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专题 06 一网打尽外接球与内切球问题
【命题规律】
纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一．高考命题小
题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从近几年全
国高考命题来看，这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见，此部分是重点也是一个难点，属于中
等难度．
【核心考点目录】
核心考点一：正方体、长方体外接球
核心考点二：正四面体外接球
核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
核心考点四：直棱柱外接球
核心考点五：直棱锥外接球
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
核心考点八：共斜边拼接模型
核心考点九：垂面模型
核心考点十：二面角模型
核心考点十一：坐标法
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
核心考点十三：锥体内切球
核心考点十四：棱切球
【真题回归】
1．（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的
球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，当且仅当 即 时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则
，所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则
，所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设
，则 ，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
2．（2021·全国·高考真题（理））已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， 为等腰直角三角形， ，则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .
故选：A.
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球
心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或
，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
4．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
5．（2020·全国·高考真题（理））已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙
的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，
得 ， 为等边三角形，
由正弦定理可得 ，
，根据球的截面性质 平面 ，
，
球 的表面积 .
故选：A
6．（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若
球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】设球 的半径为 ，则 ，解得： .
设 外接圆半径为 ，边长为 ，
是面积为 的等边三角形，
，解得： ， ，
球心 到平面 的距离 .
故选：C.
【方法技巧与总结】
1、补成长方体
（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．
（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．
（3）正四面体 可以补形为正方体且正方体的棱长 ，如图3所示．
（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示
图1 图2 图3 图4
【核心考点】
核心考点一：正方体、长方体外接球
【规律方法】
1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．
【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的体对角线等于
（ ）
A． B．4 C． D． .
【答案】B
【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，所以正方体的体对角线等于 ；
故选：B
例2．（2022·陕西西安·模拟预测（文））长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】长方体外接球直径 ，所以该长方体外接球的表面积
故选：C.
例3．（2022·贵州黔南·高三开学考试（理））自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近
生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市
公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一
样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为 ，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为
________ ．
【答案】
【解析】设正方体的中心为 ， 为棱的中点，连接 ，
则 为矩形 的对角线的交点，
则 ，
同理， 到其余各棱的中点的距离也为 ，
故石凳所对应几何体的外接球的半径为20，其表面积为 ，
故答案为：
核心考点二：正四面体外接球
【规律方法】
如图，设正四面体 的的棱长为 ，将其放入正方体中，则正方体的棱长为 ，显然正四面体
和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为 ，即正四面体外接球半径为 ．
【典型例题】
例4．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知正四面体 外接球 表面积为 ，则该正四面
体棱长为______；若 为平面 内一动点，且 ，则 最小值为______．
【答案】 6
【解析】设该正四面体棱长为 ，过点 作 面 ，
则点 为 的重心，
则 ， ，
又正四面体 外接球 表面积为 ，
则 ，
则 ，
即 ，
又 ，
则 ，
解得： ；
又 为平面 内一动点，且 ，
则 ，
即点 的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆，
又 ，
则由点与圆的位置关系可得 最小值为： ，
故答案为： ； ．
例5．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，
1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.
【答案】
【解析】设外接球半径为 ，外接球球心到底面的距离为 ，则 ，所以 ，
两球相交形成形成的图形为圆，
如图，在 中， ， ，
在 中， ，
所以交线所在圆的半径为 ，
所以交线长度为 .
故答案为：
例6．（2022·福建·福州三中模拟预测）表面积为 的正四面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正四面体的棱长为 ，则根据题意可得： ，解得 ；
该正四面体的外接球与棱长为 的正方体的外接球的半径相等，
又正方体的外接球半径为 ，故该正四面体外接球的表面积 .
故选：B.核心考点三：对棱相等的三棱锥外接球
【规律方法】
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可
以通过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得
而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
【典型例题】
例7．（2022·全国·高三专题练习）在四面体 中， ， ， ，
则其外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示，将该四面体补成长方体，设该长方体的长､宽､高分别为 ， ， ，
则 解得
所以 ，即 ，
从而其外接球的半径为 ，其外接球的表面积为 .
