文档内容
第4讲 空间向量与距离、探究性问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................4
【考点一】空间距离.......................................................................................................................4
【考点二】空间中的探究性问题....................................................................................................12
【专题精练】...............................................................................................................................26
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
1.以空间几何体为载体，考查利用向量方法求空间中点到直线以及点到平面的距离，属于中等难度.
2.以空间向量为工具，探究空间几何体中线、面的位置关系或空间角存在的条件，计算量较大，一般以解
答题的形式考查，难度中等偏上．
真题自测
一、解答题
1．（2024·天津·高考真题）已知四棱柱 中，底面 为梯形， ， 平面
， ，其中 ． 是 的中点， 是 的中点．
(1)求证 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角余弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
参考答案：
1．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得 ，
结合线面平行判定定理即可得证；
（2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解；
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学科网（北京）股份有限公司（3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ， ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
由 是 的中点，故 ，且 ，
则有 、 ，
故四边形 是平行四边形，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
故 平面 ；
（2）以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
有A(0,0,0)、 、 、 、C(1,1,0)、 ，
则有 、 、 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 、 ，
则有 ， ，
分别取 ，则有 、 、 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 、 ，
则 ，
故平面 与平面 的夹角余弦值为 ；
（3）由 ，平面 的法向量为 ，
则有 ，
即点 到平面 的距离为 .
考点突破
【考点一】空间距离
核心梳理：
(1)点到直线的距离
直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设AP＝a，则点P到直线l的距离
d＝.
(2)点到平面的距离
平面α的法向量为n，A是平面α内任一点，P为平面α外一点，则点P到平面α的距离为d＝.
一、单选题
1．（2024·江西新余·模拟预测）已知 ，直线 过原点且平行于 ，则 到 的距离为
（ ）.
A． B．1 C． D．
2．（2024·北京朝阳·一模）在棱长为 的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ，
的中点，动点 在平面 内，且 .则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．存在点 ，使得直线 与直线 相交
B．存在点 ，使得直线 平面
C．直线 与平面 所成角的大小为
D．平面 被正方体所截得的截面面积为
二、多选题
3．（2024·福建福州·模拟预测）在长方体 中， 为 的中点，则
（ ）
A． B． 平面
C．点 到直线 的距离为 D．点 到平面 的距离为
4．（2024·江苏·一模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 满足
，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．当 时， 平面
B．任意 ，三棱锥 的体积是定值
C．存在 ，使得 与平面 所成的角为
D．当 时，平面 截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题
5．（2023·福建·一模）已知空间中三点 ，则点A到直线 的距离为
．
6．（2024·辽宁·二模）如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这
个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C C BC ACD
1．C
【分析】根据题意取 ，然后求出 在 方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果.
【详解】由题意取 ，则 ，
所以 到 的距离为
.
故选：C
2．C
【分析】连接 ， ，取 的中点 ，连接 ，点 到线段 的最短距离大于 ，即可判断 ；
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学科网（北京）股份有限公司建立空间直角坐标系，点 到平面 的距离为 ，即可判断 ；由 平面 ，连
接 交 于点 ， 与 全等，所以 ，即可判断 ；平面 被
正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为 ，可求截面面积.
【详解】
连接 ， ，所以 ， ，取 的中点 ，连接 ，
所以 ，点 到线段 的最短距离大于 ，所以不存在点 ，使得直线 与直线 相交，
故 不正确；
以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，所以 ，即 ，
令x=1，则 ， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以点 到平面 的距离为 ，而 ，所以不存在点 ，使得直线 平
面 ，故 不正确；
因为 ，所以 平面 ，连接 交 于点 ，所以 为 的中点， ，
所以 为直线 与平面 所成角，
因为 ，在 中， ，
所以 ，因为 与 全等，所以 ，故 正确；
延长 交 的延长线于 ，连接 交 于 ，连接 ，取 的中点 ， 的中点 ，
连接 ， ， ， ， ， ，
平面 被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为 ，
所以截面面积为 ，故 不正确.
故选： .
3．BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解A,根据线线平行即可判断B，根据向量法即可求解
空间距离，判断CD.
【详解】如图建立空间直角坐标系 ，易知 ， ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司．
A， ， ，所以A错误；
B，显然 ， 平面 , 平面 ,可得 平面 ，所以B正确；
C，记直线 的单位方向向量为 ，则 ，又 ，
所以向量 在直线 上的投影向量为 ，
则有 到直线 的距离为 ，故C正确；
D，设平面 的法向量为 ，由 ，
令 ，可得 ，
又 ，所以点 到平面 的距离 ，故D错误．
故选：BC
4．ACD
【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A， 时， 与 重合，故只需验证 面 是否成
立即可，对于B，由 不与平面 平行，即点 到面 的距离不为定值，由此即可推翻B，对于
C，考虑两种极端情况的线面角，由于 是连续变化的，故 与平面 所成的角也是连续变化的，由
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学科网（北京）股份有限公司此即可判断；对于D，求出平面 的法向量，而显然球心坐标为 ，求出球心到平面 的距离，
然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.
