文档内容
第5讲 球的切接问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】空间几何体的外接球.....................................................................................................2
【考点二】空间几何体的内切球.....................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割
补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．
真题自测
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，
两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球
表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
考点突破
【考点一】空间几何体的外接球
一、单选题
1．（2020·全国·高考真题）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面
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学科网（北京）股份有限公司积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·一模）已知正四棱锥 各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为
，则该球表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南信阳·一模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子
位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m，则
（ ）
A．该正八面体结构的表面积为 B．该正八面体结构的体积为
C．该正八面体结构的外接球表面积为 D．该正八面体结构的内切球表面积为
4．（2024·辽宁·三模）如图，在棱长为2的正方体 中，点 分别为 的中点，
为面 的中心，则以下命题正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．平面 截正方体所得的截面面积为
B．四面体 的外接球的表面积为
C．四面体 的体积为
D．若点 为 的中点，则存在平面 内一点 ，使直线 与 所成角的余弦值为
三、填空题
5．（2023·湖北·模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为 球面上，正三棱锥体积最大时该正三
棱锥的高为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体 满足 ，则该四面体外
接球体积的最小值为 ．
规律方法：
求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元
素的关系)，达到空间问题平面化的目的．
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
【考点二】空间几何体的内切球
一、单选题
1．（2024·云南大理·模拟预测）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳
定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体
每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）．如图所示，
正八面体 的棱长为 ，此八面体的外接球与内切球的体积之比为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆
锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东湛江·一模）在直三棱柱 中， ， ， ， 分别
为 和 的中点， 为棱 上的一点，且 ，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱柱 存在内切球
B．直线 被三棱柱 的外接球截得的线段长为
C．点 在棱 上的位置唯一确定
D．四面体 的外接球的表面积为
4．（2024·广东茂名·一模）如图，已知圆锥顶点为 ，其轴截面 是边长为2的为等边三角形，球
内切于圆锥（与圆锥底面和侧面均相切）， 是球 与圆锥母线 的交点， 是底面圆弧上的动点，则
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．球 的体积为
B．三棱锥 体积的最大值为
C． 的最大值为3
D．若 为 中点，则平面 截球 的截面面积为
三、填空题
5．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差为
.
6．（2024·广西·二模）在三棱锥 中， ， ，△PAC， 的面积分别3，4，12，
13，且∠APB=∠BPC=∠APC，则其内切球的表面积为 ．
规律方法：
空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半
径；二是利用等体积法直接求内切球的半径．
专题精练
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径 ， ，则该圆锥内切
球的体积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
3．（2024·安徽池州·二模）已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为 ，则该圆锥的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津和平·二模）如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁
下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与
正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）若某圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球表面积为 ，则该圆锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形， ，
，底面积为 ， 且 ，则四棱锥 外接球的表面积为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
7．（2024·西藏·模拟预测）已知圆锥的轴截面 是一个正三角形，其中 是圆锥顶点，AB是底面直径．
若C是底面圆O上一点，P是母线SC上一点， ， ，则三棱锥 外接球的表面积
是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南周口·模拟预测）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，面积为 的扇形，则该圆锥的外
接球的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为40cm的正方体
截去八个一样的四面体得到的，则（ ）
A．该几何体的顶点数为12
B．该几何体的棱数为24
C．该几何体的表面积为
D．该几何体外接球的表面积是原正方体内切球、外接球表面积的等差中项
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学科网（北京）股份有限公司10．（2024·河南濮阳·模拟预测）如图，正方体 的棱长为4，点 是其侧面 上的
一个动点（含边界），点 是线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得二面角 大小为
B．存在点 ，使得平面 与平面 平行
C．当 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
D．当 为 的中点时，四棱锥 外接球的表面积为
11．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， 分别是棱 上的动点，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．直三棱柱 的体积为
B．直三棱柱 外接球的表面积为
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学科网（北京）股份有限公司C．若 分别是棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
D． 取得最小值时，
三、填空题
12．（2024·陕西安康·模拟预测）《论球与圆柱》是古希腊数学家阿基米德的得意杰作，据传说在他的墓
碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图为一个圆柱 与球
的组合体，其中球 与圆柱 的侧面和上､下底面均相切， 为底面圆 的一条直径， ，若
球的半径 ，则球的体积与圆柱的体积之比为 ；球心 到平面 的距离为 .
13．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥 中， ，且 两两垂直．设三棱
锥 的外接球和内切球的表面积分别为 和 ，则 ．
14．（2024·内蒙古·三模）在平行四边形 中， ，沿 将 折起，则三
棱锥 的体积最大时，三棱锥 外接球的表面积为 .
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