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第 8 讲 球与几何体的切接问题
真题展示
2022 新高考一卷第 8 题
已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
知识要点整理
球与各种几何体切、接问题
近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。
首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，
这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是
这个多面体的内切球.
一、球与柱体的切接
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，
通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、 球与正方体
（1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为r，这时有 2r a .（2）正方体的棱切球，如图2. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为r，这时有 2r 2a .
2
（3）正方体的外接球，如图3. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；
数据关系：设正方体的棱长为 a ，球的半径为r，这时有 2r 3a .
图3
ABCDABC D O E，F AA DD
例 1 棱长为1的正方体 1 1 1 1的8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 1， 1的中点，则直线EF 被球 O 截得的线段长为（ ）
2
A． 2 B．1 C．
2
1
2 D． 2
2、球与长方体
例2 自半径为R的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦 MA,MB,MC ，求 MA2 MB2 MC2 的值．
例 3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为
（ ）.
16 20 24 32
A. B. C. D.
3、球与正棱柱
（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．
二、 球与锥体的切接
规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态
进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1、正四面体与球的切接问题
（1） 正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球
心重合；
6
4R h a
数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为 h ；球的半径为R，这时有 3 ；
例4 正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．例5 求棱长为1的正四面体外接球的半径。
结论：正四面体的高线与底面的交点是△ABC的中心且其高线通过球心，这是构造直角三
角形解题的依据．此题关键是确定外接球的球心的位置，突破这一点此问题便迎刃而解，正
四面体外接球的半径是正四面体高的，内切球的半径是正四面体高的.
（3） 正四面体的棱切球，位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合；
6
4R 3h 2a,h a.
数据关系：设正四面体的棱长为 a ，高为h；球的半径为R，这时有 3
例6例7设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之
比．
（4）为什么正四面体外接球和内切球心是同一个点？2.其它棱锥与球的切接问题
（1）球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，
根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球
与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R．这样求球的半径可转化为球球心到三
棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.
（2）球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求
解.
结论1：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．
结论2：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．
长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体
或长方体的途径与方法．
途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方
体．
途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．
途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．
2 6
例8 正三棱锥的高为1，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
3
例9（福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 .
思路分析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作
为填空题，我们更想使用较为便捷的方法.三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上
构造长方体，由侧棱长均相等，所以可构造正方体模型.
点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中计算问题，这是解决几何体
与球切接问题常用的方法．SABC O ABC
例10【2012年新课标高考卷】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为1的
SC O SC 2
正三角形， 是球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）
2 3 2 2
A.
6
B.
6
C.
3
D.
2
ABC O ABC
思路分析： 的外接圆是球面的一个小圆，由已知可得其半径，从而得到点 到面 的距离.由
SC
练习：3、由性质确定球心
利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
4、内切球问题
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多
面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
三、 球与球相切问题
对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的
位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.
例11 已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则
此球的半径为 .
思路分析：结合图形，分析四个球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=4.设AB中点
为E、CD中点为F，连结EF.在△ABF中可得BF 21 ，在△EBF中可得EF 2 3 .
由于对称性可得第五个球的球心O在EF上，连结OA、OD.设第五个球的半径为r，根据OE+OF=EF建立r的
方程.例12把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与
前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
思路分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体
四、球与几何体的各条棱相切问题
球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通
2
r a
过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： 4 .
例13 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与
8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（ ）
3
A．l0 cm B．10 cm
2
C．10 cm D．30cm五、 球与旋转体切接问题
首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．
例14 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
例15 在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的
半径为多少时，两球体积之和最小．
综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通
过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的
几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点
的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的
几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相
结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不
断充实题目的类型，升华解题的境界.
三年真题
1．已知正四面体 的表面积为 ，其四个面的中心分别为 ，设四面体 的表面积为 ，
则 等于（ ）A． B． C． D．
2．已知正四棱柱ABCD- A B C D 中 ，AB=2，CC = E为CC 的中点，则直线AC 与平面BED的距离为
1 1 1 1 1 1 1
A．2 B． C． D．1
3．如图，在长方体ABCD-A B C D 中，AB=BC=2，AA =1，则AC 与平面A B C D 所成角的正弦值为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A． B． C． D．
4．如图，在正方体ABCD−A B C D 中，E、F分别为BC、BB 的中点，则下列直线中与直线EF相交的是
1 1 1 1 1
（ ）.A．直线AA B．直线A B
1 1 1
C．直线A D D．直线B C
1 1 1 1
5．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 ，
则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
6．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
7．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨
道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能
直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为
（单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
8．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为
这个时段的降雨量（单位： ）．24h降雨量的等级划分如下：
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
9．在正方体 中，P为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．10．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为 和 ，体积分别为
和 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积
最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．三年模拟
1．已知正四面体 的棱长为6，设集合 ，点 平面 ，则 表示的区域的面
积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线l与平面 相交，则下列命题中，正确的个数为（ ）
①平面 内的所有直线均与直线l异面；
②平面 内存在与直线l垂直的直线；
③平面 内不存在直线与直线l平行；
④平面 内所有直线均与直线l相交.
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，长方体 中， ， ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则
三棱锥 的外接球表面积为（ ）A． B． C． D．
4．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2
的正方形，且 均为正三角形， ，则该木楔子的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．在三棱柱 中， 底面 ， ，点 是棱 上的点， ，若截面 分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A． B． C． D．
6．已知边长为 的菱形 中， ，沿对角线 把 折起，使二面角 为直二
面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．在棱长为 的正方体 中， 为 的中点，点 在正方体各棱及表面上运动且满足
，则点 轨迹所围成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知在四棱锥 中， 底面 于点 ，且 ， 和 均是边长为2的等
边三角形，则底面 的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．9．在正四棱锥 中， ，则该四棱锥内切球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足 ，若三棱锥 体积的最大值为6，则
球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
11．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且该圆锥内切球的表面积为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．12．四面体ABCD的顶点都在半径为2的球面上，正三角形ABC的面积为 ，则四面体ABCD的体积最
大为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在正四棱柱 中， ， ， 分别为 和 的中点，过 ， ，
三点的平面截正四棱柱得一多边形，则该多边形在平面 上的投影图形的面积为（ ）
A． B．2 C． D．3
14．在正方体 中,动点 在棱 上,动点 在线段 上, 为底面 的中心,若
, ,则四面体 的体积（ ）A．与 , 都有关 B．与 , 都无关
C．与 有关,与 无关 D．与 有关,与 无关
15．如图，在正方体 中，点E，F分别是棱 ， 的中点，点G是棱 的中点，则
过线段AG且平行于平面 的截而图形为（ ）
A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形