【详解】如图所示建系， ，
所以 ，
从而 ，
所以 ，
又 面 ，
所以 面 ，
时， 与 重合，平面 为平面 ，
因为 面 ， 平面 ，A对.
不与平面 平行， 到面 的距离不为定值，
三棱锥 的体积不为定值，B错.
设面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即可取 ，
而 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
又 面 ，
所以 面 ，
当 在 时， 与平面 所成角的正弦值为 ，此时 与平面 所成角小于 ，
当 在 时， 与平面 所成角为 ，
所以存在 使 与平面 所成角为 ，C正确.
，
设平面 的法向量为 ，
不妨设 ，则 .
，则 ，平面 的法向量 ，显然球心 ，
到面 的距离 ，外接球半径 ，
截面圆半径的平方为 ，所以 ，D对.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面 的距离，由此即可顺利得解.
5．
【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可
求解.
【详解】 ，
,
，
，
设点A到直线 的距离为 ，则
.
故答案为： .
6．
【分析】如图，七面体为正方体 截去三棱锥 的图形，由正方体的结构特征可得
这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线 上，
以点 为原点建立空间直角坐标系，设球心 ，利用向量法求出球心 到平面 的
距离进而可得出答案.
【详解】如图，七面体为正方体 截去三棱锥 的图形，
由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，
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学科网（北京）股份有限公司该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线 上，
如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，
则 ，
设球心 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，可取 ，
则球心 到平面 的距离为 ，
因为球 与三个正方形面和等边三角形面相切，
所以 ，解得 ，
所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：求点 到平面 的距离，方法如下：
（1）等体积法：先计算出四面体 的体积，然后计算出 的面积，利用锥体的体积公式可计算
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学科网（北京）股份有限公司出点 到平面 的距离；
（2）空间向量法：先计算出平面 的一个法向量 的坐标，进而可得出点 到平面 的距离为
.
规律方法：
(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法．
(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行．求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距
离．
【考点二】空间中的探究性问题
核心梳理：
与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探究线面角或两平面的
夹角满足特定要求时的存在性问题．处理原则：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中已给出)，
设出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断．
一、单选题
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）如图，已知正方体 中，F为线段 的中点，E为线段
上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A．存在点E，使 平面
B．三棱锥 的体积随动点E变化而变化
C．直线 与 所成的角不可能等于
D．存在点E，使 平面
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学科网（北京）股份有限公司2．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，则（ ）
A．直线MN与 所成角的余弦值为 B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点Q，使得 D．在 上存在点P，使得 平面
二、多选题
3．（2024·广西贵港·模拟预测）如图，在正方体 中，P为线段 的中点，Q为线段
上的动点（不包括端点），则（ ）
A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得 平面
C．三棱锥 的体积是定值 D．二面角 的余弦值为
4．（2024·河北秦皇岛·二模）如图，在直四棱柱 中，四边形 是矩形， ，
， ，点P是棱 的中点，点M是侧面 内的一点，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．直线 与直线 所成角的余弦值为
B．存在点 ，使得
C．若点 是棱 上的一点，则点M到直线 的距离的最小值为
D．若点 到平面 的距离与到点 的距离相等，则点M的轨迹是抛物线的一部分
三、填空题
5．（2024·北京大兴·三模）在棱长为6的正方体 中，E为棱 上一动点，且不与端点重
合，F，G分别为 ， 的中点，给出下列四个结论：
①平面 平面 ；
②平面 可能经过 的三等分点；
③在线段 上的任意点H（不与端点重合），存在点E使得 平面 ；
④若E为棱 的中点，则平面 与正方体所形成的截面为五边形，且周长为 .
其中所有正确结论的序号是 .
6．（2024·北京海淀·二模）如图，在正方体 中， 为棱 上的动点， 平面
为垂足.给出下列四个结论：
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学科网（北京）股份有限公司① ；
②线段 的长随线段 的长增大而增大；
③存在点 ，使得 ；
④存在点 ，使得 平面 .
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题
7．（23-24高三下·广西·阶段练习）在 中， ， ，D为边 上一点， ，
E为 上一点， ，将 沿 翻折，使A到 处， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若射线 上存在点M，使 ，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求λ.
