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4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 单调区间（无参）
【例1-1】（2022·新疆）函数 的减区间是____________.
【答案】
【解析】由 可得 所以由 可得 所以函数 的减区间是
故答案为：
【例1-2】（2022·广东·顺德一中）设曲线 在 上的单调递减区间是______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 或 .
当 时， 所以函数 的单调递减区间为 .故答案为： .
【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区
间为（ ）
A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)
【答案】A【解析】由题设 ，则 ，可得 ，
而 ，则 ，所以 ，即 ，则 且
递增，当 时 ，即 递减，故 递减区间为(-,0).故选：A
【一隅三反】
1．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【答案】 C
【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.
当00.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
2．（皖豫名校联盟体2022届）函数 的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
综上， 的单调递减区间为 ，故答案为：
3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为 ．
【答案】 ，
【解析】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，当00，
当0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022安徽省“皖东县中联盟）若函数 在区间 上单调递减，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】对于函数 ，导数 .
要使函数 在区间 上单调递减，只需 恒成立.
因为 ，只需 ，只需 恒成立.
记 ，只需 .
.
因为 ，所以 .
由 在 上单减，在 上单增，且 时， ， 时， .
所以 在 上的最大值为 ，所以 在 的最大值为1.
所以 .故选：B
【例2-2】（2022.广东）已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴
∵函数 在区间 上不是单调函数
∴ 在区间 上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当 时，∵ ，∴ ，∴ .故选：D．
【一隅三反】1．（2022福建省）已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上恒成立，
令 ，要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，综上：实数m的取值范围是 .故选：D
2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若 是R上的减函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为 是R上的减函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由于 ，所以 ．故选：B.
3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数 在区间 上存在单调减区间，则实数
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 在区间 上存在单调递减区间，所以存在 ，使得 ，
即 ，令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .故选：A
4．（2022·宁夏吴忠）已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 存在三个单调区间，可得 有两个不相等的实数根，
则满足 ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 .故选：C.
考点三 单调性的应用之解不等式
【例3】（湖南省多所学校2022届）已知 ，则 的解集是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B【解析】当 时， ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增，且 ，∴当 时， ，
， 是偶函数，∴ 的解集是 或 ，
故选：B.
【一隅三反】
1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域为 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D
2．（湖北省2022届）已知函数 ，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .故选：B.3．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ．
【答案】 (1,2]
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝＋ex－cos x.
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，∴00，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x|<1⇔－1