故答案为： ．例8．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体 中， ， ，
，若该四面体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，四面体扩充为长方体，且面上的对角线分别为 ， ， ，
设长方体的长、宽、高分为
所以
长方体的对角线长为 ，
球的半径为 ，
此球的表面积为 ．
故选：C．
例9．（2020·全国·模拟预测（文））在三棱锥 中，若 ， ， ，
其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】三棱锥 中，∵ ， ， ，
显然这六条棱长恰为长方体的六个面的面对角线的长，设此长方体的长、宽、高依次为
、 、 ，其对角线的长恰为外接球的直径，如图所示．
则有 ，则 ，易知长方体的体对角线长为 ．则
．
故选:D核心考点四：直棱柱外接球
【规律方法】
如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角
形）
C1 C1 C1
A1 O2
B1
F A1
O2 B1
A1
O2
F
B1
O
O O
C C C
A O1 E A O1 B A O1 E
B B
图1 图2 图3
第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ；
第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理： ，解出
【典型例题】
例10．（2022·河南新乡·一模（理））已知正三棱柱的侧棱长为 ，底面边长为 ，若该正三棱柱的外接球
体积为 ，当 最大时，该正三棱柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为正三棱柱外接球的体积为 ，所以 ，
设球心为 ，底面外接圆圆心为 ，由正三棱锥可得 ，底面外接圆半径 ，
所以由勾股定理得 ，
设 ，当直线 与曲线 相切时， 最大，
联立方程组 得 ，
由 ，得 或 （舍去），此时 ， ，所以正三棱柱的体积 ，
故选：B
例11．（2022·湖南岳阳·高三阶段练习）已知直三棱柱 中， ，当该
三棱柱体积最大时，其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为三棱柱 为直三棱柱，
所以， 平面
所以，要使三棱柱的体积最大，则 面积最大，
因为 ，
令
因为 ，所以 ，
在 中， ，
所以， ，
所以， ，
所以，当 ，即 时， 取得最大值 ，
所以，当 时， 取得最大值 ，此时 为等腰三角形， ，
所以， ，
所以 ，所以，由正弦定理得 外接圆的半径 满足 ，即 ，
所以，直三棱柱 外接球的半径 ，即 ，
所以，直三棱柱 外接球的体积为 .
故选：C
例12．（2021·四川泸州·二模（文））直六棱柱的底面是正六边形，其体积是 ，则该六棱柱的外接球
的表面积的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正六边形的边长为 ，则底面面积为 ，
设 ，则正六棱柱的体积为 ，
解得 ，即 ，
又由该六棱柱的外接球的直径为 ，
所以该六棱柱的外接球的表面积为： ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，
所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值为 .
故选：C.核心考点五：直棱锥外接球
【规律方法】
如图， 平面 ，求外接球半径．
P
O
C
A O1 D
B
解题步骤：
第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径 ，连接 ，则 必
过球心 ；
第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半径 (三角形的外接圆直
径算法：利用正弦定理，得 )， ；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；
② ．
【典型例题】
例13．（2022·内蒙古鄂尔多斯·高三期中（文））三棱锥 中， 平面 ， 为直角三角
形， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于三棱锥 中， 平面ABC， ， ，
故将该三棱锥置于一个长方体中，如下图所示：则体对角线 即为外接球的直径，
所以 ，
故三棱锥 的外接球表面积为 ．
故选：D
例14．（2022·福建·宁德市民族中学高三期中）已知三棱锥P-ABC中， 底面ABC，PA＝AB＝AC＝
2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将三棱锥还原成直三棱柱，则三棱柱的外接球即为球 ， 为上下底面的外心，
为 的中点， 为底面外接圆的半径，
由余弦定理得
由正弦定理得 ，由 ，得 ，
所以球 的表面积为 ．
故选：C
例15．（2021·四川成都·高三开学考试（文））已知在三棱锥 中，侧棱 平面 ， ，
， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 平面ABC， 平面ABC，故 ，
而 ， ， ，则 ，所以 ,
又 ， 平面PAB,故 平面PAB, 平面PAB,
所以 ,
所以 都是以PC为斜边的直角三角形，
故取PC中点O，连接OA,OB,则 ,
即O为三棱锥 外接球的球心，
,故三棱锥 外接球的半径为 ，
故三棱锥 外接球的表面积为 ，
故选：A
核心考点六：正棱锥与侧棱相等模型
【规律方法】
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
【典型例题】
例16．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））在正三棱锥S－ABC中， ，△ABC
的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】 ，正三棱锥中 ，所以 ，
侧面是正三角形，则正三棱锥 为正四面体．
将正四面体补成正方体（正四面体的四个顶点S，A，B，C均为正方体的顶点），
则正四面体的外接球即为正方体的外接球，可得补成的正方体棱长为 ，
则其外接球的半径 ，所以该正三棱锥外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
例17．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 ，其外接球球 的半径为 ，则该正三棱锥
的体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】如图，设正三棱锥 的高 ，则由射影定理可得 ， ，，
，
当 ，即 时，
.
例18．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥 的棱长为 ，底面边长为6．则该正三棱锥
外接球的表面积为_______．
【答案】
【解析】如图，∵正三棱锥 中，顶点 在底面的射影为 ，该正三棱锥外接球的球心设为 ，因为底面边长为6，所以 ，
∴高 ．
由球心O到四个顶点的距离相等，
在直角三角形 中， ， ，
由 ，得 ， ，
∴外接球的表面积为： ．
故答案为： ．
例19．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 体积为 ，且 ，
则三棱锥外接球的表面积为____________．
【答案】
【解析】三棱锥 中，取BC中点D，连PD，连AD并延长至O，使DO =AD，连接BO，CO，
1 1 1 1
PO，如图：
1
于是得四边形 为平行四边形，而 ， 是菱形，
在 中， ，由余弦定理有 ，即 ，
则 ， 是正三角形， ，于是得O 是 外接圆圆心，
1
因 ，D为BC中点，则PD⊥BC，又AO⊥BC， ， 平面 ，从而
1
有 平面 ， ，
同理 ，而 ，从而得 平面 ，由球的截面小圆性质知，三棱锥 外接
球球心O在直线 上，又 ，则 ，解得 ，
设球O的半径为R，则 ， ， 中， ，即
，解得 ，
则球O的表面积为 ，
所以三棱锥外接球的表面积为 .
