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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展 24 立体几何中球与几何体的切接问题（精讲+精
练）
一、知识点梳理
一、外接球
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体
的外接球．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还
要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起
到至关重要的作用．
二、内切球
球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的
是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到
各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥
的高，用体积法来求球的半径．
【常用结论】
①外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造
长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外
接球的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
D C D C D C D C
1 1 1 1 1 1 1 1
A B A B A B A B
1 1 1 1 1 1 1 1
D C D C D C D C
A B A B A B A B
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 例外型
②外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型，一般用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径
等于长方体的体对角线长，即 (长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝
(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．D C
1 1
A B
1 1
C
D
A B
③外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面
体的两个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用
算术方法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型
如下图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O 与△ABC 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的
1 1 1 1 2 1
半径AO＝r，OO ＝ ， ．
1 1
A C
1 1
O
2
B
1
h
O
R
h
2
A C
r
O
1
B
④外接球模型四：垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知
球心O的位置是△CBD的外心O 与△ABD 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的半径AO＝r，OO ＝
1 2 2 2 1 1 1
， ．
D
A A 2
O
2
B
h h 2
R O R O
h h
C r 2 D C r 2 D
O O
1 1
B B
⑤外接球模型五：有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面
ABC⊥平面BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD
是直角三角形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作
该三角形所在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过
△BCD的外心O 作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外
1
接球的半径为R，球心为O．△BCD的外心为O，O 到BD的距离为d，O与O 的距离为m，则解得R．
1 1 1可用秒杀公式：R2＝r2＋r2－(其中r、r 为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
1 2 1 2
d
A
h－m
A A A R
O C O
O 2
O D
B O C B O 1 C B C R m
O 1 d O 1
r
D D B D
D
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
⑥外接球模型六：圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥．秒杀公式：R＝(其中h为几何体的高，r
为几何体的底面半径或底面外接圆的圆心)
⑦内切球思路：以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V
P－ABC
＝V
O－ABC
＋V
O－PAB
＋V
O－PAC
＋V
O－PBC
⇒V
P－ABC
＝
S ·r＋S ·r＋S ·r＋S ·r＝(S ＋S ＋S ＋S )·r；
△ABC △PAB △PAC △PBC △ABC △PAB △PAC △PBC
第三步：解出r＝＝．
二、题型精讲精练
【典例1】（2023·浙江·高三校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该
正四面体的棱长是 ．
【答案】
【解析】如图所示：因为正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接球，设正方体为 ，
则正四面体为 ，
设球的半径为R，则 ，
解得 ，
所以 则正方体的棱长为 ，
所以正四面体的棱长为 ，
故答案为：
【典例2】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中， ，
， ，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设四面体 的外接球的半径为 ,
则四面体 在一个长宽高为 的长方体中，如图，则 故 ，
故四面体ABCD外接球的体积为 ，
故选：C
【典例3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱
的所有顶点都在一个表面积是 的球面上，且 ，则此直三棱柱的表面积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，因为 ，所以 .
于是 （ 是 外接圆的半径）， .
又球心到平面 的距离等于侧棱长 的一半，
所以球的半径为 .
所以球的表面积为 ，解得 .
因此 .
于是直三棱柱的表面积是.
故选：D.
【典例4】（2023·安徽宣城·高三统考期末）在三棱锥 中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧
棱PA⊥平面ABC，且 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】
【解析】根据已知，底面 是边长为3的等边三角形， 平面 ，
可得此三棱锥外接球，即以 为底面以 为高的正三棱柱的外接球．
设正三棱柱的上下底面的中心分别为 ，则外接球的球心 为 的中点，
的外接圆半径为 ， ，
所以球的半径为 ，
所以四面体 外接球的表面积为 ，
故答案为： ．
【典例5】（2023·四川乐山·高三期末）已知正 边长为1，将 绕 旋转至 ，使得平
面 平面 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
【答案】【解析】如图，
取BC中点G，连接AG,DG，则 ， ，
分别取 与 的外心E,F分别过E,F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，则O为四面体
的球心，
由 ，
所以正方形OEGF的边长为 ，则 ，
所以四面体 的外接球的半径 ，
球O的表面积为 ．
故答案为： ．
【典例6】（2023·山东滨州·高三校考期中）已知正四棱锥 的底面边长为 ，侧棱长为6，则
该四棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】如图， 是正四棱锥 的高，而 ，则 ，，显然正四棱锥 的外接球的球心O在直线 上，
令 ，则 ，
在 中， ，解得 ，
所以该四棱锥的外接球体积为 .
