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4.2 利用导数求单调性（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 单调区间（无参）
【例1-1】（2022·新疆）函数 的减区间是____________.
【答案】
【解析】由 可得 所以由 可得 所以函数 的减区间是
故答案为：
【例1-2】（2022·广东·顺德一中）设曲线 在 上的单调递减区间是______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 ，解得 或 .
当 时， 所以函数 的单调递减区间为 .故答案为： .
【例1-3】（江苏省苏州实验中学）已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区
间为（ ）
A．(-∞,0) B．(1,+∞) C．(-∞,1) D．(0,+∞)
【答案】A【解析】由题设 ，则 ，可得 ，
而 ，则 ，所以 ，即 ，则 且
递增，当 时 ，即 递减，故 递减区间为(-,0).故选：A
【一隅三反】
1．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
【答案】 C
【解析】f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.
当0<x<1时，f′(x)<0.当x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
2．（皖豫名校联盟体2022届）函数 的单调递减区间为__________．
【答案】
【解析】当 时， ，则其在 上递减，
当 时， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上递减，
综上， 的单调递减区间为 ，故答案为：
3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为 ．
【答案】 ，
【解析】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，当0<x<时，f′(x)>0，
当<x<时，f′(x)<0，当<x<π时，f′(x)>0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
考点二 已知单调性求参数
【例2-1】（2022安徽省“皖东县中联盟）若函数 在区间 上单调递减，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】对于函数 ，导数 .
要使函数 在区间 上单调递减，只需 恒成立.
因为 ，只需 ，只需 恒成立.
记 ，只需 .
.
因为 ，所以 .
由 在 上单减，在 上单增，且 时， ， 时， .
所以 在 上的最大值为 ，所以 在 的最大值为1.
所以 .故选：B
【例2-2】（2022.广东）已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴
∵函数 在区间 上不是单调函数
∴ 在区间 上有根
∴当a＝0时，x＝－1不满足条件当 时，∵ ，∴ ，∴ .故选：D．
【一隅三反】1．（2022福建省）已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上恒成立，
令 ，要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，综上：实数m的取值范围是 .故选：D
2．（湖南省三湘名校教育联盟2022届）若 是R上的减函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，
因为 是R上的减函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由于 ，所以 ．故选：B.
3．（江西省宜春市八校2022届）已知函数 在区间 上存在单调减区间，则实数
的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 在区间 上存在单调递减区间，所以存在 ，使得 ，
即 ，令 ， ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 .故选：A
4．（2022·宁夏吴忠）已知函数 存在三个单调区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 存在三个单调区间，可得 有两个不相等的实数根，
则满足 ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 .故选：C.
考点三 单调性的应用之解不等式
【例3】（湖南省多所学校2022届）已知 ，则 的解集是（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B【解析】当 时， ， 在 恒成立，
∴ 在 单调递增，且 ，∴当 时， ，
， 是偶函数，∴ 的解集是 或 ，
故选：B.
【一隅三反】
1．（陕西省西安地区八校2022届）已知函数 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 的定义域为 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .故选：D
2．（湖北省2022届）已知函数 ，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .故选：B.3．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为 ．
【答案】 (1,2]
【解析】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝＋ex－cos x.
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，∴0<x－1≤1，即1<x≤2，原不等式的解集为(1,2]．
4．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为 ．
【答案】
【解析】f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，所以f ＝f(－ln x)＝f(ln x)．
则原不等式可变形为f(ln x)<f(1)⇔f(|ln x|)<f(1)．又f′(x)＝xcos x＋2x＝x(2＋cos x)，
由2＋cos x>0，得当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x|<1⇔－1<ln x<1⇔<x<e.
考点四 单调性应用之比较大小
【例4-1】（华大新高考联盟名校2022届）已知实数a，b， ，e为自然对数的底数，且 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ， 得 ， ， ，
构造函数 ，求导得 ，令 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ， 在 上单调递减，所以 .故选：A．
【例4-2】（湖南师范大学附中2022届）下列两数的大小关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】对于A，设 ，则 ，
则当 时， ， 在 上单调递减， ，
即 ，即 ， ，则 ，A错误；
对于B， ， ， ，则 ，B正确；
对于C， ， ， ， ，C错误；
对于D， ，D错误.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022年全国新高考I卷数学试题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，又 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以 故选：C.
