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专题 2.3 函数的单调性与最值-重难点题型精讲
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任
意两个自变量的值x，x
1 2
定义 当xf (x)，那么就说
1 2 1 2
么就说函数f (x)在区间D上是增
函数f (x)在区间D上是减函数
函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，
区间D叫做y＝f (x)的单调区间．
2．函数的最值
(1)函数的最大（小）值：(2)利用函数单调性求最值的常用结论：
①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x [a,c]在
x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；
②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x [a,c]在
x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.
【题型1 求函数的单调区间】
确定函数单调性的四种方法：
(1)定义法：利用函数单调性的定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不
连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单
调性．
1
【例1】（2021秋•东海县期中）函数f（x）= 的单调减区间是（ ）
x
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）
1
【变式1-1】（2022春•喀什市校级期末）函数y= x2−lnx的单调减区间是（ ）
2A．（0，1） B．（0，1）∪（﹣∞，﹣1）
C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，+∞）
【变式1-2】（2021春•资阳期末）函数f（x）=√x−x的递增区间为（ ）
1 1
A．(0， ) B．（0，1） C．( ，+∞) D．（1，+∞）
4 4
【变式1-3】（2021秋•三明期中）函数f（x）＝|x﹣2|•（x﹣4）的单调递减区间是（ ）
A．[2，4] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）
【题型2 判断或证明函数的单调性】
【方法点拨】
1.定义法：利用函数单调性的定义讨论函数的单调性.
2.导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
3.图象法：根据函数解析式画出函数图象，通过函数图象研究单调性.
注：①复合函数单调性的判断方法：根据复合函数的单调性满足“同增异减”，可判断复合函数的单调性；
②抽象函数单调性的判断方法：一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另
一种是“赋值”，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.
【例2】（2022春•昌平区期末）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）
A． 1 B．y= 1 C．y＝2x D．y＝log x
y=x2
x
2
【变式2-1】（2021春•绵阳期末）下列函数中是减函数且值域为R的是（ ）
1 1
A．f（x）= B．f（x）＝x− C．f（x）＝ln|x| D．f（x）＝﹣x3
x x
【变式2-2】（2022春•开福区校级月考）下列函数在定义域内是增函数的为（ ）
1
A．f(x)=− B．f（x）＝e﹣x﹣ex
x
1
C．f（x）＝log |x+1| D．f(x)=( ) −x
3
2
【变式2-3】（2021秋•青羊区校级月考）给定函数：① y=√x ，②y=log 1 (x+1)，③y＝x2﹣4x+1，④y
2
＝2x﹣1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）
A．①③ B．③ C．②③ D．①④
【题型3 利用函数的单调性比较大小】
利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将
自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通常选用数形结合的方法进行求解.
【例3】（2022春•哈尔滨校级期末）已知函数f（x）＝x3，则a＝f（0.62），b＝f（ln0.6），c＝f（20.6）之间的大小关系是（ ）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【变式 3-1】（2022 春•船山区校级期中）已知函数 f（x）满足，对任意 x ，x （0，1）有
1 2
∈
f(x )−f(x ) ，若△ABC为锐角三角形，则一定成立的是（ ）
1 2 ＞0
x −x
1 2
A．f（sinA）＞f（cosB） B．f（cosA）＜f（cosB）
C．f（sinA）＜f（cosB） D．f（sinA）＞f（sinB）
【变式 3-2】（2021 秋•营口期末）定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（x）＝f（2﹣x），且 x ，x
1 2
∀ ∈
（1，+∞），当x ≠x 时都有（x ﹣x ）（f（x ）﹣f（x ））＞0，若a=f(log 5)，b＝f（log 324），
1 2 1 2 1 2 1 4
2
c＝f（22.5），则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【变式3-3】（2022•广西模拟）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x ，
1
x ，都有x f(x )−x f(x ) ．记 f(3.13.2 ) f(3.23.1 ) f(log 3.1)，则（ ）
2 2 1 1 2 ＜0 a= ，b= ，c= 3.2
x −x 3.13.2 3.23.1 log 3.1
1 2 3.2
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【题型4 利用函数的单调性解不等式】
根据题目条件，确定函数的单调性，利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注
意函数的定义域．
【例4】（2022春•玉溪月考）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的减函数，且f（2a﹣3）＜f（a﹣2），则实
数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．（1，3] C．（1，4] D．（1，+∞）
【变式4-1】（2022•陕西模拟）已知函数y＝f（x）在R上单调递减，令g（x）＝f（x）﹣x，若g（t）＜g
（4﹣t），则实数t的取值范围为（ ）
A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
【变式4-2】（2021秋•潍坊月考）已知函数f（x）的定义域为R，其图像关于y轴对称，且f（x）在（﹣
∞，0]上单调递增，若f（3a﹣2）＞f（2a），则实数a的取值范围是（ ）
1 5 2 1 5 2
A．a＜ 或a＞ B．a＜ 或a＞2 C． ＜a＜ D． ＜a＜2
2 2 5 2 2 5【变式4-3】（2021秋•西固区校级期末）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x ，x [0，+∞），
1 2
∈
（x ≠x ），有f(x )−f(x ) ，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（ ）
1 2 2 1 ＜0
x −x
2 1
A．（﹣2，2） B．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
【题型5 利用函数的单调性求参数】
①已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定
函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.
②借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解.
③需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
④分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
【例5】（2021秋•怀仁市校级月考）若函数y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上单调递增，则实数m的取值范围
是（ ）
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
x+1
【变式5-1】（2021秋•河西区期末）若函数f（x）= 在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则实数k的取
x−k
值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．{﹣2} C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）
{ ax ，x≥1
【变式5-2】（2022•凌源市开学）若函数 在R上单调递减，则实数a的取
f(x)= 5
(1−3a)x+ ，x＜1
3
值范围是（ ）
1 2 1 1 2
A．( ， ] B．（1，2） C．[ ， ) D．(0， )
3 3 3 2 3
【变式5-3】（2022•泸州模拟）已知函数
f(x)=
{ x+1(x≤0) 在定义域上是增函数，则k的取值范
log (x+k)(x＞0)
3
围是（ ）
A．（3，+∞） B．[3，+∞） C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【题型6 求函数的最值】
【方法点拨】1.配方法，主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；
2.换元法，用换元法时一定要注意新元的取值范围；
3.数形结合法，对于图象较容易画出的函数的最值问题，可借助图象直观求出；
4.利用函数的单调性，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.
【例6】（2022春•成都期末）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）
1
A．y=x+ (x≠0) B．y＝x2﹣2x+2
x
1
C．y=x+2√x+3(x≥0) D．y
=√x2+1+
√x2+1
x−1 1 2
【变式6-1】（2022春•铜鼓县校级期末）若函数f( )= − +1，则函数g（x）＝f（x）﹣4x的最
x x2 x
小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
2x
【变式6-2】（2022春•阎良区期末）设函数f(x)= 在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，
x−2
则M+m＝（ ）
A．4 B．6 C．10 D．24
【变式6-3】（2022春•贾汪区校级月考）函数 f（x）＝（x2+2x）（x2+ax+b）满足：对 x R，都有f
（1+x）＝f（1﹣x），则函数f（x）的最小值为（ ） ∀ ∈
A．﹣20 B．﹣16 C．﹣15 D．0