故答案为：
【典例7】（2023·高三课时练习）边长为 的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将棱长为 的正四面体 补成正方体 ，则该正方体的棱长为 ，
，
设正四面体 的内切球半径为 ，正四面体 每个面的面积均为 ，由等体积法可得 ，解得 ，
因此，该正四面体的内切球的体积为 .
故选：D.
【题型训练1-刷真题】
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半
径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径 ，所以 ，即 ，设球
心到上下底面的距离分别为 ，球的半径为 ，所以 ， ，故 或
，即 或 ，解得 符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．2．（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球
面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值
为 ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体
积最大时其高的值.
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为 ，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为 ，则 ，
当且仅当 即 时等号成立.故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ，
(当且仅当 ，即 时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高 .
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为 ，则 ，
所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则
，
， ，单调递增， ， ，单调递减，
所以当 时， 最大，此时 ．
故选：C.
【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；
方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；
方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正四棱锥的高为 ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正
四棱锥体积的取值范围.
【详解】∵球的体积为 ，所以球的半径 ,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，
所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以 当且仅当 取到 ，
当 时，得 ，则
当 时，球心在正四棱锥高线上，此时 ，
，正四棱锥体积 ，故该正四棱锥体积的取值范围是
4．（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且
，则三棱锥 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可得 为等腰直角三角形，得出 外接圆的半径，则可求得 到平面 的距离，
进而求得体积.
【详解】 ， 为等腰直角三角形， ，
则 外接圆的半径为 ，又球的半径为1，
设 到平面 的距离为 ，
则 ，
所以 .故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面
距离的勾股关系求解.
二、填空题
5．（2023·全国·统考高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角形，
平面 ，则 ．
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【详解】如图，将三棱锥 转化为正三棱柱 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，
则 ，可得 ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，连接 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，
把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的
位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
【题型训练2-刷模拟】
一、单选题
1．（2023秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）边长为1的正方体的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】正方体的对角线就是其外接球的直径，代入对角线公式，即可求解.
【详解】其外接球直径 ，所以 .
故选：B．
2．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体 满足 ，
， ，且该四面体 的外接球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将将四面体 放入长方体中，求出长方体的体对角线，进而得到外接球半径，得到表面积.
【详解】将四面体 放入长方体中，如图，
则四面体 的外接球，即为长方体的外接球，
设长方体中 ，则 ，三式相加得 ，故 ，
所以四面体 的外接球半径为 ，
故四面体 的外接球表面积为 .
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）在直三棱柱 中， ， ，则
该直三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将直三棱柱放入长方体中，借助长方体的外接球求解.
【详解】如图所示，将直三棱柱 补成长方体，则长方体的外接球即直三棱柱的外接球.
长方体的体对角线长为
设长方体的外接球的半径为 ，则 ，得 ，
所以该直三棱柱的外接球的体积 .
故选:C.4．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个
球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设圆柱的底面半径为 ，利用勾股定理求出 ，再根据圆柱的体积公式计算可得.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则 ，解得 或 （舍去），
所以圆柱的体积 .
故选：C
5．（2023·河南郑州·校联考二模）如图，在三棱锥 中， ， ，平
面 平面ABC，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意说明 为等腰直角三角形，根据面面垂直性质推出 平面 ，进而结合球的
几何性质，确定三棱锥 外接球球心位置，求出外接球半径，即可求得答案.【详解】由于 ， ，故 ，
即 为等腰直角三角形，
取AC的中点为M，连接 ，
因为 ，即 为正三角形，故 ,
由于平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ；
又M为 的外心，
则三棱锥 外接球的球心必在BM上，
设 的中心为O，则O在BM上且 ，
而 ，
则 ，
即 ，
即O点即为三棱锥 外接球的球心，
故外接球半径为 ，所以外接球表面积为 ，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要能根据条件，结合球的几何性质，确定出三棱锥外接球球心的
位置，进而求得半径.
6．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）已知 是边长为4的等边三角形，将它沿中线 折起得四面体 ，使得此时 ，则四面体 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 平面 ，将四面体 转化为直三棱柱 ，四面体
的外接球即为直三棱柱 的外接球，结合直三棱柱的性质求外接圆半径.