8．（2024·湖北·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点， 平面ABC，
， ，E，F分别为PA，PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为l．
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学科网（北京）股份有限公司(1)证明： 平面PBC；
(2)直线l与圆O的交点为B，D，求三棱锥 的体积；
(3)点Q在直线l上，直线PQ与直线EF的夹角为 ，直线PQ与平面BEF的夹角为 ，是否存在点Q，使
得 ？如果存在，请求出 ；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 D C BD ACD
1．D
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断AD；利用空间向量求出线线角的余弦判
断C；利用等体积法确定 的体积情况判断B.
【详解】在正方体 中，以点D为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐
标系，
设正方体棱长为2，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 在线段 上运动，设 （ ），则 ，
平面 的法向量 ，显然 ，则直线 与平面 不平行，A错误；
，设直线 与 所成角为 ，则 ，
显然当 时， ， ，即存在点E使得直线 与 所成的角为 ，C错误；
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)， ，
则 ，令 ，得 ，
当 时， ，因此 平面 ，D正确；
点 在正方体 的对角面矩形 的边 上，则 ，
A B C D
而 平面 平面 1 1 1 1，则 ，又 ，
A B C D
1 1 1 1
可得 平面 ，点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积为定值，B错误.
故选：D
【点睛】思路点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两
两垂直，可选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
2．C
【分析】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面
直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由 四点共面，而 平面 可判断D.
【详解】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，
所以 ， ，
，
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学科网（北京）股份有限公司对于A， ， ，
直线MN与 所成角的余弦值为 ，故A错误；
对于B， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
平面 与平面 夹角的余弦值为：
，故B错误；
对于C，因为Q在 上，设 ，所以 ， ，
则 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，解得： .
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学科网（北京）股份有限公司故 上存在点 ，使得 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 四点共面，
而 平面 ，所以 上不存在点P，使得 平面 ，故D错误.
故选：C.
.
3．BD
【分析】A选项，由 推出 平面 ，矛盾；B选项，建立空间直角坐标系，证明出
， ，得到线面垂直，进而当Q为 的中点时， ，此时 平面 ，
故B正确；C选项，假设体积为定值，得到 平面 ，求出平面的法向量，证明出 平面
不成立，C错误；D选项，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出余弦值.
【详解】对于A，若 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，矛盾，故A错误．
对于B，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，则 ，
因为 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司故 ， ，
故 ， ，
因为 ， 平面 ，
故 平面 ，当Q为 的中点时， ，
此时 平面 ，故B正确．
对于C，Q在线段 上运动，若三棱锥 的体积为定值，则 平面 ，
，⃗DA=(2,0,0)，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，
解得 ，令 得 ，故 ，
故 ，故 与 不垂直，
故 平面 不成立，故C错误；
对于D，二面角 即二面角 ，连接BP，DP，BD，
由于 为等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，所以 为所求二面角的平面角，
不妨设正方体的棱长为2，则 的棱长为 ，
故 ， ，
由余弦定理可得 ，
二面角 的余弦值为 ，故D正确．
故选：BD
4．ACD
【分析】以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的位置关系、线面角的向量公式，点到直
线的向量公式和抛物线的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】以点A为坐标原点，分别以 、 、 所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示.
所以 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以， ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司由题意，设 ，
则 ，又 ，
若 ，则 ，解得 ，
所以不存在点M，使得 ，故B错误；
设 ，所以 ，
所以点 到直线 的距离
，
所以 ，此时 ，
所以点M到直线 的距离的最小值为 ，故C正确；
设 ，
则点M到平面 的距离为z，点M到点 的距离为 .
因为点M到平面 的距离与到点 的距离相等，所以 ，
整理得 （其中 ， ），
即点M的轨迹方程为 ，是抛物线的一部分，故D正确.
故选：ACD.
5．①③④
【分析】①③利用空间向量法证明线面垂直从而证明面面垂直和判断线面垂直；②利用向量法求解平面
的法向量，结合平面内直线一定与法向量数量积为0，判断点在平面内；④利用平面的基本性质作出
截面，再求出截面的周长；
【详解】
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学科网（北京）股份有限公司如图所示建立直角坐标系，以 为原点，以 分别为 为正方向，
，
，设
① ，
因为 ，
所以 是平面 内两条相交直线，则 平面 ， 平面 ，因
此平面 平面 ，①正确；
②取点 为 的三等分点，即 或 ，设平面 的法向量为 ，
，则 ，令 ，所以
当 时， ，若 在平面 中， ，解得 不合题
意；
当 时， ，若 在平面 中， ，解得 不合题意；
②错误；
③在线段 上的任意点H（不与端点重合），设 ，则 ，由上
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学科网（北京）股份有限公司可知平面 的法向量为 ，若存在点E使得 平面 ，则有 ，即
，解得 所以当 时成立，③正确；
④延长 三线相交于点 ，连接 分别交直线 于点 ,因为E为棱 的中
点，则平面 与正方体所形成的截面为五边形 ，
在正方体中， ，根据三角形相似可得 ，则
， ，因此周长
为 .④正确；
故答案为：①③④.