故答案为：
例20．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ，则三
棱锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
在 中， ， ，
所以 ，所以 ，
在 中， ， ，
所以 ，所以 .
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
在 中， ，所以 的外接圆半径为 ，
不妨设 的外接圆圆心为 ，三棱锥 的外接球球心为
连接 ，由于 ，故 在线段 的垂直平分线上，
即
故三棱锥 的外接球半径 ，
外接球的表面积为 .
故答案为：
核心考点七：侧棱为外接球直径模型
【规律方法】
找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．
【典型例题】
例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱锥 的外接球的表面积为 是该球的直径，
，则三棱锥 的体积为_____.
【答案】
【解析】
如图，设球的半径为 ，由已知得 ，解得 ，则 ，
又由 ，所以，取 中点 ， 为 所在外接圆的圆心，
故 平面 ，又因为 ，所以， 平面 ，得到 ，
在 中，由 ， ，得到 ，
所以， ，所以，
故答案为：
例22．（2022·河南·一模（理））三棱锥 的外接球的表面积为 ，AD是该球的直径， 是
边长为 的正三角形，则三棱锥 的体积为______．
【答案】
【解析】设三棱锥 的外接球的球心为O,半径为R，则 ，解得 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，则 ，
连接 ，
∵ ，即 ，
则点D到平面ABC的距离为2，
∴三棱锥 的体积 .
故答案为： .
例23．（2021·全国·高三专题练习（文））已知三棱锥P﹣ABC中， ，AC=2，PA为其外接
球的一条直径，若该三棱锥的体积为 ，则外接球的表面积为___________．
【答案】
【解析】由题意可得 为等腰直角三角形， ，同时 为其外接球的一条直径，则 都是
直角，设球心为 ，取 的中点为 ，则 平面 ，因为 ，则 平面 ，则
，故 ，由勾股定理得 ，则外接球的半径为2，表面积为
故答案为：
核心考点八：共斜边拼接模型
【规律方法】
如图，在四面体 中， ， ，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形
拼接而形成的， 为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点 为公共斜边 的中点，根
据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知， ，即点 到 ， ， ， 四点
的距离相等，故点 就是四面体 外接球的球心，公共的斜边 就是外接球的一条直径．
【典型例题】
例24．在矩形 中， ，沿 将矩形 折成一个直二面角 ，则四面
体 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设矩形对角线的交点为 ，则由矩形对角线互相平分，可知 ．
∴点 到四面体的四个顶点 的距离相等，即点 为四面体的外接球的球心，如图2所示．D
A O C
B
图 2
∴外接球的半径 ．故 ．选C．
例 25．三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球的半径为
【答案】1
【解析】 是公共的斜边， 的中点是球心 ，球半径为 ．
例 26．在平行四边形 中，满足 ， ，若将其沿 折成直二面角
，则三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】平行四边形 中，
，
，
，
沿 折成直二面角 ，
平面 平面
三棱锥 的外接球的直径为 ，
外接球的半径为1，
故表面积是 ．
故选： ．核心考点九：垂面模型
【规律方法】
如图1所示为四面体 ，已知平面 平面 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
图1 图2
【典型例题】
例27．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
，则三棱锥 的外接球的半径为______
【答案】1
【解析】因为 ， ，故 是公共的斜边， 的中点是球心 ，球半径为 ．
故答案为：1
例28．（2022·安徽马鞍山·一模（文））三棱锥 中， 与 均为边长为 的等边三角
形，平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
【答案】【解析】等边三角形 、等边三角形 的高为 ，
等边三角形 、等边三角形 的外接圆半径为 ，
设 分别是等边三角形 、等边三角形 的中心，
设 是三棱锥 的外接球的球心， 是外接球的半径，
则 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
例29．（2022·全国·高三专题练习）三棱锥 中， 是边长为 的等边三角形， ，
平面 平面 ，则该三棱锥的外接球的体积为______
【答案】
【解析】等边三角形 的高为 ，
等边三角形 的外接圆半径为
三角形 的外接圆半径为 ，
设 分别是等边三角形 、等边三角形 的中心，
设 是三棱锥 的外接球的球心， 是外接球的半径，
则 ，
所以外接球的体积为 .故答案为：
例30．（2021·全国·高三专题练习）已知在三棱锥 中， ，
平面 平面 ，则三棱锥 外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】如图 分别为 的外心.
由 ，即 为 中点，取 的中点 则 ，又面 面 ，面 面
， 面 ，即 面
设球心为 ，则 平面
∴ ，又 ， 面 ，面 面 ，面 面 ，∴ 平面 ，又 平面 .
∴ ，即四边形 为矩形.
由正弦定理知： ，即 ，
∴若外接球半径为R，则 ，
∴ .