【详解】因为 为等边三角形，且 为中线，则 ，
即 ，且 平面 ，
可得 平面 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，
因为 ，由余弦定理可得 ，
且 ，则 ，所以 ，
将四面体 转化为直三棱柱 ，四面体 的外接球即为直三棱柱 的外
接球，
设四面体 的外接球的球心为 ，半径为 ，
则 ，则 ，
所以四面体 的外接球表面积为 .
故选：D.
7．（2023·山西吕梁·统考二模）在三棱锥 中，已知 底面 ， ，
，则三棱锥 外接球的体积为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 中点 ， 中点 ，由直角三角形外接圆为斜边中点，且由题意可知 ，所以
底面 ，则 为三棱锥 外接球的球心，可解.
【详解】设 中点 ， 中点 ，
由 ， ，所以 的外接圆直径 ，
且圆心为 ，
由于 底面 ， ，所以 底面 ，
则 为三棱锥 外接球的球心，
所以外接球的直径 ，
所以外接球的体积 ．
故选：B
8．（2023·四川成都·校联考二模）在三棱锥 中， ， ， ，平
面 平面 ，若三棱锥 的所有顶点都在球 的表面上，则球 的半径为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】根据三棱锥中线面关系可先确定球心 点在 上，再利用勾股定理求解即可.【详解】
取 的中点为 ，连接 ，因为 ， ，
所以 ， ,
所以 ．
又因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ，又 ，则球心 在直线 上，
连接 ，设球 的半径为 ，则 ，
即有 ，得 ,
故选：B
9．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）在三棱锥 中， 是边长为3的等边三角形，侧
棱 平面 ，且 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用补体法，将三棱锥外接球问题转化为三棱柱外接球问题，找到球心，求解半径即可.
【详解】由底面 是边长为3的等边三角形， 平面 ，
可得此三棱雉的外接球即以 为底面， 为高的正三棱柱的外接球.
设正三棱柱的上、下底面的中心分别为 ， ，
则外接球的球心 为 的中点，
外接圆的半径 ，
球心到下底面的距离 ，
所以球的半径 ，所以三棱锥 外接球的表面积 .
故选：A.
10．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥 的体积是 ，
底面 是正方形， 是等边三角形，平面 平面 ，则四棱锥 外接球表面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过 点作 于E，则PE为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球
球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形 的边长为 ，在等边三角形 中，过 点作 于E，
由于平面 平面 ，∴ 平面 ．
由于 是等边三角形，则 ，
∴ ，解得 ．
设四棱锥外接球的半径为 ， 为正方形ABCD中心， 为等边三角形PAB中心，
O为四棱锥P－ABCD外接球球心，则易知 为矩形，则 ， ，
，
∴外接球表面积 ．
故选：C．
11．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知四棱锥 的底面 是矩形，高为 ，
， ， ， ，则四棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，求出平面 外接圆半径，再利用勾股定理求出外接球的半径，即可求出球的表面
积.
【详解】如图，在矩形 中，连接对角线 ，记 ，则点 为矩形 的外接圆
圆心，
取 的中点 ，连接 ，记 的外接圆圆心为 ，易知 ，且
共线.
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，所以 ，易得 ，
所以由正弦定理得 的外接圆半径为 ，即 .
过 作 平面 ，且 ，连接 ，由 平面 ，
可知 ，则四边形 为矩形，所以 ，则 平面 .
根据球的性质，可得点 为四棱锥 的外接球的球心，
因为 ，所以四棱锥 的外接球的表面积为 .故选：C
12．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知在三棱锥 中， ， ，
平面 ，则三棱锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过补形的方法，求得外接球半径的表达式，结合二次函数的性质求得半径的最小值，进而求得
外接球表面积的最小值.
【详解】将三棱锥补成直三棱柱，如图所示，设点 ， 为上下底面的外心，
则 分别是 的中点，
点 为直棱柱的外接球的球心，则 为 的中点，
为底面外接圆的半径，设 ， ，
所以 ， ，
得外接球半径 ，
当 时， 有最小值为 ，此时球 的表面积为： .
故选：C
【点睛】求解几何体外接球有关的问题，关键点在于找到球心的位置，然后计算出外接球的半径.方法有直接法和补形法，直接法是根据几何体的结构来找到球心；补形法是补形成直棱柱、长方体（正方体）等几
何体，并根据这些几何体的结构找到球心并求得半径.
