文档内容
第一章 三角形的证明
1.1 三角形内角和定理
第 3 课时 多边形的内角和
【素养目标】
1. 掌握多边形的内角和公式。(重点)
2. 通过把多边形转化为三角形，体会转化思想在几何中的运用，体会从特殊到
一般的认识问题的方法。
3. 会从不同的角度探索多边形的内角和公式.(难点)
【复习导入】
思考1：过n边形的每一个顶点有几条对角线？可以分割成多少个三角形？
思考2: n边形一共有多少条对角线？
【合作探究】
探究点、多边形的内角和
问题1 三角形的内角和是多少度？
问题2 你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗？
问题3 猜想任意四边形的内角和是多少度？
问题4 你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？
问题5 (1) 这个广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的
和吗？与同伴进行交流。
第 1 页(2) 小明、小亮分别利用图1和图2 求出了五边形五个内角的和。你知道他们
是怎样做的吗？你还有其他的方法吗？
问题6 你能仿照求五边形内角和的方法，选一种方法求六边形内角和吗？
【归纳总结】
多边形的 从多边形的一顶点引
边数 出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
【证一证】如图， n 边形 A A ⋯A 有 n 个顶点 A , A ,A ,⋯,A . 由于
1 2 n 1 2 3 n
与任一顶点(如点 A )不相邻的顶点均有 (n−3) 个，
1
因而从某一顶点出发有________条对角线，
于是 n 边形 A A ⋯A 被分成了________个三角形，
1 2 n
因此， n 边形的内角和等于这________个三角形的内角
和，即_______________.
第 2 页【归纳总结】
n 边形的内角和公式： n 边形的内角和等于 (n−2)·180∘.
( n 是大于或等于 3 的自然数)
例1 如图，在四边形 ABCD中，∠A+∠C=180∘ ，∠B与∠D有怎样的关系？
【练一练】
1. 一个多边形的内角和不可能是 ( )
A. 1800∘ B. 540° C. 720❑∘ D. 810°
2. 一个多边形从一个顶点可引对角线 3 条，这个多边形内角和等于 ( )
A. 360∘ B. 540∘ C. 720° D. 900∘
【想一想】正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、 正八边形的内角分别
是多少度？
想一想： 正 n 边形的一个内角是________度。
例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720∘ , 并且这个多边形的各内角
都相等， 这个多边形的每个内角是多少度？
例3 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE ，求∠BED的度数。
【练一练】
第 3 页3. 如果正多边形的一个内角是 120∘ ，那么这是正_____边形。
4. 正九边形的每个内角都是__________°.
【思考·交流】
剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多
少度？与同伴进行交流。
【练一练】
5. 一个多边形的内角和为 1800∘ ，截去一个角后，求得到的多边形的内角和。
能力提升：如图，求 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7 的度数。
当堂反馈
第 4 页1.从多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成 5个三角形，则这个多
边形的边数是( )
A.7 B.8 C.5 D.6
2.八边形的内角和是( )
A.360° B.540° C.900° D.1080°
3.一个多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数为( )
A.7 B .6 C.5 D.4
4.下列角度不可能是多边形内角和的是( )
A.180° B.270° C.360° D.900°
5.如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝∠C＝100°，则∠D＝_______ .
6.如图，六边形ABCDEF的各个内角都相等，且∠DAB＝60°.
(1)求∠E的度数；
(2)判断AB与DE的位置关系，并说明理由。
参考答案
复习导入
第 5 页思考1: 有 (n−3) 条对角线可以分割成 (n−2) 个三角形
n(n−3)
思考2:
2
探究点、多边形的内角和
问题1 三角形内角和是 180∘ . 问题2 都是 360∘ .
问题3 猜想：四边形 ABCD 的内角和是 360∘ .
问题4 如图，连接 AC ，所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形 ABCD 的内角和为180∘×2=360∘
问题5 (1) 略 (2) 内角和为 180∘×3=540∘ .
问题6 内角和为 180∘×4=720∘ .
【证一证】 (n−3) ， (n−2) ， (n−2) (n−2)⋅180∘ .
例1 解： ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4−2)×360∘,
∴∠B+∠D = 360∘−(∠A+∠C)=360∘−180∘=180∘.
【练一练】1. D. 2. C.
【想一想】正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别
是 60°，90°，108°，120°，135°
想一想：正n边形的一个内角是180(n−2)度。
例2 解：设这个多边形边数为 n ，则(n−2)×180=360+720，解得 n = 8 .
∵ 这个多边形的每个内角都相等， (8−2)×180∘=1080∘ ,
∴ 它每一个内角的度数为 1080∘÷8=135∘ .
(5−2)×180∘
例3解：由题意得∠A =∠AED = = 108∘, AB = AE ,
5
1
所以 ∠AEB = (180∘−∠A) = 36∘ .
2
所以 ∠BED =∠AED −∠AEB = 108∘−36∘=72∘ .
【练一练】3. 六 . 4. 140 .
【思考·交流】
五边形， 540° 四边形， 360∘ 三边形， 180∘
【练一练】5. 解： ∵1800÷180=10 ,∴ 原多边形边数为 10+2=12 .
一个多边形截去一个内角后，边数可能减 1，可能不变， 也可能加 1 ,
∴ 新多边形的边数可能是 11,12,13.
∴ 新多边形的内角和可能是 1620∘,1800∘,1980∘ .
能力提升：
解： 如图，∵∠3+∠4=∠8+∠9 ,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7
=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7
= 五边形的内角和 =540∘ .
当堂反馈
第 6 页1. A. 2. D. 3. C. 4. B. 5. 70°.
6.解：(1)∵六边形ABCDEF的各内角相等，
(6－2)×180°
∴一个内角的大小为 ＝120°.∴∠E＝120°.
6
(2) AB∥DE.理由如下：
∵∠FAB=120°,∠DAB=60°,∴∠FAD=60°.
∵∠ADE+∠FAD+∠F+∠E=360°,∠F=∠E=120°,
∴∠ADE=360°-∠FAD-∠F-∠E=60°.
∴∠ADE=∠DAB.∴AB∥DE.
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