故答案为： .
核心考点十：二面角模型
【规律方法】
如图1所示为四面体 ，已知二面角 大小为 ，其外接球问题的步骤如下：
（1）找出 和 的外接圆圆心，分别记为 和 ．
（2）分别过 和 作平面 和平面 的垂线，其交点为球心，记为 ．
（3）过 作 的垂线，垂足记为 ，连接 ，则 ．
（4）在四棱锥 中， 垂直于平面 ，如图2所示，底面四边形 的四个顶
点共圆且 为该圆的直径．
【典型例题】
例31．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在三棱锥 中， 是边长为 的正三角形，
，二面角 的余弦值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为______.
【答案】【解析】如图1，取AC中点E，连接BE，DE， 与 为等边三角形，
则 , 平面 ,故 平面 ,
故二面角 的平面角为 ，又 平面 ,
所以平面 平面 ，平面 平面 ，
过 作 于 ， 平面 ,所以 平面 ，
由题意得 ， ，∴ ，
则 ，
设 外接圆圆心为 ，则 在 上，半径为 ，过 作平面 的垂线 ，
则三棱锥 外接球的球心一定在直线 上.
∵ ，∴ ，
过D作 的平行线交 于点F，则 ，
∵D，B在球面上，外接球球心可能在三棱锥内也可能在三棱锥外，
取截面如图 ，设外接球球心O，半径R，
令 ，则 ， ，
∴ ,当 时，化简得 ，舍去，
当 时，化简得 ，
得 ，∴ ,
故答案为： .
例32．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））已知菱形 的边长为2，且 ，沿 把
折起，得到三棱锥 ，且二面角 的平面角为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】取 的中点 ，连接 ， ，因为 为菱形，所以 ， ，
故 为二面角 的平面角，则 ，
由题意可知 ， 为正三角形，则外接球球心位于过 ， 的中心且和它们所在面垂
直的直线上，
故分别取 ， 的重心为 ， ，过点 ， 分别作两个平面的垂线，交于点 ，点 即为
三棱锥的外接球的球心，
由题意可知 ，球心到面 和面 的距离相等，即 ，
连接 ， ，则 ，菱形 的边长为 ，
∴ ， ，
∴ ，
即三棱锥 的外接球的半径 ，
所以其外接球的表面积为 .
故答案为：
例33．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）在三棱锥 中，△ 是边长为3的
正三角形，且 ， ，二面角 的大小为 ，则此三棱锥外接球的体积为________．
【答案】
【解析】根据题意， ，所以 ，取 中点为E， 中点 ，
则 ， ， ， 是正三角形， ，
是二面角A﹣BD﹣C的平面角， ，
， 是 的外心，
设 是 的外心，
设过 与平面 垂直的直线与过 垂直于平面 的直线交于点 ，
则 是三棱锥 外接球球心，
， ，又 ，
由于平面MNO与MEO同时垂直于BD，所以 共面，
在四边形 中，
由 ， ， ， ，
可得： ，
外接球半径为 ，
体积为 ．
故答案为：
例34．（2022·广东汕头·高三阶段练习）在边长为2的菱形 中， ，将菱形 沿对角线
对折，使二面角 的余弦值为 ，则所得三棱锥 的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】依题意在边长为 的菱形 中， ，所以 ，
如下图所示，易知 和 都是等边三角形，取 的中点 ，则 ， ．
， 平面 ，所以 平面 ，
所以 是二面角 的平面角，过点 作 交 于点 ，
由 平面 ， 平面 ，所以 ，
， 平面 ，所以 平面 ．
因为在 中， ，
所以 ，
则 ．
故三棱锥 为正四面体，由 平面 ，所以 为底面 的重心，
所以 ， ，
则 ，
设外接球的半径为 ，则 ，解得 ．
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
核心考点十一：坐标法
【规律方法】
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的
定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．
【典型例题】例35．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）直角 中 ， 是斜边 上的一动点，
沿 将 翻折到 ，使二面角 为直二面角，当线段 的长度最小时，四面体
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，图1的直角三角形沿 将 翻折到 使二面角 为直二面角，
所以，过点 作 交 延长线于 ，过点 作 交 于 ，
再作 ，使得 与 交于点 ，
所以，由二面角 为直二面角可得 ，
设 ，即 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以，在 中， ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
此时， ， ， ，
在图1中，由于 ，即 为角 的角平分线，
所以 ，即 ，
所以 ，所以， ，
由题知， 两两垂直，故以 为坐标原点，以 的方向为正方向建立空间直角坐标系，
则 ，
所以，设四面体 的外接球的球心为 ，
则 ，即 ，即 ，
解得 ， ，即 ，
所以四面体 的外接球的半径为 ，
所以四面体 的外接球的表面积为 ．
故选：D
例36．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，在长方体 中， ， ，
， 是棱 上靠近 的三等分点， 分别为 的中点， 是底面 内一动点，若直
线 与平面 垂直，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以 为坐标原点， 的正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ， ， ， ，
平面 ， ，解得： ，
与 重合，
三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球，
外接球 ， 外接球表面积 .
