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专题 06 一网打尽外接球与内切球问题
【命题规律】
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小
题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全
国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中
等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：正方体、长方体外接球
核心考点二：正四面体外接球
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
核心考点四：直棱柱外接球
核心考点五：直棱锥外接球
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
核心考点八：共斜边拼接模型
核心考点九：垂面模型
核心考点十：二面角模型
核心考点十一：坐标法
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
核心考点十三：锥体内切球
核心考点十四：棱切球
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国·高考真题（理））已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙
的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.
若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【方法技巧与总结】
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1 图2 图3 图4
【核心考点】
核心考点一：正方体、长方体外接球
【规律方法】
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的体对角线等于
（ ）
A． B．4 C． D． .
例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近
生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市
公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一
样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为 ，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为
________ ．核心考点二：正四面体外接球
【规律方法】
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
【典型例题】
例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体 外接球 表面积为 ，则该正四面
体棱长为______；若 为平面 内一动点，且 ，则 最小值为______．
例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，
1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为 的正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
【规律方法】
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
【典型例题】
例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体 中， ， ， ，
则其外接球的表面积为___________.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体 中， ， ，
，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥 中，若 ， ， ，
其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
核心考点四：直棱柱外接球
【规律方法】
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
【典型例题】
例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为 ，底面边长为 ，若该正三棱柱的外接球
体积为 ，当 最大时，该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱 中， ，当该
三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是 ，则该六棱柱的外接球
的表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
核心考点五：直棱锥外接球
【规律方法】
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
【典型例题】
例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥 中， 平面 ， 为直角三角
形， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中， 底面ABC，PA＝AB＝AC＝
2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥 中，侧棱 平面 ， ，
， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
【规律方法】
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
【典型例题】
例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S－ABC中， ，△ABC
的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 ，其外接球球 的半径为 ，则该正三棱锥
的体积的最大值为__________．
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 的棱长为 ，底面边长为6．则该正三棱锥外
接球的表面积为_______．
例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 体积为 ，且 ，
则三棱锥外接球的表面积为____________．
例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ，则三
棱锥 的外接球的表面积为___________.
核心考点七：侧棱为外接球直径模型【规律方法】
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
【典型例题】
例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥 的外接球的表面积为 是该球的直径，
，则三棱锥 的体积为_____.
例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥 的外接球的表面积为 ，AD是该球的直径， 是
边长为 的正三角形，则三棱锥 的体积为______．
例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P﹣ABC中， ，AC=2，PA为其外接
球的一条直径，若该三棱锥的体积为 ，则外接球的表面积为___________．
核心考点八：共斜边拼接模型
【规律方法】
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点
的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
【典型例题】
例24．在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四面
体 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例 25．三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球的半径为例 26．在平行四边形 中，满足 ， ，若将其沿 折成直二面角
，则三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
核心考点九：垂面模型
【规律方法】
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
【典型例题】
例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
，则三棱锥 的外接球的半径为______
例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角
形，平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，
平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的体积为______例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ，
平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为__________．
核心考点十：二面角模型
【规律方法】
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
【典型例题】
例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，
，二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为______.
例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形 的边长为2，且 ，沿 把
折起，得到三棱锥 ，且二面角 的平面角为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥 中，△ 是边长为3的
正三角形，且 ， ，二面角 的大小为 ，则此三棱锥外接球的体积为________．
例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形 中， ，将菱形 沿对角线
对折，使二面角 的余弦值为 ，则所得三棱锥 的外接球的表面积为___________.
核心考点十一：坐标法
【规律方法】
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【典型例题】
例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角 中 ， 是斜边 上的一动点，
沿 将 翻折到 ，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时，四面体
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体 中， ， ，
， 是棱 上靠近 的三等分点， 分别为 的中点， 是底面 内一动点，若直
线 与平面 垂直，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
例37．（2022·山西·一模（理））如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ，的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体
的外接球体积是（ ）
A． B． C． D．
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
【规律方法】
1、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．例38．球内接圆台
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
【典型例题】
例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球
的表面积为 ，则此圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则该圆锥的外接
球的表面积为______．
例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆
心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥 外接球的表面积为___________.
