文档内容
6.4 求和方法（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 公式法求和【例1】（2022·江苏江苏·高三期末）已知数列 满足 .
(1)设 ，求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前20项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由 可知， ，即 ，
由 可知， ，
所以 是以12为首项，4为公比的等比数列，
所以 的通项公式为 .
(2)由（1）知， ，
所以 ,
又 符合上式,所以 ,所以 ，
所以 的前20项和 .
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）设数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 ；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1) (2)见解析【解析】(1)当 时， ，解得 ，
当 时， ，
即 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 ，
(2)由 ，得 ，
则 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，当 时， ，
在 上单调递增， ，即 ，
当且仅当 时，取等，得证.
2．（2022·湖南·一模）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)记数列 的前n项和为 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
(1) ， ，∴ ，
故数列 为等比数列，首项为 ，公比为2；(2)由(1)可知 ，∴ ， .
3．（2022·广东深圳·一模）已知数列 的首项 ，且满足 ．
(1)证明： 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由 ，得 ， 又 ，故 ，
故 ，所以 ， 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数
列．
(2)由（1）可知 ，所以 ，
所以 ．
考点二 裂项相消求和
【例2-1】（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知 是等差数列 的前 项和， ， ，公差
，且___________.从① 为 与 等比中项，②等比数列 的公比为 ，
这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列 存在并作答.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】(1)选择条件见解析， (2)证明见解析
【解析】(1)若选①， 为 与 的等比中项，
则 ，由 为等差数列， ，得 ，∴ ，
把 代入上式，可得 ，解得 或 （舍）
∴ ， ；
若选②， 为等比数列 的公比，且 ，
可得 ，即 ，即有 ，即 ；
又 ，可得 ，即 ，解得 ，此时 ；
(2)∵ ，
∴ ；∴ ，得证
【例2-2】（2022·广东肇庆·模拟预测）已知数列 是等比数列，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ，并证明： .
【答案】(1) (2) ，证明见解析.
【解析】(1)设等比数列 的公比是q，首项是 .
由 ，可得 .
由 ，可得 ，所以 ，所以 ；
(2)证明：因为 ，
所以
.
又 ，所以 .
【例2-3】（2022·广东梅州·二模）已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】(1)解：选条件①： ， ，得 ，
所以， ，
即数列 、 均为公差为 的等差数列，
于是 ，
又 ， ， ，所以 ；选条件②：因为数列 为等差数列，且 的前 项和为 ，
得 ，所以 ，
所以 的公差为 ，
得到 ，则 ，
当 ， .
又 满足 ，所以，对任意的 ， .
(2)解：因为 ，
所以
.
【例2-4】（2022·广东茂名·二模）已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.(2)由（1）得： ，
则 ， ， ，…， ，
各式作和得： ，
又 ， ，
，
当 为偶数时，
；
当 为奇数时， ；
综上所述： .
【一隅三反】
1．（2022·广东梅州·二模）已知 是数列 的前 项和， ，___________.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前 项和为 .从以上两个条件中任选一个
补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1)条件选择见解析， (2)
【解析】(1)解：选条件①： ， ，得 ，
所以， ，
即数列 、 均为公差为 的等差数列，
于是 ，
又 ， ， ，所以 ；
选条件②：因为数列 为等差数列，且 的前 项和为 ，
得 ，所以 ，
所以 的公差为 ，
得到 ，则 ，
当 ， .
又 满足 ，所以，对任意的 ， .
(2)解：因为 ，
所以
.
2．（2022·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， .(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：由 ，可得 ，即 ，
所以当 时， ， ， ， ，
将上述式子进行累加得 ，-
将 代入可得 ，即 .
当 时也满足上式，
所以数列 的通项公式 .
(2)解：由（1）得 ，
则 .
3．（2022·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，给出以下三个条件：① ，
；② ；③ ， .从这三
个条件中任选一个解答下面的问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】(1) (2)
【解析】(1)若选①：由 ，得 .
令， ，可得 .
当 时， ， ，…， ，
累加得 .
又 ，则 ，则 .
又 也适合上式，所以 .
若选②：由 ，可得 .
