八讲：空间几何体的表面积及体积
【考点梳理】
空间几何体的表面积与体积公式
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
【典型题型讲解】
考点一：空间几何体的表面积
【典例例题】
例1．（2022·广东深圳·一模）以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得
圆柱的侧面积等于（ ）
A．8π B．4π C．8 D．4
例2．（2022·广东韶关·一模）已知圆锥的侧面展开图为一个面积为 的半圆，则该圆锥的高为（ ）
A． B．1 C． D．
例3．（2022·广东惠州·一模）若一个圆台的侧面展开图是半圆面所在的扇环，且扇环的面积为 ，圆台
上､下底面圆的半径分别为 ， （ ），则 ___________.
例4．（2022·广东揭阳·高三期末）已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球 ，则圆柱的表面积与球
的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．不能确定
例5．（2022·广东潮州·高三期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所
成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．【方法技巧与总结】
熟悉几何体的表面积、体积的基本公式，注意直角等特殊角.
【变式训练】
1．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为 ，其侧面积为 ，则该圆锥的体积为
___________.
2．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
A-BCD中，AB 平面BCD，CD AD，AB=BD= ，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一
点到点B的最短距离为 ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．
3．（2021·广东佛山·一模）（多选）如图，已知圆锥 的底面半径 ，侧面积为 ，内切球的
球心为 ，外接球的球心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．外接球 的表面积为
B．设内切球 的半径为 ，外接球 的半径为 ，则
C．过点P作平面 截圆锥 的截面面积的最大值为
D．设长方体 为圆锥 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为
4.（2022·广东广州·一模）已知三棱锥 的棱AP，AB，AC两两互相垂直， ，
以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于
___________.
5.设圆锥底面圆周上两点 、 间的距离为 ，圆锥顶点到直线 的距离为 ， 和圆锥的轴的距离为
，则该圆锥的侧面积为___________.
6.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面的半径分别为4和5，则该圆台的侧
面积为（ ）
A． B． C． D．
考点二：空间几何体体积
【典例例题】
例1．（2022·广东汕头·高三期末）金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构
是由8个等边三角形组成的正八面体．若某金刚石的棱长为2，则它的体积为（ ）
A． B． C． D．
例2.已知圆柱 的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径， ，则四面体
ABCD的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
例3.《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为 ，方亭的高 ， ，方亭的四个侧
面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和 ，则方亭的体积为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
熟记几何体体积公式，能够画出几何体的直观图
【变式训练】
1.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图
1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是3和9，
且 ，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
2．（2022·广东东莞·高三期末）已知一个圆锥的底面半径为 ，其侧面积为 ，则该圆锥的体积为
___________.
3．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，若 ， ，则此球的体积为__________.
4．（2022·广东韶关·一模）已知三棱柱 的侧棱垂直于底面，且所有顶点都在同一个球面上，
若 ， ，则此球的体积为__________.
5.（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体 中， ， ，
，则其外接球的体积为______.
6．（2021·广东佛山·一模）如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点E，F，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．不确定
7．（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑
A-BCD中，AB 平面BCD，CD AD，AB=BD= ，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一
点到点B的最短距离为 ，则该棱锥的外接球的表面积为_________．8．（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体 中， ， ，
，则其外接球的体积为______.
9．（2022·广东清远·高三期末）如图，在长方体 中， ，P为 的
中点，过 的平面 分别与棱 交于点E，F，且 ，则平面 截长方体所得上下两部分的体
积比值为_________；所得的截面四边形 的面积为___________．
【巩固练习】
一、单选题
1．已知圆锥的高为1，母线长为 ，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．3
2．若过圆锥的轴 的截面为边长为4的等边三角形，正方体 的顶点 ， ， ， 在
圆锥底面上， ， ， ， 在圆锥侧面上，则该正方体的棱长为（ ）
A． B． C． D．3．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环
（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（
）
A． cm B．1cm C． cm D． cm
5．已知某圆锥的侧面积为 ，高为 ，则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2､4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．56 B． C． D．
7．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为 ；水位为海拔 时，相应水面的面积为 ，将该水库
在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔 上升到 时，增加的水量约为（
）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．如图，正方体 棱长为1，P是 上的一个动点，下列结论中正确的是
（ ）A． 的最小值为 B． 的最小值为
C．当P在直线 上运动时，三棱锥 的体积不变
D．以点B为球心， 为半径的球面与面 的交线长为
9．如图，四边形 为正方形， 平面 ， ，记三棱锥 ，
， 的体积分别为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善
良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧 所在圆的半径分别是3和9，
且 ，则该圆台的（ ）
A．高为 B．体积为
C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为