故选：B.
例37．（2022·山西·一模（理））如图①，在 中， ， ，D，E分别为 ，
的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图②.若F是 的中点，则四面体
的外接球体积是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：依题意 ， ， ， 平面 ，所以 平面
，又 ，如图建立空间直角坐标系，则 、 、 、 、
、 ，依题意 为直角三角形，所以 的外接圆的圆心在 的中点 ，
设外接球的球心为 ，半径为 ，则 ，即
，解得 ，所以 ，所以外接球的体积
；
故选：B
核心考点十二：圆锥圆柱圆台模型
【规律方法】
1、球内接圆锥如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程
来计算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专
题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
2、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
例38．球内接圆台
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．
【典型例题】
例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球
的表面积为 ，则此圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图为圆台及其外接球的轴截面， 为外接球球心， ， 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以 ，，
因为外接球的表面积为 ，所以外接球的半径为 ，圆台下底面半径为4，所以 ，
，则 ， ，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为
.
故选：C.
例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则该圆锥的外
接球的表面积为______．
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为 ，则侧面积为 ，解得 ，
故圆锥的高为 ，
设该圆锥的外接球的半径为 ，由球的性质知， ，解得 ，
故外接球的表面积为 ．
故答案为： .
例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆
心，AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥 外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】由于AB为下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，所以 为直角三角形， ，
如图所示，设外接球半径为 ，底面圆心为 ，外接球球心为 ，
由外接球的定义， ，易得 在线段 上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径 ，
，则 ，解得 ，
外接球表面积为 ．
故答案为：例42．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内
切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.
【答案】
【解析】有题意可知， ，所以
所以，圆锥的轴截面是边长为 的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，
所以 ，
所以该圆锥的内切球的表面积为 .
故答案为：
核心考点十三：锥体内切球
【规律方法】等体积法，即
【典型例题】
例43．（2022·全国·高三专题练习）球O是棱长为1的正方体 的内切球，球 与面
、面 、面 、球O都相切，则球 的表面积是_______________．
【答案】
【解析】设球 的半径为 ，依题可知， ，即 ，解得
，所以球 的表面积是 ．
故答案为： ．
例44．（2022·全国·高三专题练习）若正四棱锥 内接于球 ，且底面 过球心 ，则球
的半径与正四棱锥 内切球的半径之比为__________.
【答案】
【解析】设外接球半径为R，由题意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，
设四棱锥P-ABCD的内切球半径为r，设正方形 的边长为 ，
因为底面 过球心 ，所以有 ，
该正四棱锥的各侧面的高为 ，
设该正四棱锥的表面积为 ，
由等体积法可知：
，
故答案为：
例45．（2022·山东济南·二模）在高为2的直三棱柱 中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，
则底面△ABC周长的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为直三棱柱 的高为2，设内切球的半径为 ，所以 ，所以 ，
又因为AB⊥AC，所以设 ，所以 .，因为
，所以 △ABC周长的最小值即为面积的最小值，而
，当且仅当 “ ”时取等.当 时，底面△ABC周长最小，所以 ，所以
，所以此时
△ABC周长的最小值： .
故答案为： .
核心考点十四：棱切球
【规律方法】
找切点，找球心，构造直角三角形
【典型例题】
例46．（2022•涪城区校级开学）一个正方体的内切球 、外接球 、与各棱都相切的球 的半径之
比为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设正方体的棱长为1，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即：1，外接球的直径为正方
体的对角线长为： ；
正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为： ，
所以，正方体的内切球 、外接球 、与各棱都相切的球 的半径之比为： ．
故选： ．
例47．（2022•江苏模拟）正四面体 的棱长为4，若球 与正四面体的每一条棱都相切，则球
的表面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：将正四面体 ，补成正方体，则正四面体 的棱为正方体的面上对角线，
正四面体 的棱长为4，
正方体的棱长为 ，
球 与正四面体的各棱都相切，且球心在正四面体的内部，
球 是正方体的内切球，其直径为 ，
球 的表面积为 ，故选： ．
例48．（2022•昆都仑区校级一模）已知正三棱柱的高等于1，一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该
球的体积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，正三棱柱 的高等于1，
设上底面中心为 ，下底面中心为 ，连接 ，
则球 的球心 在 的中点上，设球 切棱 于 ，切棱 于 ，
则 、 分别为所在棱的中点，设底面边长为 ，则 ，
，又 ，
，
，解得 ．
则球 的半径为 ，球的体积 ．
故选： ．【新题速递】
一、单选题
1．（2022·湖北·高三阶段练习）已知某圆台的体积为 ，其上底面和下底面的面积分别为 ，
且该圆台两个底面的圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设该圆台的高为h，则 ，解得 ．
由题意得：上底面圆的半径为 ，下底面圆的半径为 ，
设球心O到下底面的距离为t，即 ，则 ，
由勾股定理得： ，
即 ，解得 ，
则球O的半径 ，故球O的表面积为 .
