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专题 14 导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）
目录：
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
02 用导数判断或证明函数的单调性
03 含参分类讨论函数的单调区间
04 由函数的在区间上的单调性求参数
05 函数与导数图像之间的关系
06 利用导数比较大小（含构造函数）
07 利用导数解不等式
08 抽象函数与导数
09 用导数解决实际问题
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数 单调递减区间是（ ）
A． B．C． D．
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
02 用导数判断或证明函数的单调性
4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数 在 处的切线方程为
.
(1)求 ， 的值；
(2)证明： 在 上单调递增.
5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： 在 上单调递增．
6．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的解析式；
(2)判断 在 上的单调性.
03 含参分类讨论函数的单调区间
7．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.8．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性.
9．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性.
04 由函数的在区间上的单调性求参数
10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数 的单调递减区间为 ，则
（ ）
A． B． C．16 D．27
11．（23-24高三上·广东汕头·期中）设 ，若函数 在 递增，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（2023高三·全国·专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·广西玉林·二模）若函数 在 上为增函数，则a的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
05 函数与导数图像之间的关系
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同一直角坐
标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
16．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数 的大致图象如图所示（其中 是函数 的
导函数），则 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
17．（2013·广东广州·一模）已知函数 的图像如图所示，则其导函数 的图像可能是
（ ）
A． B．
C． D．
06 利用导数比较大小（含构造函数）
18．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·山东泰安·模拟预测）已知定义域为R的偶函数 在 上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2024·河北沧州·模拟预测）已知 ，设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
21．（23-24高二下·四川成都·期中）已知 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2024·安徽·三模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
23．（2024·山西·三模）已知函数 ，若 ，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
07 利用导数解不等式24．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024·湖南永州·三模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在 上的奇函数 满足， ，当 时，
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
27．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在 上的单调递增函数 满足 恒成立，其中
是函数 的导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
08 抽象函数与导数
28．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，且有，且对任意 都有 ，则使得 成立的 的取值范
围是 .
29．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，满足 ，
， ，当 时， ，则不等式 的解集为 ．
09 用导数解决实际问题
30．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏
斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为
31．（23-24高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到
污染源距离的平方成反比，比例常数为 .现已知相距18km的 ， 两家化工厂（污染源）的污染
强度分别为 ， ，它们连线段上任意一点 处的污染指数 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.若 ，且 时， 取得最小值，则 的值为 .
32．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道 相交于点 ，一根长度为 的直杆
的两端点 分别在 上滑动（ 两点不与 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），
直杆上的点 满足 ，则 面积的取值范围是 .一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 （ ）
A．是偶函数，且在区间 上单调递增 B．是偶函数，且在区间 上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间 上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
3．（2024·天津红桥·二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东潍坊·三模）已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时， ，则
不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·江西宜春·三模）已知 ， ， ，其中 为自然对数的底数，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·重庆·二模）设函数 ，点 ，其中 ，且
，则直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·四川达州·一模）已知 ， ，若不等式 的
解集中只含有 个正整数，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题9．（2024·山东·模拟预测）已知 分别是定义域为 的偶函数和奇函数，且 ，设
函数 ，则 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C．在 上单调递减 D．在 上单调递增
10．（2023·全国·模拟预测）数学模型在生态学研究中具有重要作用．在研究某生物种群的数量变化时，
该种群经过一段时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线大致呈“S”形，这种类型的种群增长称为“S”形
增长，所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K值．现有一生物种群符合“S”形增长，初始种群
数量大于0，现用x表示时间， 表示种群数量，已知当种群数量为 时，种群数量的增长速率最大．
则下列函数模型可用来大致刻画该种群数量变化情况的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ，
，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
三、填空题
12．（2024·河北邢台·二模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是 （请用“<”连
接）．13．（2024·四川·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，则m的
取值范围是 .
14．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则下
列说法正确的是 .
① 是奇函数 ②
③ ④ 时，
四、解答题
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求 在 处的切线；
(2)比较 与 的大小并说明理由.
16．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；
(2)讨论 的单调性．
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的最小值为 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若函数 （ 为 的导函数），讨论 的单调性.
19．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由 个数 排列成的m行n列的
数表 称为 矩阵，其中 称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵
A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若 ，
，则 ，其中
.已知 ，函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是 的两个极值点，证明： ， .