又 是正项数列，所以 ，所以 ，则 .
当 时， .
又 也适合上式，所以 .
若选③：由 得，当 时， ，两式作差得
，整理得 .
由于 ，故 ，即 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 .
(2)由（1）得 ， ，
则 ，所以
.
4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{ }中， ， 是其前n项和，且满足
(1)求数列{ }的通项公式：
(2)已知数列{ }满足 ，设数列{ }的前n项和为 ，求 的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)正项数列{ }， ，满足 ，所以 ，
所以数列{ }是以1为首项1为公差的等差数列，
所以 ，所以 ，
当 时， ，
当 时也成立，
所以 .
(2)因为
所以 ，
所以当 为奇数时， ；
当 为偶数时， ，
由{ }递增，得 ，所以 的最小值为 .
考点三 错位相减求和
【例3】（2022·广东茂名·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由 可得 ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以数列 是公差为1，首项为1的等差数列.
(2)由（1） ，得 ，
所以 ，
，两式相减得
，
所以 .
【一隅三反】1．（2022·广东广东·一模）设数列 的前n项和为 ，满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求 的前n项和 ．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)当 时， ，
得
即 ，即
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，故 ．
(2)由（1）知 ，则
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
2．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
3．（2021·全国·高考真题（理））记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知
．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的
等差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,∴ .
考点四 分组转化求和
【例4-1】（2022·全国·模拟预测（理））已知正项数列 的前n项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1) 时， ，又 ，解得 ，
由 得 ，
时， ，
两式相减得 ，
，又 ，所以 ， 是等差数列，
所以 ；
(2)由（1） ， ，
，
为偶数时， ，
为奇数时， ，所以 ．
【例4-2】（2022·山东日照·模拟预测）已知数列 中， ， ， （ ）， ，
， ， 成等差数列．
(1)求k的值和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)解： ， ， 成等差数列，
所以 ，
得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得 ．
(2)由（1）知，
当n为偶数时，设n＝2k，
可得，
即 ；
当n为奇数时，设n＝2k－1，
可得
，
即 ．
综上所述， .
【一隅三反】
1．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列 的前n项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)解：当 时， ，
当 时， ，
当 时，上式也成立，
所以 ；(2)解： ，
设数列 的前 项和为 ，
则
.
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前2n项的和
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，…， ，
将上述式子左右分别相乘得 ，∴ ．
∵ 满足上式，
∴ ．
(2)∵ ，令 ， ，
的前 项和为 ， 的前 项和为 ，
∴ ，
，
∴ ．
3．（2022·湖南·高三阶段练习）已知数列 中， ， ，令 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前14项和.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)当 时， ，又 ，得 ，
由 ①得 ②，①②两式相除可得 ，
则 ，且 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
故 .
(2)当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ，
.
所以数列 的前14项和为
.
考点五 周期数列
【例5】（2022·江西赣州·一模）设正项数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ， 是数列 的前 项和，求 .
【答案】(1) (2)【解析】(1)解：当 时， ，所以 ，又 ，故 ；
当 时， ，而 ，两式相减得 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
故 是以 为公差的等差数列，从而 .
(2)解： ，
设
，其中 ，
所以 .
【一隅三反】
1．（2022·江苏·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ， ，其前 项和为 ，则
______．
【答案】1010
【解析】 ，周期
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习（理））数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则 ＝
________.
【答案】【解析】 ， ， ， ， 又 的周期为 ，
故答案为：
考点六 倒序相加法
【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，数列 满足 ，则
（ ）
A．2018 B．2019 C．4036 D．4038
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
令 ，则 ，
两式相加得 ，∴ ．故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则
的值为（ ）
A．1 B．2 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】函数 ，设 ，则有 ，
所以 ，所以当 时， ，
令 ，
所以 ，
故 ．故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 是 上的奇函数，
，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题已知 是 上的奇函数，故 ，
代入得： ， ∴函数 关于点 对称，
令 ，则 ，得到 ，
∵ ， ，
倒序相加可得 ，即 ，故选：C．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．2018 B．2019
C．4036 D．4038
【答案】A
【解析】 ， ，令 ，
则 ，两式相加得： ， .故选： .