故选：D
2．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（文））已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足
，若三棱锥 体积的最大值为6，则球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，当点C位于垂直于平面 的直径端点时，三棱锥 的体积最大，
设球O的半径为R，此时 ，
故 ，则球O的体积为 .
故选：C．3．（2022·江苏南京·模拟预测）已知 ， ， ， 为球 的球面上的四点，记 的中点为 ，且
，四棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因 ，则平面 过球O的球心O，又 的中点为 ，则点E是以AB为直径的
球的截面小圆圆心，
连接 ，如图，则 ，四边形 为梯形，令球O的半径为 ，设 ，则 ，
四棱锥 体积最大，当且仅当梯形 面积最大，并且点D到平面 的距离最大，
显然球面上的点D到平面 的最大距离为R，梯形 面积 ，
令 ， ，求导得：
，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递增，在 是递减，
因此当 时， ， ，
于是得四棱锥 体积的最大值为 ，解得 ，
所以球 的表面积为 .
故选：C4．（2022·黑龙江·海伦市第一中学高三期中）已知四面体ABCD的所有顶点在球O的表面上， 平面
BCD， ， ， ，则球O的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如图，设底面 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为r，由正弦定理得
，
过 作底面BCD的垂线，与过AC的中点E作侧面ABC的垂线交于O，则O就是外接球的球心，
并且 ，外接球的半径 ，
球O的体积为 ；
故选：D.
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知正四棱锥的所有顶点都在体积为 的球 的球面上，若该正
四棱锥的高为 ，且 ，则该正四棱锥的体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设球 的半径为 ，因为球 的体积为 ，所以 ，解得 .
当 时，如图，设正四棱锥的底面边长为 ，
则有 ，整理得 .
同理，当 时，有 ，整理得 .
所以正四棱锥的体积 .
由 ，得 或 .因为 ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减.
所以当 时，正四棱锥的体积 取得最大值，最大值为 .
又 ， ，
所以，该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
6．（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知正三棱锥 的底面边长为6，体积为 ，A，B，C三
点均在以S为球心的球S的球面上，P是该球面上任意一点，则三棱锥 体积的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设三棱锥的高为 ，所以有 ，
在直角三角形 中， ，
，
当 共线时，三棱锥 体积的最大，显然 ，如图所示：
最大值为： ，
故选：D7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知体积为 的正三棱柱 的所有顶点都在球 的球面
上，当球 的表面积 取得最小值时，该正三棱柱的底面边长 与高 的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设正三棱柱 的上、下底面的中心分别为 和 ，则 的中点为O．
设球O的半径为R，则 ．
设 ， ，
则 ， ， ．
所以正三棱柱 的体积 ，所以 ．
在 中， ，
球O的表面积 ．
方法一
，当且仅当 ，即 时，S取得最小值．
方法二：
由 ，得 ，
所以 ．
令 ，则 ．
令 ，得 ，
当 时， 时， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
所以当 时，S取得最小值，此时 ，所以 ．
故选:D．
8．（2022·福建·浦城县第三中学高三期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，其一为阳马，
一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一.”下图解释了这段话中由一个长方体得到堑堵、阳马、鳖臑的过程.在一个
长方体截得的堑堵和鳖臑中，若堑堵的内切球（与各面均相切）半径为1，则鳖臑体积的最小值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，堑堵的内切球（与各面均相切）半径为 ，
所以直角三角形 的内切圆半径为 ， ，
设 ，则 ，
所以 ，
，
当且仅当 时等号成立，则 ，
所以鳖臑体积 .
故选：C
二、多选题
9．（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知棱长为1的正方体 ，以正方体中心 为球心的
球 与正方体的各条棱相切，点 为球面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．球 在正方体外部分的体积为
B．若点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点 在平面 下方，则直线 与平面 所成角的正弦值最大为
D．若点 ､ ､ 在球 的正方体外部（含正方体表面）运动，则 最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，正方体的棱切球 的半径 ，如下图所示，
球 在正方体外部的体积 ，
或者可根据球 在平面 上方球缺部分的体积， 为球缺的高，
所以球 在正方体外部的体积为 ， A选项错误；
对于B，取 中点 ，可知 在球面上，可得 ，所以
，点 在球 的正方体外部（含正方体表面）运
动，所以 （当 为直径时， ），所以 ，B选项正确；
对于C，
若正方体上底面字母为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值最大时，如上图所示 点位置，
此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为 ，设平面 的中心为 ,直线 与平面 所成角即为直线 与平
面 所成角，
则直线 与平面 所成角最大时，直线 正好与平面 下方球 相切，过 作平面 下
方球 的切线，切点为 ，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得 ，
， ， ， ，
所以 ，
， ，
所以直线 与平面 所成角最大时为 ，，C选项错误；
对于D， ，
记向量 与向量 的夹角为 ， ，因为
，
且 ，
所以 ，
令 ，所以上式可化为 ，当且仅当 时等
号成立，
此时 ，即 时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.
故选：BD.