【点睛】
立体几何证明线面垂直、面面垂直的方法：定义法；空间向量法；
6．①②④
【分析】根据给定条件，以点 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量坐标，进而求出
点 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.
【详解】在正方体 中，令 ，以点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ，
令平面 的法向量 ，则 ，取 ，得 ，
由 平面 于 ，得 ，即 ，
，显然 ，解得 ，
于是 ，
对于①， ，①正确；
对于②， 在 上单调递增，②正确；
对于③，而 ， ，
若 ，
显然 ，即不存在 ，使得 ，③错误；
对于④，平面 的一个法向量 ，而 ，
由 ，得 ，即 ，整理得 ，
令 ，显然函数 在 上的图象连续不断，
而 ，因此存在 ，使得 ，此时 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司因此存在点 ，使得 平面 ，④正确.
所以所有正确结论的序号是①②④.
故答案为：①②④
【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间
位置关系的方法解决.
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）题意先证明 平面 ，得到 ，根据线面垂直判定定理得证；
（2）作 ，垂直为Q，由（1）得 ，证得 平面 ，以B为原点， ， ，
的方向分别为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得 和平面 的一个法向量
，根据 与平面 所成角正弦值为 ，解得参数的值；
【详解】（1）证明：由题意知 ， ，
又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ，所以 平面
（2）作 ，垂直为Q，由（1）知， 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面
故以B为原点， ， ， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ， ，
又 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，则
设 与平面 所成角为θ，
则 ，
解得 或 ，
由题意知 ，故 .
8．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可证 ，利用 ， ，可证 平面 ，进而可证结论．
（2）由已知可得四边形ABCD为矩形，进而利用 ，可求体积．
（3）以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向作为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，求得平面BEF的一个法向量，利用向量法可求 .
【详解】（1）∵E，F分别为PA，PC的中点，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面ABC．
又 平面BEF，平面 平面 ，∴ ．
平面 平面 ．
又 ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，从而 平面 ；
（2） ，由（1）得 ，从而 ，
从而四边形ABCD为矩形．由于 平面ABC，
从而 ．
（3）以 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向作为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图，则 ， ， ， ， ， ，
由于 ，设 ，则 ． ， ，
设平面BEF的一个法向量 ，
则 ，取
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学科网（北京）股份有限公司由题意， ，
即 ，解得 ，从而符合题意的点 存在， ．
规律方法：
解决立体几何中探索性问题的基本方法
(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据
或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立．
(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用．
专题精练
一、单选题
A B C D
1 1 1 1
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）棱长为2的正方体 中，设点 为底面 内（含边
界）的动点，则点 到平面 距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·浙江·期中）空间点 ，则点 到直线 的距离 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体 中，点E，F满足⃗D E=2⃗ED，
1
⃗ ⃗
BF=2FB ，则点E到直线 的距离为（ ）
1
A． B．
C． D．
4．（2024·福建福州·模拟预测）四棱锥 的顶点均在球 的球面上，底面 为矩形，平面
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学科网（北京）股份有限公司平面 ， ， ， ，则 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，P为棱 的中点，Q为正方
形 内一动点（含边界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．若 平面 ，则动点Q的轨迹是一条线段
B．存在Q点，使得 平面
C．当且仅当Q点落在棱 上某点处时，三棱锥 的体积最大
D．若 ，那么Q点的轨迹长度为
6．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中， 是 中点，点 在正方体的内
切球的球面上运动，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）在空间直角坐标系中，直线 的方程为 ，空间一点 ，则
点 到直线 的距离为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．1 C． D．
8．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长都
是a，且 ， ，E为 的中点，则点E到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏扬州·模拟预测）如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体 ）
放置在水平面 的上方，点 恰在平面 内，点 到平面 的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与
表面 的交线与 的夹角为0，记水面到平面 的距离为 ，则（ ）
A．平面 平面
B．点 到平面 的距离为8
C．当 时，水面的形状是四边形
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学科网（北京）股份有限公司D．当 时，所装的水的体积为
10．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，几何体的底面是边长为6的正方形 底面
， ，则（ ）
A．当 时，该几何体的体积为45
B．当 时，该几何体为台体
C．当 时，在该几何体内放置一个表面积为S的球，则S的最大值为
D．当点 到直线 距离最大时，则
11．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知直三棱柱 中， 且 ，直线
与底面 所成角的正弦值为 ，则（ ）
A．线段 上存在点 ，使得
B．线段 上存在点 ，使得平面 平面
C．直三棱柱 的体积为
D．点 到平面 的距离为
三、填空题
12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知空间中有三点 ， ， ，则点O到直线
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学科网（北京）股份有限公司的距离为 .
