文档内容
第 1 章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第 2 课时 三角形的外角
【素养目标】
1. 理解三角形的外角的概念。 (重点)
2. 掌握三角形内角和定理的推论。 (难点)
3. 经历由特殊到一般的数学思维过程， 体会数学推理的严谨性。
【复习导入】
1. 什么是三角形的内角？ 其内角和等于多少？
2. 如图，在 △ABC 中， ∠A = 70∘,∠B = 60∘ , 则 ∠ACB = _____,
∠ACD =_____ .
∠ACD 叫作什么角？
【合作探究】
探究点一、三角形外角的概念
定义 △ABC 内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角， 称为 △ABC
的外角。
问题1: 如图，延长 AC 到 E,∠BCE 是不是 △ABC 的一个外角？ ∠DCE 是
不是 △ABC 的一个外角？
问题2: 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外
角？
第 1 页问题3: 画出△ABC的所有外角，共有几个呢？
【归纳总结】
三角形的外角应具备的条件：
① 角的顶点是三角形的顶点；
② 角的一边是三角形的一边；
③ 另一边是三角形中一边的延长线
每一个三角形都有 6 个外角。
做一做：如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
探究点二、三角形外角的性质
思考1：如图， △ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？
思考2: 如图， △ABC 的外角 ∠BCD 与其不相邻的两个内角 (∠A,∠B) 又有
什么关系？
第 2 页你能借助平行线的知识证明此结论吗？
【证一证】
已知： △ABC 如图，求证：∠ACD =∠A+∠B .
【知识要点】
三角形内角和定理推论1:
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和。
几何语言： 在 △ABC 中，
∵∠ACD 是 △ABC 的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B .
【练一练】
1. 说出下列图形中 ∠1 和 ∠2 的度数：
例1 如图，在△ABC中，AD平分外角 ∠EAC , ∠B =∠C . 求证：AD // BC .
第 3 页思考3: (1) 如图①，试比较 ∠2 、 ∠1 的大小；
(2) 如图②，试比较 ∠3 、 ∠2 、 ∠1 的大小。
【知识要点】
三角形内角和定理推论2:
推论 三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角。
几何语言：
在 △ABC 中，
∵∠ACD 是 △ABC 的一个外角，
∴∠ACD >∠A,∠ACD >∠B .
例2 如图，P 是 △ABC 内一点，连接 PB ，PC . 求证： ∠BPC >∠A .
【练一练】(一题多解)如图，∠A=51∘ ， ∠B = 20∘ ， ∠C=30∘ ，求
∠BDC 的度数。
第 4 页例3 如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD 是 △ABC 的三个外角， 它们的和是多少？
你还有其他求法吗？
解法二：
解法三：
思考： 你能总结出三角形的外角和规律吗？
第 5 页当堂反馈
1.如图，已知∠A＝33°，∠B＝75°，则∠BCD的度数为( )
A.147° B.108° C.105° D.以上答案都不对
第1题图 第2题图 第3题图
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝70°，BD是角平分线，则∠BDA的度
数是( )
A.100° B.105° C.110° D.120°
3.如图，∠1________∠2.(填“＞”“＜”或“＝”)
4.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α 等于_____.
第4题图 第5题图
5.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠E的度
数为__________.
6.一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠C应分别是21°和
32°.现测量得∠BDC＝148°，你认为这个零件合格吗？为什么？
第 6 页参考答案
复习导入
1. 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 三角形的内角的和是 180∘ .
2. 50∘, 130∘ .
探究点一、三角形外角的概念
问题 1:∠BCE是△ABC的一个外角， ∠DCE 不是 △ABC 的外角。
问题2: ∠ACD与∠BCE 为对顶角， ∠ACD=∠BCE ; 在三角形每个顶点处都有
两个外角。
问题3: 每一个三角形都有 6 个外角。每一个顶点处对应的外角都有 2 个，
且这 2 个角为对顶角。
做一做：∠BEC 是 △AEC 的外角；∠AEC 是 △BEF 和 △BEC的外角；
∠EFD 是 △BEF 和 △DCF 的外角。
探究点二、三角形外角的性质
思考1:∠BCD 与∠ACB 互补。
思考2: ∵∠A+∠B+∠ACB=180∘ , ∠BCD+∠ACB=180∘ ,
∴∠A+∠B=∠BCD .
【证一证】
证明：过点 C 作 CE//AB ，则 ∠1=∠B(两直线平行，同位角相等),
∠2 =∠A (两直线平行，内错角相等).
∴∠ACD =∠2+∠1=∠A+∠B .
【练一练】
1. (1) ∠1=40∘,∠2=140∘ (2) ∠1=18∘,∠2=130∘
例1 证法一： ∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个
1
内 角 的 和 ), ∠B =∠C ,∴∠C = ∠EAC .∵AD 平 分 ∠EAC .
2
1
∴∠DAC = ∠EAC .
2
∴∠DAC =∠C. ∴AD∥BC .
证法二： ∵∠EAC =∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角
1
的和), ∠B=∠C ,∴∠B= ∠EAC .∵AD 平分 ∠EAC .
2
1
∴∠DAE= ∠EAC .∴∠DAE=∠B .∴AD//BC .
2
第 7 页思考3:(1)解： ∵∠2=∠1+∠B , ∴∠2>∠1 .
(2) 解： ∵∠2=∠1+∠B ,∠3=∠2+∠D ,∴∠3>∠2>∠1 .
例2 证明： 如图，延长 BP ，交 AC 于点 D .
∵∠BPC ≥∠PDC 的一个外角 (外角定义)
∴∠BPC >∠PDC (三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角).
∵∠PDC 是 △ABD 的一个外角 (外角定义),
∴∠PDC >∠A (三角形的一个外角大于和
它不相邻的任何一个内角) ∴∠BPC >∠A.
【练一练】
解法一：连接 AD 并延长到点 E .在 △ABD 中， ∠1+∠B =∠3 ,
在 △ACD 中， ∠2+∠C =∠4 .
∵∠BDC =∠3+∠4 ,∠BAC =∠1+∠2,
∴∠BDC =∠BAC+∠B+∠C =51∘+20∘+30∘=101∘ .
解法二： 延长 BD 交 AC 于点 E . 在 △ABE 中， ∠1=∠B+∠A ,
在 △ECD 中， ∠BDC=∠1+∠C .
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C=51∘+20∘+30∘=101∘.
解法三： 连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二).
例3 解： 由三角形外角性质， 得∠BAE=∠2+∠3,
∠CBF=∠1+∠3,∠ACD=∠1+∠2. 又 ∠1+∠2+∠3=180∘ ,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360∘ .
解法二： 如图，
∠BAE+∠1=180∘ ①,∠CBF+∠2=180∘ ②,∠ACD+∠3=180∘ ③,
又 ∠1+∠2+∠3=180∘ ,
① + ② + ③ 得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3) = 540∘ ,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD = 540∘−180∘= 360∘ .
解法三： 过 A 作 AM∥BC ，则易得 ∠3=∠4 ,∠2 =∠BAM
∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠4+∠BAM = 360∘ .
思考： 三角形的外角和等于 360∘ .
当堂反馈
1. B. 2. B. 3. ＞ 4. 75°. 5. 25°.
6.解：不合格.理由如下：如图，延长CD与AB交于点F.
∵∠DFB＝∠C＋∠A＝32°＋90°＝122°，
∴∠BDC＝∠DFB＋∠B＝122°＋21°＝143°.
∵实际量得的 ∠BDC＝148°≠143°，
∴这个零件不合格.
第 8 页第 9 页