10．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知正四棱台 的所有顶点都在球 的球面上，
， 为 内部（含边界）的动点，则（ ）
A． 平面 B．球 的表面积为
C． 的最小值为 D． 与平面 所成角的最大值为60°
【答案】ACD
【解析】对于A，如图1，
由棱台的结构特征易知 与 的延长线必交于一点，故 共面，
又面 面 ，而面 面 ，面 面 ，故 ，即
；
由平面几何易得 ，即 ；所以四边形 是平行四边形，故 ，
而 面 ， 面 ，故 平面 ，故A正确；
.
对于B，如图2，设 为 的中点， 为正四棱台外接球的球心，则 ，
在等腰梯形 中，易得 ，即 ，
为方便计算，不妨设 ，则由 ，
即 ，即 ，又 ，
解得 ，即 与 重合，故 ，
故球 的表面积为 ，故B错误；
.对于C，由图2易得 ， ， ， 面 ，
故 面 ，
不妨设 落在图3 处，过 作 ，则 面 ，故 ，
故在 中， （勾股边小于斜边）；同理， ，
所以 ，故动点 只有落在 上， 才有可能取得最小值；
再看图4，由 可知，
故 ，故C正确，
.
对于D，由选项C可知， 面 ， 面 ，故面 面 ，
在面 内过 作 交 于 ，如图5，
则 面 ，面 面 ，故 面 ，故 为 与平面 所成角，在 中， ，故当 取得最小值时， 取得最大值，即 取得最大值，
显然，动点 与 重合时， 取得最小值，即 取得最大值，且 ，
在 中， ， ， ，故 为正三角形，即
，即 与平面 所成角的最大值为 ，故D正确.
故选：ACD.
11．（2022·广东·铁一中学高三阶段练习）如图， 已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的
为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面
均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（ ）
A．圆锥的表面积是 B．球 的体积是
C．四棱锥 体积的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BCD【解析】依题意，动点Q的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为 ，连接 ，如图，
正 内切圆即为球O的截面大圆，球心O、截面圆圆心 都在线段 上，连 ，
，则球O的半径 ，显然 ， ，
， ，
对于A，圆锥的表面积是 ，A错误；
对于B，球O的体积是 ，B正确；
对于C，因Q到平面AEBF的距离与截面圆圆心 到平面的距离相等，均为 ，
则当四边形AEBF的面积最大时，四棱锥 的体积最大，
，当且仅当 ，即 时取“=”，
则四棱锥 体积的最大值为 ，C正确；
对于D，因 ，则有 ，即 ，因此 ，
由均值不等式得： ，即 ，当且仅当 时取“=”，D正
确.
故选：BCD
12．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个
内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等 “圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱
容球， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，则球表面积
为 ，圆柱的表面积 ，
所以球与圆柱的表面积之比为 ，故A错误；
过 作 于 ，则由题可得 ，
设 到平面DEF的距离为 ，平面DEF截得球的截面圆的半径为 ，
则 ， ，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为 ，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于 ，点 到平面 的距离 ，
又 ，所以 ，故C正确；
由题可知点 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设 在底面的射影为 ，则 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
13．（2022·全国·模拟预测）如图，在五面体 中，底面 为矩形， 和 均为等边
三角形， 平面 ， ， ，且二面角 和 的大小均为 ．
设五面体 的各个顶点均位于球 的表面上，则（ ）
A．有且仅有一个 ，使得五面体 为三棱柱
B．有且仅有两个 ，使得平面 平面
C．当 时，五面体 的体积取得最大值
D．当 时，球 的半径取得最小值
【答案】ABC
【解析】对于选项A:
∵ 平面 ,经过 的平面 与平面 交于直线 ,∴ ,
取 的中点分别为 ,连接 ,则
连接 ,∵ 和 均为等边三角形，∴ ,
又∵底面 为矩形，∴ 垂直 ,
故得二面角 的平面角为 ,二面角 的平面角为 ,
因为 ， 分别在平面 和平面 中，平面 与平面 和 分别交于直线
，所以当且仅当 时，平面 平面 ,
故当且仅当 ，即 时，平面 平面 ,
即五面体 为三棱柱，故A正确；
对于选项B:
当平面 和平面 不平行时，它们的交线为 ,
由于 , 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ,
又∵ 平面 ,平面 平面 =直线 ，∴ ，
∴ 同理 ，∴当且仅当 时，平面 平面 ，
由于四边形 为等腰梯形，∴当且仅当 或 时， ,
∴当且仅当 或 时，平面 平面 ，
故B正确；
对于选项C:
设 的补角为 ，过A作直线AR与直线PQ垂直相交，垂足为R，连接DR,∵AD⊥EF,EF//
PQ,∴AD⊥PQ,又∵AD∩AR=A,AD,AR 平面ADF,
∴平面ADR⊥直线PQ，
⊂
同理做出S,得到平面SBC⊥直线PQ，
为直三棱柱 的底面，且RS=EF为直三棱柱的高，
、 为三棱锥 和 的底面上的高
因为 ，
所以五面体 的体积为 （如上图）或 （如下
图）
两种情况下都有 ，
令 则 ，所以 ，
对 求导得 ，
令 得 （舍去）或 ，
, ,
故 时体积取得极大值也是最大值.