13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）在棱长为3的正方体 中， 为线段 靠近 的三
等分点. 为线段 靠近 的三等分点，则直线 到平面 的距离为 .
14．（2024·北京通州·二模）如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转
90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧 的中点，点H是圆弧 上的动点， ，给出下列四个
结论：
①不存在点H，使得平面 平面CEG；
②存在点H，使得 平面CEG；
③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ；
④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
15．（2023·江苏连云港·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，
平面 平面ABEF， ， ， ， ， ，且
．
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学科网（北京）股份有限公司(1)已知点G为AF上一点，且 ，证明： 平面DCE；
(2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为 ，求点F到平面DCE的距离．
16．（2024·天津河西·模拟预测）如图，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 上
的动点，且 ．
(1)求证： ；
(2)当三棱锥 的体积取得最大值时，求平面 与平面BEF夹角的正切值及点 到直线 的距
离．
17．（2024·江苏苏州·三模）如图，已知正方体 的棱长为 ， ， 分别是 和 的中
点.
(1)求证： ；
(2)求直线 和 之间的距离；
(3)求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）如图，在三棱柱 中， ，侧面
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学科网（北京）股份有限公司是正方形，二面角 的大小是 ．
(1)求 到平面 的距离．
(2)线段 上是否存在一个点D，使直线 与平面 所成角为 ？若存在，求出 的长；若不存
在说明理由．
19．（2024·北京昌平·二模）如图，在棱长均为2的四棱柱 中，点 是 的中点，
交平面 于点 ．
(1)求证：点 为线段 的中点；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得四棱柱 存在且唯
一确定．
（i）求二面角 的余弦值；
（ii）求点 到平面 的距离．
条件①： 平面 ；
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学科网（北京）股份有限公司条件②：四边形 是正方形；
条件③：平面 平面 ．
注：如果选择的条件不符合要求，则第2问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A B B D A ABD ACD
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】建立空间直角坐标系，设 ，求出平面 的一个法向量 ，
然后利用距离的向量公式并换元化简得 ，最后利用二次函数性质求解最值
即可.
【详解】在正方体 中， 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则 ，设 ，
所以 ， ，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ．于是 ，
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学科网（北京）股份有限公司则点 到平面 距离之和为 ，
设 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
函数 开口向上，对称轴为 ，在 上单调递增，
所以当 时， 取到最小值为 .
故选：B
2．D
【分析】求出 ，利用空间向量夹角余弦公式求出 ，进而求出 ，再利用距离公
式即可求出结果.
【详解】由题意得 ，
所以 ，
所以 ，
所以点A到直线BC的距离 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司3．A
【分析】利用向量法求点到直线的距离.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得E(0,0,1)，F(3,3,2)，C (0,3,3)，
1
⃗EF=(3,3,1)，⃗FC =(-3,0,1)，设向量 与 的夹角为 ，
1
⃗EF⋅⃗FC -9+1 8
∴cosθ= 1 = =-
，
|⃗EF||⃗FC | ❑√19×❑√10 ❑√190
1
√ 64 3❑√35
所以点 到直线 的距离为d=|⃗EF|⋅sinθ=❑√19×❑1- = .
190 5
故选：A.
4．A
【分析】根据线面关系可证得 平面 ， ，将四棱锥 补成长方体
，确定球心的位置，再建立空间直角坐标系，求解平面 的法向量，利用空间向量的
坐标运算计算 到平面 的距离即可.
【详解】因为平面 平面 ，交线为 ，又底面 为矩形，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
则 ，又 ， ， ，所以 ，则 ,
如图，将四棱锥 补成长方体 ，
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学科网（北京）股份有限公司若四棱锥 的顶点均在球 的球面上，则长方体 的顶点均在球 的球面上， 为
体对角线 中点，
如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，又 ，
，令 ，所以 ，
又 ，则 到平面 的距离为 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问
题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离
相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这
些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
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学科网（北京）股份有限公司（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
或者采用补形法，利用规则图形的外接球位置确定所求外接球球心的位置.