13．（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市田家炳实验中学校考阶段练习）球O内接三棱锥 ， 平
面 ， .若 ，球O表面积为 .则三棱锥 体积最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用线面垂直的性质有 ， ，根据线面垂直的判定得 面 ，进而易得
都为直角三角形，找到外接球的球心为 的中点 ，根据已知求球体半径，结合
和基本不等式求体积最大值.
【详解】由 平面 ， 面 ，则 ， ，
又 ， ， 面 ，所以 面 ，
由 面 ，故 ，
所以 都为直角三角形，且 为它们的斜边，
所以 的中点 为棱锥外接球球心，如下图示，即球体半径 ，
由 ，则 ，即 ，而 ，
又 ， ，即 ，
故 ，仅当 取等号，
所以 .
故选：B
14．（2023秋·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知四面体ABCD满足 ，， ，且该四面体ABCD的外接球的球半径为 ，四面体的内切球的球半径为 ，
则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将四面体补全为长方体，根据它们外接球相同求出外接球半径，利用等体积法求内切球半径，即
可得结果.
【详解】由题设，可将四面体补全为如下长方体，长宽高分别为 ，
所以，四面体外接球即为长方体外接球，则半径 ，
由题意，四面体的四个侧面均为全等三角形， ， 为三
角形内角，
所以 ，则 ，
又 ，且 ，
所以 ，即 ，
综上， .
故选：A15．（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥 中， ， 平面ABC， ，
，则三棱锥 外接球体积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将三棱锥 可以补成长方体，从而得到 为三棱锥 的外接球的直径，要想体积
最小，则 最小即可，设 ，表达出 ，从而得到 ，进而求出外接
球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥 可以补成分别以 为长、宽、高的长方体，其中 为长方体
的对角线，
则三棱锥 的外接球球心即为 的中点，要使三棱锥 的外接球的体积最小，则 最小．
设 ，则 ， ， ，
所以当 时， ，则有三棱锥 的外接球的球半径最小为 ，
所以 ．
故选：A
16．（2023·河南·统考三模）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设
它的体积为V，它的内切球的体积为V，则 （ ）
1 2A． B． C． D．
【答案】D
【分析】轴截面四边形 的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，求出半径，再根据球的体积公
式和圆锥的体积公式即可得解.
【详解】如图，四边形 为该几何体的轴截面，
则四边形 的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，
设内切球的半径为 ，
由 ，得 ，
则 ，
，
所以 .
故选：D.
17．（2023·福建宁德·校考模拟预测）将一个半径为2的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设圆锥的底面半径为 ，则圆锥的高为 ，表示出圆锥的体积，换元后利用导数可求出
体积的最大值，从而可求出圆锥的底面半径和高，再求出母线长，作出圆锥的截面，然后利用三角形相似
可求出圆锥内切圆的半径.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，则圆锥的高为 ，
所以圆锥的体积 ，
令 （ ），则 ，
所以 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 ，即 时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为 ，母线长为 ，
设圆锥的内切球半径为 ，圆锥的截面如图所示,
则 ， ， ，
因为 ∽ ，所以 ， ，解得 ,故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查圆锥的内切球问题，解题的关键是表示出圆锥的体积，化简后利用导数求
出其最大值，从而可确定出圆的大小，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知四棱锥 的各棱长均为2，则其内切球表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出四棱锥的表面积和体积，利用等体积法即可求出内切圆半径，从而得解.
【详解】因为四棱锥 的各棱长均为2，所以四棱锥 是正四棱锥，
则 ，
过P作底面垂线，垂足为H，则 ，所以 ，则 ，
故其内切圆表面积为 ，
故选：B．
19．（2023·全国·高三专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，由正三棱柱的结构特征确定正三棱柱的高，再计算出其外
接球的半径，进而由体积公式求解即可.
【详解】设正三棱柱底面正三角形的边长为a，则正三棱柱的内切球半径等于正三角形的内切圆半
径，则内切球的半径 ，正三棱柱的高 ．
设正三角形的外接圆半径为R，易得 ，
所以外接球的半径 ．
所以它的外接球与内切球体积之比为 ．
故选：C
20．（2023·湖北·统考二模）已知直三棱柱 存在内切球，若 ，则该三
棱柱外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直三棱柱的高后可求其外接球的半径，从而可求外接球的表面积.