所以 ，所以 .
五面体 的体积取得最大值.故C正确；
对于D项：
取等边 的中心 ， 的中点 ，过 作平面QBC的垂线与过 的平面ABCD的垂线的交点 即
为五面体PQABCD的外接球的球心，如图所示，连接 , ,则 ,∵四边形
为边长一定的矩形，∴ 为定值，∴当且仅当 最小，即 重合时外接球的半径最小，此时 为锐角，
故D不对.
故选：ABC.
14．（2022·全国·模拟预测）已知正三棱锥 的底面 的面积为 ，体积为 ，球 ， 分别
是三棱锥 的外接球与内切球，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．二面角 的大小为
C．若点 在棱 上，则 的最小值为
D．在三棱锥 中放入一个球 ，使其与平面 、平面 、平面 以及球 均相切，则球
的半径为
【答案】ACD
【解析】依题意， ，解得 ，设三棱锥 的高为 ，则三棱锥 的体积
，解得 ．设点 在底面 内的投影为 ， 为球 的半径，连接 ，则
，即 ，解得 ，则球 的表面积 ，故A正确
（对应下方右图）．
取棱 的中点 ，连接 ，由正三棱锥的性质，易知 ，于是 即为二面角
的平面角， ，且 ，则 ，故B错误．
将侧面 平面展开，使得 四点共面，显然 的连线就是 有最小值．
，故在 中， ，则，故 ，故C正确（对应下方
左图）．
三棱锥S－ABC的表面积为 ，根据内切球半径 和棱锥体积 ，棱
锥表面积为 ，易知 ，设 为球 的半径， 为球 的半径，则 ，解得 ，
原三棱锥的高 ，作一平面平行于底面 ，去截原三棱锥，得到一个 的棱台，那么剩余部
分棱锥的高是原棱锥的 ，根据相似关系，剩余棱锥的底面积为 ，，表面积为 ，体积为
，于是 ，解得 ，故D正确．
故选：ACD．三、填空题
15．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知四面体 的各顶点都在球O的表面上， ，
E，F分别为 的中点，O为 的中点．若 ，直线 与 所成的角为 ， ，
则球O的表面积为____________．
【答案】
【解析】依题意，作出球O的内接正四棱柱 ．因为 ，所以
或 ，
又 ，则 ．因为 ，则 ，
在 中， ，则 ，
则球O的表面积 ．
故答案为：
16．（2022·四川·石室中学高三期中（文））已知 的所有顶点都在球 的表面上，
，球 的体积为 ，若动点 在球 的表面上，则点 到平面 的距离的
最大值为__________.
【答案】【解析】因为 ，
所以 ，即 .
设 的外接圆的圆心为 的外接圆的半径为 ，球 的半径为 ，则
，
因为 平面 ，
所以 ，则 .
延长 与球 交于点 ，当点 与点 重合时，
点 到平面 的距离取得最大值 .
故答案为：
17．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））在三棱锥 中，已知
是线段 上的点， ．若三棱锥
的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为___________．
【答案】
【解析】如图所示，在 中，因为 ， ，可得
．
又因为 ，所以 ．由 ， ，
可得 ，可得 ，所以 ．
又由 ， 且PB， 平面PAB，所以 平面PAB．又由 平面PAB，所以
．
由 ，即 ，且 ，AD， 平面ABC，可得 平面ABC．
设 外接圆 的半径为r，则 ，可得 ，即 ．
设三棱锥 的外接球的半径为R，可得 ，即 ，球O的
半径为 ，
故表面积为 ．
故答案为：
18．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（文））在三棱锥 中，已知
是线段 上的点， .若三棱锥 的
各顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为______.
【答案】
【解析】如图，因为 ，且 平面 ，
所以 平面 .又 平面 ，所以 .
因为 ，即 ，且 ，
平面 ，所以 平面 .
在 中，因为 ，可得
.设 外接圆的半径为 ，则 ，可得 ，即 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，
可得 ，
即 ，球 的半径为 ，故表面积 .
故答案为：
19．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））已知点 ， ， 均在球 的球面上运动，且满足
，若三棱锥 体积的最大值为6，则球 的体积为___________.
【答案】
【解析】如图所示，当点 位于垂直于面 的直径端点时，三棱雉 的体积最大，
设球 的半径为 ，此时 ，
故 ，则球 的体积为 .
故答案为：
20．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司高三期中（理））如图，在三棱锥
中，已知 ， ， ， ，平面 平面 ，三棱锥的体积为 ，若点 ， ， ， 都在球 的球面上，则球 的表面积为____________．
【答案】
【解析】因为在三棱锥 中， ， ， ， ，
所以 和 均为直角三角形，且斜边均为 ，
所以 为球 的直径， 的中点为球心 ，
设 ，则 ， ， ， ，且 的边 高为 ，
因为平面 平面 ，
根据面面垂直的性质定理可知 的边 上的高 即为三棱锥的高，
因为三棱锥 的体积为
，
所以球半径 ，
所以球 的表面积为 ．
故答案为： ．