5．B
【分析】取 中点 ，证明 平面 ，得动点轨迹判断A，建立如图所示的空间直角坐
标系，求出平面 的一个法向量，由 与此法向量平行确定 点位置，判断B，利用空间向量法求得
到到平面 距离的最大值，确定 点位置判断C，利用勾股定理确定 点轨迹，得轨迹长度判断D．
【详解】选项A，分别取 中点 ，连接 ， ，由 与 ， 平行且相等
得平行四边形 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
连接 ， ， ，所以 ，同理 平面 ，
， 平面 ，所以平面 平面 ，
当 时， 平面 ，所以 平面 ，即 点轨迹是线段 ，A正确；
选项B，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
， ， ，设 （ ），
， ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，取 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司若 平面 ，则 ，所以存在 ，使得 ，
，解得 ，因此正方形 内（含边界）不存在点 ，使得 平面 ，B
错；
选项C， 面积为定值，当且仅当点 到平面 的距离最大时，三棱锥 的体积最大，
，
到平面 的距离为 ， ，
时， ，当 时，d有最大值1，
时， ， 时，d有最大值 ，
综上， 时，d取得最大值1，故 与 重合时，d取得最大值，三棱锥 的体积最大，C正
确；
选项D， 平面 ， 平面 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆弧，圆心角是 ，轨迹长度
为 ，D正确．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查空间点的轨迹问题，解题关键是勾画出过 且与平面 平行的平面
，由体积公式，在正方形 内的点 到平面 的距离最大，则三棱锥 体积最大．
6．B
【分析】建立空间直角坐标系，作出辅助线，得到 ⊥平面 ，由点到平面的距离和球的半径得到
点 的轨迹为以 为半径的圆，从而求出点 的轨迹长度.
【详解】以点 为原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ，
球心 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，
则 ， ，
，
故 ， ，
又 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，
故当 位于平面 与内切球 的交线上时，满足 ，
此时 到平面 的距离为
，
44 / 66
学科网（北京）股份有限公司，其中 为平面 截正方体内切球所得截面圆的半径，
故点 的轨迹为以 为半径的圆，
故点 的轨迹长度为 .
故选：B
7．D
【分析】由直线 的方程可得直线 的方向向量和所过的定点坐标，结合空间点到直线距离的计算公式计算
即可得出答案.
【详解】根据题意，直线 的方程为 ，
即 ，则直线 的方向向量为 ，又因为过点 ，
， ，则 ，
故 在 上的射影为： ，
故点 到直线 的距离为： .
故选：D.
8．A
【分析】利用基底向量，即可由空间向量的模长，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】 在平行六面体 中，不妨设 ， ， ．
45 / 66
学科网（北京）股份有限公司, ，
， ，
所以 ， ，
，
所以E到直线 的距离为 ，
故选：A
9．ABD
【分析】建立空间直角坐标系，求得平面 、平面 的法向量计算可判断A；根据向量法计算可判断
B；当 ，水面为六边形可判断C；作出水面，利用水面与平面 平行，可计算出水面与 交点 ，
再计算 后即可判断D.
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则 ,
因为静止时水面与表面 的交线与 的夹角为0，所以 平面 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)， ，
点 到平面 的距离为 ， ，
46 / 66
学科网（北京）股份有限公司，而 ，
令 ，所以平面 的法向量为 ，
对A， ， ， ， ，
故 平面 ，
所以平面 的法向量为 ，又 ，
所以平面 平面 ，故A正确；
对B， ，所以 到平面 的距离为 ，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，当 时，截面为六边
形，故C错误；
对D，当 时，设水面与 的交点分别为 ，设 ，则 ，
则 ， ，故 ，
设水面与 交点为 ，所以 ，
，此时过 作 交 于点 ，连接 ，
设 的面积为 , 的面积为 ，则 ，
，
47 / 66
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于建立空间直角坐标系，计算出平面 的法向量，运用空间向量
求解.
10．ACD
【分析】对于A：根据题意结合图形利用分割法球体积；对于B：根据题意结合台体的结果特征分析判断；
对于C：根据台体的结构特征结合正方体的内切球分析求解；对于D：建系，利用空间向量球点到面的距
离，结合单调性分析求解.