2．（山东省青州市2022届）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ,则 ,
当 时, ,函数单调递减,当 时, ,函数单调递增,
故当 时,函数取得最大值 ,
因为 , ,
,当 时, ,函数单调递减,可得 ,即 .故选:C
3．（江西省萍乡市2022届）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令 ， ，
，可以判断 在 上单调递增，
所以 ， ，所以 ，又因为 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，故选：D.
4．（湖北省二十一所重点中学2022届）已知 是自然对数的底数，设 ， ，
， ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，设 ，易知当 时， 递减；
，即为 ； ，即为 ，所以 ，即 ；
，即 ，故A错，故D错；
，即 ，故B错；
构造函数 ，所以 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，即 ，所以
；
故选：C.
考点五 含参函数的单调性讨论
【例5-1】（2022广西节选）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】 的定义域为
当 时， 在 上恒成立，故 在 上单调递减当 时， ，且 时， ， 时，
即 在 上单调递增，在 上单调递减
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减
【例5-2】（2022安徽）已知函数 ，讨论f（x）的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题意得：f（x）定义域为（0，+∞），
当 时， ，∴ 在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 时，令 ，解得：
∴当 时， ；当 时，
∴f（x）在（0， ）上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当 时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减.
【例5-3】（安徽省江淮名校2022届）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数 的定义域为 ．
．
当 时，若 ，则 ；若 ，则 在区间 单调递增，在 单调递减．
当 时 在 单调递增．
当 时， ，若 或 ，则 ；若 ，则 ．
所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减．
当 时， ，若 或 ，则 ；若 ，则 ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
综上所述， 时， 在 单调递增，在 单调递减． 时， 在 单调递增．
时， 在 单调递增，在 单调递减． 时， 在 ，
单调递增，在 单调递减．
【例5-4】（2022辽宁省沈阳市第二中学）已知函数 ，讨论 的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数 的定义域为 ， .
当 时，对任意的 ， ，此时函数 的减区间为 ；
当 时，方程 在 时的解为 ，
由 可得 ，由 可得 ，
此时，函数 的减区间为 ，增区间为 .综上所述，当 时，函数 的减区间为 ；
当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 .
【一隅三反】
1．（2022贵州省贵阳市五校）已知 ，函数 ，讨论 的单调性；
【答案】 时， 在 递增； 时， 的增区间是 ，减区间是 ．
【解析】 的定义域是 ， ，
时， 恒成立， 在 递增，
时， 时， ， 时， ，
的增区间是 ，减区间是 ．
综上： 时， 在 递增；
时， 的增区间是 ，减区间是 ．
2．（2022陕西省）已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【答案】答案解析
【解析】因为 ，所以 ．
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增；
②当 时， 时， ； 时， ；
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
3．（重庆市第八中学校2022届高三下学期适应性月考（七）数学试题）已知，讨论 的单调性；
【答案】见解析
【解析】 ，
①当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减；
当 时，令 ，则 或 ，
②当 ，即 时， ，
所以函数 在 上递增；
③当 ，即 时，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减；
④当 ，即 时，
当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 在 和 上递增，在 上递减，
综上所述，当 时，函数 在 上递增，在 上递减；
当 时，函数 在 上递增；当 时，函数 在 和 上递增，在 上递减；
当 时，函数 在 和 上递增，在 上递减；
4．（2022江苏省）已知函数 ，函数 的导函数为 ．讨论函数 的单
调性；
【答案】答案见解析
【解析】由 得，函数的定义域为 ，
且 ，令 ，即 ，
①当 ，即 时， 恒成立， 在 单调递增；
②当 ，即 时，令 ，
当 时， ， 的解 或 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，同理 在 上单调递减，在 上单调递增．