【详解】因为 ，故 ，
故 的内切圆的半径为 .因为直三棱柱 存在内切球，故直三棱柱的高即为内切球的直径.
而内切球的半径即为底面三角形内切圆的半径，故内切球的半径为1，
故直三棱柱的高为2.
将直三棱柱补成如图所示的长方体，则外接球的直径即为该长方体的体对角线，
故外接球的半径为 ，
故外接球的的表面积为 .
故选：D.
21．（2023春·贵州·高三校联考期中）已知正三棱锥P—ABC的底面边长为3，高为 ，则三棱锥P—
ABC的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用条件求出 的长，从而得出正三棱锥为正四面体，进而求出三棱锥的表面积，再利用等体
法求出内切球的半径，即可得出结果.
【详解】如图，取棱AB的中点D，连接CD，作 平面 ，垂足为H，则 ．由正三棱锥
的性质可知 在 上，且 ．
因为 ，所以 ，则 ．因为 ，所以 ，则三棱锥P—ABC的表
面积 ，设三棱锥P—ABC的内切球的半径为r，则 ．解得 ，
从而三棱锥P—ABC的内切球的表面积为 ．
故选：A.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台 的下底面半径是上底面半径的2倍，其内切球的半径为 ，
则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出圆台轴截面的平面图，根据上下底面圆半径的关系以及内切球的半径，可解得上底面半径
，下底面圆半径为2，代入圆台体积公式即可得其体积为 .
【详解】取圆台的轴截面如下图所示：
设上底面半径 ，则下底面半径 ， 为轴截面的切点，
易知 ， ，所以 ，圆台高 ，
作 ，垂足为 ，则 ， ，在 中， ，即 ，解得 ；
所以圆台上底面面积 ，下底面面积 ；
所以圆台体积为 .
故选：B
23．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知正三棱锥 中， ，其内
切球半径为r，外接球半径为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出边长，找到外接球的球心位置，利用勾股定理得到方程，求出 ，再找到内切球球心位置，
利用三角形相似求出 ，得到答案.
【详解】因为正三棱锥 中， ，不妨设 ，
由勾股定理得 ，故 ，
取 中点 ，连接 ，
过点 作 ⊥平面 于点 ，则点 落在 上，且 ，
故 ，由勾股定理得 ，
由对称性可知外接球的球心 在 上，连接 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
设内切球球心为 ，则 在 上，取 的中点 ，连接 ，则切点 在 上，
且 ，由重心性质可得 ，
因为 ，故 ，
因为 ∽ ，所以 ，即 ，解得 ，
故 .
故选：A
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球
心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解
题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径.
24．（2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）将菱形 沿对角线 折起，当四面体
体积最大时，它的内切球和外接球表面积之比为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当平面 平面 时，四面体 的高最大，并利用导函数讨论体积的最大值，构造
长方体求外接球的半径，利用等体积法求内切球的半径，进而可求解.
【详解】不妨设菱形的边长为 ， ， ，
外接球半径为 ，内切球半径为 ，
取 中点为 ，连接 ，
因为 ，所以 ，
当平面 平面 时，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，
此时四面体 的高最大为 ，
因为 ，所以
所以 ，
，
令 解得 ，
令 解得 ，所以 在 单调递增， 单调递减，
所以当 时 最大，最大体积为 ，
此时 ，
以四面体的顶点构造长方体，长宽高为 ，
则有 解得 ，所以 ，
所以外接球的表面积为 ，
又因为 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以内切球的表面积为 ，
所以内切球和外接球表面积之比为 ，
故选:C.
二、填空题
25．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 中， ， ， 平面 ， ，四棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】利用补形法，结合长方体和球的几何性质、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】四棱锥 可以补形为长方体 ，
则四棱锥 的外接球的直径为 ，
又 ，则四棱锥 的外接球的半径为1，
则四棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
26．（2023秋·四川眉山·高三校考开学考试）已知正三棱柱 的底面边长为6，三棱柱的高为
，则该三棱柱的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出三棱柱底面正三角形外接圆半径，再求出球半径即可计算作答.