【详解】若 ，即 ，可知 为矩形，
对于选项A：当 时，即 ，
取 的中点 ，连接 ，如图所示：
A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 底面 ， 底面 ，则 ，
A B C D
1 1 1 1
且 为正方形，则 ，
， 平面 ，可得 平面 ，
又因为 ， ∥ ，可知 为平行四边形，则 ∥ ，
A B C D
1 1 1 1
可知 为直三棱柱， 底面 ，
所以该几何体的体积为 ，故A正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于选项B：当 时，即 ，可知 ，所以该几何体不为台体，故B错
误；
对于选项C：当 时，即 ，则 ，所以该几何体为台体，
如图所示， 为相应边的中点，则 为正方形，
因为 底面A B C D ，且 ，可知所求球的半径 ，
1 1 1 1
且正方形 的内切球的半径即为 ，
所以最大球的半径 ，即S的最大值为 ，故C正确；
对于选项D：以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，可得 ，
则点 到直线 距离为 ，
49 / 66
学科网（北京）股份有限公司可知 在[0,1]内单调递增，所以当点 到直线 距离最大时，则 ，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点（一般为接、切点）或线作截
面，把空间问题转化为平面问题求解；
（2）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（3）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（4）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的
位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解．
11．ABD
【分析】根据直三棱柱的性质得到 底面 ，则 即为直线 与底面 所成角，利用锐角
三角函数求出 ，由柱体的体积公式判断C，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算A、B、D.
【详解】在直三棱柱 中， 底面 ，
则 即为直线 与底面 所成角，即 ，
则 ，
所以
又 且 ，所以 ，
又 底面 ， 底面 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以直三棱柱 的体积 ，故C错误；
50 / 66
学科网（北京）股份有限公司又 底面 ， ，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ，A(2,0,0)， ， ， ，
所以 ， ，因为点 在线段 ，
设 ， ，
则 ，
若 ，则 ，即 ，解得 ，
此时 为线段 的中点，
故在线段 上存在点 ，使得 ，故A正确；
当 为线段 的中点时 ，则 ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，取⃗m=(1,-1,0)，
又 ， ，设平面 的法向量为⃗n=(a,b,c)，
则 ，取 ，
51 / 66
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以平面 平面 ，
即当 为线段 的中点时满足平面 平面 ，故B正确；
又 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
则点 到平面 的距离 ，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】求出 的坐标，求出 ，根据点O到直线 的距离为 即可求解.
【详解】因为O(0,0,0)， ， ，
所以 ,
所以 ， .
所以 ,
所以 .
所以点O到直线 的距离为 .
故答案为： .
52 / 66
学科网（北京）股份有限公司13． /
【分析】先证明 平面 ，再求出平面 的法向量和直线 的方向向量，应用点到平面的距离
公式求得结果.
【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，所以 ，
而 平面 ， 平面 ，故 平面 ，
所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离.
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
故 ，即 ，取 ，则 ，
又 ，
故点 到平面 的距离为 .
53 / 66
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
14．②③④
【分析】将图形补全为一个正方体 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别
为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】由题意可将图形补全为一个正方体 ，如图所示：
以点 为坐标原点， 、 、 所在的直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 、 、 、A(2,0,0)、 、 ， ，
设点 ，其中 ，
对于①， ， ，设 平面 ，
则 ，即 ，
取x=1，则 ，可得 ，
设 平面 ， ， ，
则 ，即 ，
取 ，则 ，可得 ，
若平面 平面CEG，则 ，解得： ，
54 / 66
学科网（北京）股份有限公司所以存在 使得平面 平面CEG，故①错误；
对于②， ，若 平面CEG，
则 ，即 ，
即 ，故 ，故存在点H，使得 平面CEG，故②正确；
对于③， ，
所以点H到平面CEG的距离为 ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
，所以 ，
所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于 ，故③正确；
对于④， ， ，则直线 与平面CEG的所成角为 ，
所以，
，整理可得 ，
因为函数 在 时的图象是连续的，
且 ， ，
55 / 66
学科网（北京）股份有限公司所以，存在 ，使得 ，
所以，存在点 ，使得直线 与平面CEG的所成角的余弦值为 ，④正确.
故答案为：②③④.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即
可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度 ，从而不必作出线面角，则线面
角 满足 （l为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设 为直线 的方向向量， 为平面的法向量，则线面角
的正弦值为 .
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABEG为平行四边形，故O为AE中点，由中位线得到
且 ，即四边形BCHO为平行四边形，故 ，得到 平面DCE，即 平面DCE；
（2）由面面垂直得到线面垂直，建立空间直角坐标系，设 ，写出点的坐标，求出平面的法向量，
利用锐二面角的余弦值列出方程，求出 ，从而得到点到平面的距离.
