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第一章 三角形的证明
1.4 线段的垂直平分线
第 2 课时 三角形三边的垂直平分线与作图
【素养目标】
1. 理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能够运用其解决实际问题。(重
点)
2. 能够利用尺规作出三角形的垂直平分线。(难点)
【情境导入】
某学校为了方便学生生活，计划在三个宿舍楼 A、B、C 之间修建一个食
堂，试问该食堂 P 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
【合作探究】
探究点一、尺规作等腰三角形
做一做：
(1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？
已知：三角形的一条边a和这边上的高h .
求作：△ABC，使 BC = a , BC 边上的高为h.
(2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角
形吗？ 能做几个？
第 1 页想一想：如何作出一个已知底及底边上的高的等腰三角形呢？
【作图】
如图，已知线段a , h ，用尺规作△ABC，使 AB = AC,BC = a ，高
AD = h .
探究点二、经过已知直线外一点作这条直线的垂线
【做一做】
1.还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？
2.如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？
【典例精析】
例1 过点A作三角形 BC 边上的高 AD (要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，
标明字母)。
第 2 页探究点三、三角形三边的垂直平分线的性质的应用
【回顾导入】试问该食堂 P 应建于何处，才能使得它到宿舍楼的距离相等？
问题1: P 到A和 P 到B的距离相等，
那点 P 所在的直线和AB有什么关系？
问题2: P到A和P到C的距离相等，
那点 P 所在的直线和 AB 有什么关系？
操作：根据问题1和问题2画出相应的垂直平分线，并思考 P 在 BC 的垂直平
分线上吗？
例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线PD与边 BC 的垂直平分线
PE 相交于点 P。求证：边AC的垂直平分线经过点 P 。
第 3 页【归纳总结】
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，
并且这一点到三个顶点的距离相等。
应用格式：
∵ 点P为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA = PB = PC .
【画一画】
1. 分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线， 说明
交点分别在什么位置。
第 4 页当堂反馈
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝
10，BE＝6，则CE的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.某等腰三角形的顶角为 100°，其中两边的垂直平分线交于点 P，则点P在(
)
A.三角形底边上 B.三角形内
C.三角形外 D.无法确定
3.在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P，则PA，PB，PC的大小关
系是_________________.
4.在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在AC上作点P，使P到A，B的距离
相等.(保留作图痕迹，不写作法和证明)
第 5 页参考答案
探究点一、尺规作等腰三角形
做一做：(1) 如下图所示 提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等。
(2) 这样的等腰三角形只有 1 个
想一想：作法：1. 作线段，使BC = a ;
2. 作线段 BC 的垂直平分线 l ,
交 BC 于点 D ;
3. 在 l 上作线段DA ，使 DA = h .
4. 连接 AB, AC . △ABC 为所要作的
等腰三角形。
探究点二、经过已知直线外一点作这条直线的垂线
【做一做】1.如下图所示：
2. 作法：
1. 任取一点 Q ，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁。
2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A,B .
3. 作线段 AB 的垂直平分线 m .直线 m 就是所要作的直线。
例1
解： 如图所示，线段 AD 即为所求。
第 6 页探究点三、三角形三边的垂直平分线的性质的应用
【回顾导入】问题1: 点 P 所在的直线是 AB 的垂直平分线。
问题2: 点 P 所在的直线是 AC 的垂直平分线。
操作：
P 在 BC 的垂直平分线上， P 是 AB ， AC ， BC 三条线段的垂直平分线的
交点。
例2 证明： 如图，连接 PA,PB,PC 。 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上，
∴PA = PB, (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)。
同理， PB = PC 。
∴PA = PB = PC .
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上
(到一条线段两个端点距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上),
即边 AC 的垂直平分线经过点 P 。
【画一画】1.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
当堂反馈
1. B
2. C.
3. PA=PB=PC .
4.解：如图所示，点P即为所求。
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