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专题 14 导数与函数的单调性（九大题型+模拟精练）
目录：
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
02 用导数判断或证明函数的单调性
03 含参分类讨论函数的单调区间
04 由函数的在区间上的单调性求参数
05 函数与导数图像之间的关系
06 利用导数比较大小（含构造函数）
07 利用导数解不等式
08 抽象函数与导数
09 用导数解决实际问题
01 利用导数求函数的单调区间（不含参）
1．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的单调区间．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2)单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .(3)单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．
【分析】根据导数公式以及导数运算法则进行求导，令导数大于零，求得函数的增区间，令导数小于零，
求得函数的减区间，逐一计算即可.
【解析】（1）函数 的定义域为 ， ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）函数 的定义域为 ，
，
令 ，得 ；令 ，得 或 ．
∴函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 .
（3）函数 的定义域为R，
，
令 ，得 ；令 ，得 或 ．
∴函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）函数 单调递减区间是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】求导后，令 ，解出即可.
【解析】 ,
令 ，解得 ，
所以单调递减区间为 .
故选：A.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间．
【解析】由 得： ，即 的定义域为 ；
，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ．
故选：A．
02 用导数判断或证明函数的单调性
4．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数 在 处的切线方程为.
(1)求 ， 的值；
(2)证明： 在 上单调递增.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 ，即可得到方程组，解得即可；
（2）令 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可得到当 时 ，
即当 时 ，即可得证.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
依题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）证明：由（1）可得 ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时 ，即当 时 ，
所以 在 上单调递增.5．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求证： 在 上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意求导函数，求出切线的斜率和切点坐标，即可得出切线方程；
（2）证出导函数恒大于等于0即可.
【解析】（1）因为 ，
所以 ,
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（2）由（1）知， ，
因为 所以 ，又 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增.
6．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的解析式；
(2)判断 在 上的单调性.
【答案】(1)
(2) 在 上的单调递减.【分析】（1）先对 求导，再将 代入到函数可求出 ，进而求出 的解析式；
（2）先对 求导，当 时， ， ，所以 恒成立，即可得出答案.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 .
（2） ，
当 时， ， ，
所以 恒成立，
所以 在 上的单调递减.
03 含参分类讨论函数的单调区间
7．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出 ，从而得到 ，求
出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 ， 和 三种情况，讨论得到函数
的单调性.
【解析】（1） ，由已知 ，
∴ 得
又
∴曲线 在点 处的切线方程为
化简得：
（2） 定义域为R，
，令 得 或
①当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
②当 即 时， 恒成立，
故 在R上单调递增；
③当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
8．（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间.
【解析】（1）当 时 ，
则 ，所以 ，
因为 ，即切点为 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）函数 的定义域为 ，
又 ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增；
当 时，则当 时 ，当 时 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上可得：当 时 在 上单调递增；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减.
9．（23-24高三上·内蒙古赤峰·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性.【答案】(1)
(2)单调递增
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式得切线方程；
（2）研究函数 在 上的单调性，先求解 ，因不易判断 符号，由 构造局
部函数 ，再继续求解 ，分析得出 ，由此逐步分析出 符号，从而得出 的单调性.
【解析】（1） ，
，即切点坐标为 ，
又 ，
切线斜率 ，
则切线方程为 ，即： ；
（2） ，
，
令 ，
则 ，
在 上单调递增，
，
在 上恒成立，在 上单调递增.
04 由函数的在区间上的单调性求参数
10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若函数 的单调递减区间为 ，则
（ ）
A． B． C．16 D．27
【答案】A
【分析】根据导数分析单调性，结合二次不等式的解集与系数关系求解即可.
【解析】由题意 ，且 的解集为 ，故 ，
解得 ，故 .
故选：A
11．（23-24高三上·广东汕头·期中）设 ，若函数 在 递增，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把函数 在 递增利用导数转化为 在 上恒成立，利用指数函数
单调性得 ，解对数不等式即可得解.
【解析】因为函数 在 递增，
所以 在 上恒成立，
则 ，即 在 上恒成立，由函数 单调递增得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】由 ，结合题意 在 上恒成立求范围，即可判断所能取的值.