【详解】（1）证明：如图，连接AE交BG于点O，取DE中点为H，连接HO，HC，GE，
在四边形ABEG中， ， ，
故四边形ABEG为平行四边形．
故O为AE中点，所以在 中，OH为中位线，
则 且 ，又 且 ，
故 且 ，即四边形BCHO为平行四边形，
所以 ，又∵ 平面DCE， 平面DCE，
∴ 平面DCE，即 平面DCE．
56 / 66
学科网（北京）股份有限公司（2）因为平面 平面ABEF，平面 平面 ， ， 平面ABCD，所以
平面ABEF，
如图，以点A为坐标原点，分别以 ， ， 为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
设 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，
则 ，取 ，
∵ ， ，
设平面BDF的法向量为 ，∴ ，取 ．
由平面BDF与平面DCE所成锐二面角 的余弦值为 ，
可得 ，
解得 或 （舍去）
故 ，点F到平面DCE的距离 ，
57 / 66
学科网（北京）股份有限公司故点F到平面DCE的距离为 ．
16．(1)证明见解析
(2) ，
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明求解即可.
（2）利用平面夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求出 ，利用直线夹角的向量求法
求出 ，再求解点到直线的距离即可.
【详解】（1）以 为原点，如图所示建立空间直角坐标系，
， ，
设 ，
，
，
，
，即 ，
（2）
，由二次函数性质得，
当 时， 取得最大值，
58 / 66
学科网（北京）股份有限公司此时 为 的中点，
设平面 的法向量为 ，
，
，
设平面 的法向量为 ，
， ，
令 ， ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
， ，
，
设直线 和 所成角为 ，
，
点 到直线 的距离 .
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，由 ，即可得证；
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学科网（北京）股份有限公司（2）首先说明 ，即点 到直线 的距离即为两条平行线 和 之间的距离，再由空间向量
法求出点 到直线 的距离，即可得解；
（3）求出平面 的法向量，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）在正方体 中，如图建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0)， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，故 ；
（2）因为 ， ，所以 ，
所以 ，由题意知 ， ， ， 不共线，故 ，
故知点 到直线 的距离即为两条平行线 和 之间的距离，
又 ，
则 ， ， ，
设点 到直线 的距离为 ，则 ，
60 / 66
学科网（北京）股份有限公司即直线 和 之间的距离为 ；
（3）因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．(1) ；
(2)存在，
【分析】（1）记 的中点分别为 ，作 于点 ，先证平面 平面 ，然后计
算可得；
（2）以 的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐
标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）记 的中点分别为 ，
由 是正方形可知 ，
又 ，所以 ，
因为二面角 的大小是 ，所以 ，
由三棱柱性质可知， ，所以四边形 为平行四边形，
61 / 66
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
作 于点 ，
因为，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 即为所求，
所以 .
（2）以 的方向分别为x，y轴的正方向，过点F作垂直于平面 的直线为z轴，建立空间直角坐
标系，
易知， ，
则 ，
则 ，
设 ，
则 ，
62 / 66
学科网（北京）股份有限公司设 为平面 的法向量，
则 ，取 ，得 ，
记直线 与平面 所成角为 ，
则
，
当 ，即 时， 取得最小值4，
故 ，
所以，当 时，直线 与平面 所成角为 .
此时 ，
所以 .
19．(1)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司(2) ；
【分析】（1）先通过面面平行的性质证明 ，再通过证四边形 是平行四边形，证 ，
通过平行的传递性证 ，最后利用三角形中位线点 为线段 的中点得证；
（2）通过已知条件先证 、 、 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角，
求点到平面距离即可.
【详解】（1）
连接 ，因为 交平面 于点 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以平面 平面 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，所以 ，因为点 是 的中点，所以点 是线段 的中点.
（2）
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学科网（北京）股份有限公司选择条件①②：
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为四边形 是正方形，所以 ；
（i）：如图建立以 为坐标原点，
、 、 分别为 、 、 轴的空间直角坐标系，
则 ， ，A(2,0,0)， ， ， ，
， ，设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
，即 ，令 ，则 ，于是 ，
因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，
所以 ，由题知，二面角 为钝角，
所以二面角 的余弦值为 .
（ii）：因为A(2,0,0)， ，所以 ，所以点 到平面 的距离 .
选择条件①③：
因为 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，所以 ，
（i）：如图建立以 为坐标原点，
、 、 分别为 、 、 轴的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，A(2,0,0)， ， ， ，
， ，设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
，即 ，令 ，则 ， ，于是 ，
因为 平面 ，所以平面 的法向量为 ，
所以 ，由题知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .
（ii）：因为A(2,0,0)， ，所以 ，所以点 到平面 的距离 .
选择条件②③不合题意，此时几何体不能唯一确定.
66 / 66
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