【详解】由正三棱柱的底面边长为6，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径 ，
如图，
又由三棱柱的高为 ，则球心 到圆O的圆心O的距离 ，
因此球半径R满足： ，即有 ，所以外接球的表面积
故答案为：
27．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）正三棱锥 底面边长为 为 的中点，且 ，
则正三棱锥 外接球的体积为 .
【答案】
【分析】首先求得正三棱锥 的侧棱长和高，然后求得正三棱锥 外接球的半径，从而求得
外接球的体积.
【详解】设 是正三棱锥 底面三角形 的中心，则 平面 ，
且 三点共线， ，
设 ，
依题意， ， ， 是 中点， ，
所以三角形 和三角形 是直角三角形，
所以 ，即 .
由于 平面 ，所以 ，
所以 ，
设正三棱锥 外接球球心为 ，则 三点共线，
设正三棱锥 外接球半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以外接球的体积为 .
故答案为：【点睛】求解正棱锥有关问题，要把握住正棱锥的性质，如底面是正多边形，定点在底面的射影是底面的
中心等等.求解几何体外接球有关问题，关键点是判断出球心的位置以及计算出球的半径.另外要注意看清
题目是求球的表面积还是求体积.
28．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD中， ， ，AC与BD的交点为G，点M，N分
别在线段AD，CD上，且 ， ，将 沿MN折叠到 ，使 ，则
三棱锥 的外接球的表面积为 ．
【答案】
【分析】设MN与BD的交点为H，连接 ，证明 平面ABC，设 的外接圆圆心为 ，
的外接圆圆心为 ，过 ， 分别作平面ABC，平面 的垂线，设两垂线交于点O，则O是
三棱锥 外接球的球心，先求出两外接圆的半径 ，再求出三棱锥 的外接球的半径 即
得解.
【详解】如图所示，因为 ， ，
所以 ，设MN与BD的交点为H，连接 ，
因为 ， ，所以 ，
则 ， ，所以 ，
又 ，则 ，则 ，
又 ， ， 平面ABC，
所以 平面ABC，设 的外接圆圆心为 ， 的外接圆圆心为 ，
过 ， 分别作平面ABC，平面 的垂线，
设两垂线交于点O，则O是三棱锥 外接球的球心，
且四边形 为矩形，
设 的外接圆半径为 ，在 中，由 ，解得 ，
同理可得 的外接圆半径 ，所以 ，
设三棱锥 的外接球半径为R，
则 ，
则三棱锥 的外接球的表面积 .
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：
①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中
去求解；
②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；
③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则
球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；
④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求
出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.29．（2023秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）三棱锥 中， 在底面的射影 为
的内心，若 ， ，则四面体 的外接球表面积为 .
【答案】
【分析】根据三棱锥 的几何特征可知 内切圆半径为 ，所以可得四面体 外接球球
心为 在平面 射影为 中点 ，根据勾股定理找出等量关系可解得外接球半径，即可求出结果.
【详解】三棱锥底面为直角三角形， 为 内心，
由 ， 可得 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
设 内切圆半径 ，易知 的周长为 ，面积为 ；
由等面积可得 ，解得 ；
设四面体 外接球球心为 ，
所以易知 在平面 射影为 中点 ，易知 ，则 ，
设 ，
则 ，且 ，即 ，
解得 ，
则四面体 的外接球表面积为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：求解几何体外接球半径问题时，一般是根据几何体特征找出外接球球心位置再利用等
量关系解出半径即可求出结果.
30．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）在 中， ， ，将 绕着
边BC逆时针旋转 后得到 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得三棱锥 的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上，结
合直角三角形求三棱锥 的外接球的半径，进而可得结果.
【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，则有 ，
由于 与 的外心G与F分别在AE与DE上，
则三棱锥 的外接球的球心O在过点G且与平面ABC垂直的直线上，
由对称性可知： ，则 ，
设 ，则 ，
在 中，则 ，
即 ，解得 ，则 ， ，
又在 中，由 ，可得 ，
设三棱锥 的外接球的半径为 ，
在 中， ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 .故答案为： .
31．（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）四棱锥 中，底面 为菱形，
底面 ， ，若 ， ，则三棱锥 的外接球表面积为
.
【答案】
【分析】根据四棱锥 的数据得到三棱锥 的棱长数据和位置关系，然后利用直角三角形
斜边上的中线是斜边的一半的性质确定球心，从而得出表面积.
