文档内容
专题 13 全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.........................................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.........................................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.........................................................................................................................7
题型一：正四面体外接球 7
题型二：对棱相等的三棱锥外接球 8
题型三：直棱柱外接球 9
题型四：直棱锥外接球 11
题型五：正棱锥与侧棱相等模型 12
题型六：垂面模型 14
题型七：二面角模型 16
题型八：坐标法解决外接球问题 17
题型九：多面体外接球 18
题型十：锥体内切球 21
重难点突破：棱切球 22近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题
中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高
考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的
重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2022年乙卷第12题，5分
掌握求解方法， 2022年II卷第7题，5分 预 测 2025 年 高 考
外接球
灵活运用。 2022年I卷第8题，5分 中，与球相关的组合体问
题多以小题形式呈现，同
2021年甲卷第11题，5分
时也有可能融入解答题
中，作为相对独立的部
分。具体来说：
理解概念，熟练
内切球 2020年III卷第16题，5分 （1）这类问题可能会以
求解。
选择题或填空题的形式出
现，旨在考查学生的综合
推理能力。
（2）锥体内切球与棱切
理解概念，掌握 球问题将成为考查的热
棱切球 2023年 I卷第1题，5分
应用。 点。1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图41．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3
的等边三角形， 平面 ，则 ．
2．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体 中， 为 的中点，若该
正方体的棱与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是 ．
3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体 中，E，F分别为AB， 的中点，
以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
4．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶
点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均
在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体
积为 ，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为
，两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为 的等边三角形，且
其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知 为球 的球面上的三个点，⊙
为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．题型一：正四面体外接球
【典例1-1】已知正四面体 的棱长为3，点 在棱 上，且 ，若点 都在球 的球
面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】小张同学将一块棱长为 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损
失），则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
【变式1-1】已知正四面体 的外接球的体积为 ， 则该正四面体的棱长为（ ）A． B． C． D．
【变式1-2】已知正四面体的各棱长均为 ，各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．正四面体 的棱长为 ， 是棱 的中点，以 为球心的球面与平面 的交线和 相切，则
球 的体积是（ ）
A． B． C． D．
题型二：对棱相等的三棱锥外接球
【典例2-1】四面体 的一组对棱分别相等，且长度依次为 ， ，5，则该四面体的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】在四面体 中，三组对棱棱长分别相等且依次为 ， ，5则此四面体 的外
接球的半径 为（ ）
A． B．5 C． D．4四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
【变式 2-1】如图，在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】在三棱锥 中， ， ， ，则三棱锥 的外接球
的表面积为（ ）
A． B． C． D．1．在四面体 中，若 ， ， ，则四面体 的外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三：直棱柱外接球
【典例3-1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知直三棱柱 中， ， ， 点到直线 的距离为 ，
则三棱柱 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
【变式3-1】在直三棱柱 中，底面 满足 ， ，若三棱柱
的体积为 ，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知正六棱柱 的每个顶点都在球O的球面上，且 ， ，
则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．题型四：直棱锥外接球
【典例4-1】已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，则此三棱锥外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知三棱锥P-ABC中， 是边长为2的等边三角形， ， ， ，则
三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
【变式4-1】已知三棱锥 中， 平面 ，则此三棱锥外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】三棱锥 的四个顶点均在同一球面上，其中 平面 ， 是正三角形，
，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
1．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，若三棱锥
（以 为顶点）的侧面积为6，则球 的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：正棱锥与侧棱相等模型
【典例5-1】已知正三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．【典例5-2】已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．
P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
【变式5-1】已知三棱锥 ， ， ， ， ，三棱锥
外接球的表面积与三棱锥 的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知正三棱锥的高为 ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 ，则三棱锥体积
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．某正六棱锥外接球的表面积为 ，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长
，则其体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型六：垂面模型
【典例6-1】如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ，
， ，若点 ， ， ， 都在球 的表面上，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．图1 图2
【变式6-1】在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ，
，若点 、 、 、 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】在三棱锥P-ABC中， ，平面PAB 平面ABC，若球O是
⊥
三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
1．在体积为12的三棱锥 中， ， ，平面 平面 ， ，
，若点 都在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．题型七：二面角模型
【典例7-1】已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若 ，二面角
的平面角为 ，则该球的表面积是
【典例7-2】已知三棱锥 中， ，三角形 为正三角形，若二面角
为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
【变式7-1】如图，在三棱锥 中， ， ， ，二面角 的大小为 ，则三棱锥 的外接球表面积为 .