例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内
切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
核心考点十三：锥体内切球
【规律方法】
等体积法，即
【典型例题】
例43．（2022·全国·高三专题练习）球O是棱长为1的正方体 的内切球，球 与面
、面 、面 、球O都相切，则球 的表面积是_______________．
例44．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱锥 内接于球 ，且底面 过球心 ，则球
的半径与正四棱锥 内切球的半径之比为__________.例45．（2022·山东济南·二模）在高为2的直三棱柱 中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，
则底面△ABC周长的最小值为___________.
核心考点十四：棱切球
【规律方法】
找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
例46．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球 、外接球 、与各棱都相切的球 的半径之
比为
A． B． C． D．
例47．（2022•江苏模拟）正四面体 的棱长为4，若球 与正四面体的每一条棱都相切，则球 的
表面积为
A． B． C． D．
例48．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该
球的体积为
A． B． C． D．
【新题速递】
一、单选题
1．（2022·湖北·高三阶段练习）已知某圆台的体积为 ，其上底面和下底面的面积分别为 ，
且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足
，若三棱锥 体积的最大值为6，则球O的体积为（ ）．A． B． C． D．
3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 ， ， ， 为球 的球面上的四点，记 的中点为 ，且
，四棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上， 平面
BCD， ， ， ，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知正四棱锥的所有顶点都在体积为 的球 的球面上，若该正
四棱锥的高为 ，且 ，则该正四棱锥的体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知正三棱锥 的底面边长为6，体积为 ，A，B，C三
点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥 体积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知体积为 的正三棱柱 的所有顶点都在球 的球面
上，当球 的表面积 取得最小值时，该正三棱柱的底面边长 与高 的比值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个
长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（
）A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知棱长为1的正方体 ，以正方体中心 为球心的
球 与正方体的各条棱相切，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 在正方体外部分的体积为
B．若点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点 在平面 下方，则直线 与平面 所成角的正弦值最大为
D．若点 ､ ､ 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 最小值为
10．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知正四棱台 的所有顶点都在球 的球面上，
， 为 内部（含边界）的动点，则（ ）
A． 平面 B．球 的表面积为
C． 的最小值为 D． 与平面 所成角的最大值为60°
11．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的
为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面
均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）A．圆锥的表面积是 B．球 的体积是
C．四棱锥 体积的最大值为 D． 的最大值为
12．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个
内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等 “圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱
容球， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则
（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
13．（2022·全国·模拟预测）如图，在五面体 中，底面 为矩形， 和 均为等边三角形， 平面 ， ， ，且二面角 和 的大小均为 ．
设五面体 的各个顶点均位于球 的表面上，则（ ）
A．有且仅有一个 ，使得五面体 为三棱柱
B．有且仅有两个 ，使得平面 平面
C．当 时，五面体 的体积取得最大值
D．当 时，球 的半径取得最小值
14．（2022·全国·模拟预测）已知正三棱锥 的底面 的面积为 ，体积为 ，球 ， 分别
是三棱锥 的外接球与内切球，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．二面角 的大小为
C．若点 在棱 上，则 的最小值为
D．在三棱锥 中放入一个球 ，使其与平面 、平面 、平面 以及球 均相切，则球
的半径为
三、填空题
15．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知四面体 的各顶点都在球O的表面上， ，
E，F分别为 的中点，O为 的中点．若 ，直线 与 所成的角为 ， ，
则球O的表面积为____________．
16．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知 的所有顶点都在球 的表面上，
，球 的体积为 ，若动点 在球 的表面上，则点 到平面 的距离的最大值为__________.
17．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在三棱锥 中，已知
是线段 上的点， ．若三棱锥
的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为___________．
18．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在三棱锥 中，已知
是线段 上的点， .若三棱锥 的
各顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为______.
19．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知点 ， ， 均在球 的球面上运动，且满足
，若三棱锥 体积的最大值为6，则球 的体积为___________.
20．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司高三期中（理））如图，在三棱锥
中，已知 ， ， ， ，平面 平面 ，三棱锥
的体积为 ，若点 ， ， ， 都在球 的球面上，则球 的表面积为____________．