【详解】∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又 ， ，∴ ，
取 中点分别为 ,连接 ,
由于 , 平面 ,所以 平面 ,
因为底面 为菱形，所以 ， ，且 ，
所以 ,即 是三角形 外接圆的圆心，因此球心在直线 上，
又 ,所以 ,因此可得 为球心，
又 ，
∴ .
故答案为： .32．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在边长为2的正方形 中， 分别为
线段 ， 的中点，连接 ，将 分别沿 折起，使 三点
重合，得到三棱锥 ，则该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意可知 两两垂直，所以将三棱锥 补成一个长方体，则长方体的体对角线
就是三棱锥的外接球的直径，求出体对角线的长，则可求出外接球的表面积.
【详解】由题意可知 两两垂直，且 ，
将三棱锥 补成一个长方体，如图所示，
则长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，设外接球的半径为 ，
，得 ，
所以三棱锥外接球的表面积为 ，
故答案为：
33．（2023秋·河南周口·高三校联考阶段练习）已知一个圆台内切球的半径为 ，圆台的表面积为 ，
则这个圆台的体积为 .【答案】
【分析】根据圆台与球的性质结合圆台的表面积、体积公式计算即可.
【详解】设内切球的半径为 ，圆台上、下底面圆半径分别为 ， ，则圆台的高 ，
如图为圆台的轴截面图形，可得母线长 ，
故 ，
故 .
故答案为：
34．（2023·全国·高三专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为 ，则该圆锥的内切球表面积为
.
【答案】
【分析】作出内切球的轴截面，再根据几何关系求解即可.
【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，
设该内切球的球心为 ，内切球的半径为 ， 为切点，
所以， ，由已知得 ， ，
所以，在 中， ，即 ，解得 ，
所以，该圆锥的内切球表面积为
故答案为： .
35．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 的所有棱长都相等，现沿 三条侧棱剪
开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为 ，则三棱锥 的内切球的
体积为
【答案】
【详解】试题分析： 三棱锥 展开后为一等边三角形，设此此三角形的边长为 ．则 ，
得 ．所以三棱锥的棱长为 ，可得棱长的高 设内切球的半径为 ，
，得 ，所以 .
考点：1.空间几何的性质；2.球的体积公式.
36．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）如图，四边形 为平行四边形， ， ，
，现将 沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切
球表面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意利用余弦定理求得 ，由此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用等体积法求出内切球半径，运算求解即可.
【详解】 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，
则折成的三棱锥 中， ，
即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，
设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为 ，
则 ，解得 ，
又因为三棱锥 是长方体切掉四个角的余下部分，
故三棱维 的体积为 ，
又三棱锥 四个侧面是全等的，
故三棱锥 的表面积为 ，
设内切球半径为 ，以内切球球心为顶点，把三棱锥分割为以球心为顶点，四个面为底面的的四个小三棱
锥，四个小三棱锥体积等于大三棱锥的体积，
故 ，故内切球表面积为 .
故答案为：
37．（2023·全国·高三专题练习）已知菱形ABCD的边长为1， ，将 沿AC翻折，当三棱
锥 表面积最大时，其内切球表面积为 .【答案】
【分析】求内切球的表面积，只需根据等体积法求出内切球的半径即可求解.
【详解】
因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥 中，面 与面 的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面 与面
最大即可，而且 ；
，当 时， 取得最大值.
过点 向平面 作垂线，设 的中点为 垂足为 ，
因为 ， ，所以由余弦定理知 ，
所以 ，易得 .
所以 .
因为 ，
设内切球的半径为 ，则根据等体积法，有：
，即 ，解之得 ，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
38．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体
积为 ，则该四棱锥体积的最大值是 ．
【答案】
【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四
棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.
【详解】 球的体积 , 球的半径
要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥 ，对于底面 所在的小圆中，顶点 到该小圆面距离
最大，也就是高最大，即点 位于小圆圆心 与球心 所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；
同时要使四棱锥体积最大，底面四边形 面积 取最大，
（其中 为 与 的夹角）
所以当 、 取最大即小圆的直径， 取最大为1时，即 时，底面四边形 面积 最
大，也就是四边形 为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥 为正四棱锥时，其体积最大.
设 ，高 ，则 ,在Rt 中， ,即 ，
所以正四棱锥的体积
，故当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数
单调递减，
所以 时，函数 取得最大值
故答案为： .