【变式7-2】已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角 为 ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
1．在三棱锥 中，已知 是边长为2的正三角形，且 .若 和 的面积之积为
，且二面角 的余弦值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
题型八：坐标法解决外接球问题
【典例8-1】已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上， ，
， ，若球O的表面积等于 ，则三棱锥 的体积等于（ ）
A．2 B． C． D．【典例8-2】已知正三棱锥 中， ， ，该三棱锥的外接球球心 到侧面距离为 ，到
底面距离为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【变式8-1】在棱长为4的正方体 中， 是 的中点， 是 上的动点，则三棱锥
外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【变式8-2】正方体 的棱长为2，若点M在线段 上运动，当 的周长最小时，三
棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．如图，在三棱锥 中， 平面 分别为 的中点，
则平面 截三棱锥 的外接球所得截面的面积为（ ）A． B． C． D．
题型九：多面体外接球
【典例9-1】正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古
希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二
十面体.如图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球 的球面上，则球 与正八面体
的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现
了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个
面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 ，则该多面体外接球的表面积为（ ）A． B．
C． D．
首先，确定球心是关键，可通过作垂线找交点、建立空间直角坐标系计算或利用特殊多面体的性质来
确定。其次，理解并应用外接球的性质，即外接球球心到多面体各顶点的距离相等，这有助于建立数学模
型。最后，结合多面体的几何元素，运用空间向量、几何性质或公式法等方法求解外接球的半径。
【变式9-1】数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一.该礼品包
装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形.将长方体
A B C D
的上底面 1 1 1 1绕着其中心旋转 得到如图2所示的十面体 .已知
，则十面体 外接球的球心到平面 的距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有
四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球 的表面上，且点 到正六边形面的距离为 ，则球
的体积为（ ）
A． B． C． D．
1．在几何学中，截角立方体是一种十四面体，由八个正三角形与六个正八边形组成，共有 个面， 个
顶点以及 条边，是一种阿基米德立体，属于半正多面体.下图是一个所有棱长均为 的截角立方体，则该
截角立方体的外接球的表面积为 .
题型十：锥体内切球
【典例10-1】棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则
这样一个小球的表面积最大为（ ）A． B． C． D．
【典例10-2】点M、N为正四面体 的内切球球面上的两个动点，T为棱AB上的一动点，则当
取最大值时， （ ）
A．1 B． C． D．
等体积法，即
【变式10-1】如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都
是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如
图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个
面相切．设 ，则该模型中5个球的表面积之和为
【变式10-2】作高为8的正四面体的内切球，在这个球内作内接正四面体，然后再作新四面体的内切球，
如此下去，则前 个内切球的半径和为 ．
1．已知三棱锥 的棱长均为4，先在三棱锥 内放入一个内切球 ，然后再放入一个球 ，
使得球 与球 及三棱锥 的三个侧面都相切，则球 的表面积为（ ）A． B． C． D．
重难点突破：棱切球
【典例11-1】已知四面体 中， ， ， ， ，球心在该四
面体内部的球与这个四面体的各棱均相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
A B C D
【典例11-2】在正四棱台 中， ，若球 与上底面 1 1 1 1以及棱
均相切，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
（1）若正方体的棱长为 ，则棱切球的半径 ．
（2）若正四面体棱长为 ，则内切球半径 ，外接球半径 ，棱切球半径
．
（3）对于棱长为 的正 棱柱，棱切球半径为 ．
【变式11-1】已知正三棱锥 P－ABC 的底面边长为 ，若半径为1的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥 P－ABC 的体积为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式11-2】已知正三棱柱 的侧面积为36，则与三棱柱 各棱均相切的球的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
1．已知三棱锥 的所有棱长均为3，球O与棱PA，PB，PC都相切，且平面ABC被球O截得的截
面面积为 ，则球O的半径为（ ）．
A．1 B． C． D． 或