【解析】由题设 在区间 上单调递增，所以 恒成立，
所以 上 恒成立，即 恒成立，
而 在 上递增，故 .
所以A符合要求.
故选：A
13．（2023高三·全国·专题练习）若函数 恰有三个单调区间，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数有两个不等根计算即可.
【解析】由题意得函数 的定义域为 ， ，要使函数 恰有三个单调区间，
则 有两个不相等的实数根，∴ ，解得 且 ，
故实数a的取值范围为 ，
故选：C.
14．（2023·广西玉林·二模）若函数 在 上为增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对函数求导，根据题意可得 对 恒成立，列出不等式组，解之即可
求解.
【解析】依题意得 对 恒成立，
即 对 恒成立．
因为y＝ax＋a＋1的图象为直线，
所以 ，解得 ．
故选：B.
05 函数与导数图像之间的关系
15．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ， 为实数， 的导函数为 ，在同一直角坐
标系中， 与 的大致图象不可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先通过特值代入易得A项符合，对于B, C, D项，通过图象观察分析可得 ，结合两函数图象交
点的位置舍去C项.
【解析】由 可得
对于 ，当 时，在第一象限上 递减，对应 图象在第四象限且递增，故
A项符合；
对于 在第一象限上 与 的图象在 上都单调递增，故 且 ，则 .
又由 可得 ，即 与 的图象交点横坐标应大于1，显然C项不符合，
B, D项均符合.
故选：C.
16．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数 的大致图象如图所示（其中 是函数 的
导函数），则 的图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 的图象可知，当 时 ，当 时 ，即可求解.
【解析】由 的图象可知，
，
所以当 时， ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
结合选项可知：C正确，ABD错误.
故选：C
17．（2013·广东广州·一模）已知函数 的图像如图所示，则其导函数 的图像可能是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.
【解析】由图可知，当 时， 单调递减， ，由此排除BD选项.
当 时，从左向右， 是递增、递减、递增，
对应导数的符号为 ，由此排除C选项，
所以A选项正确.
故选：A
06 利用导数比较大小（含构造函数）
18．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用放缩法可得 ， ，作差可比较 的大小.
【解析】令 ,求导得 ，所以 ，所以 ，
， ，所以 ，
．所以 .
所以 .
故选：C.
19．（2024·山东泰安·模拟预测）已知定义域为R的偶函数 在 上单调递减，则下列结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对所要比较的式子适当变形，构造函数 证
得 ，结合已知即可进一步求解.
【解析】因为定义域为R的偶函数 在 上单调递减，所以定义域为R的偶函数 在 上
单调递增，
而 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 单调递增， 在 单调递减，所以 ，
即 ，
而定义域为R的偶函数 在 上单调递增，
综上所述， .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是构造出适当的函数，从而得出 ，由此即可顺利得
解.
20．（2024·河北沧州·模拟预测）已知 ，设 ， ， ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性，以及构造函数利用导数求解单调性即可.
【解析】当 时，由 得 ，所以 为偶函数．
又 ，
当 时，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，所以 在 上单调递减．， ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，所以 ，
即 ，所以 ，得 ．
故 ，从而 ，即 .
故选：C．
21．（23-24高二下·四川成都·期中）已知 ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，利用导数研究其单调性判定选项即可.
【解析】令 ，则 ，
显然 ，即 在 上单调递增，
而 ， ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即A错误；
易知 ，则 ，即C正确；且 ，即B错误；
由于 与 大小不确定，则 的大小不能确定，即 大小不确定，
如其中有 时， ，故D错误.
故选：C
22．（2024·安徽·三模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，构造函数 ，利用导数研究单调性，比较出 ，构造函数
，比较出 ，即可求解.
【解析】依题意 ，则 .
令 ，故 ，
故当 时， 在 上单调递增，
故 ，则 .令 ，
则 ，故当 时， 在 上单调递增，
则 ，则 .
综上所述： .故选：A
23．（2024·山西·三模）已知函数 ，若 ，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先得到 关于直线 对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造相关函数
的单调性得到 ，则比较出大小关
系.
【解析】因为 ，
则 ，
则 关于直线 对称，
当 时， ，
根据复合函数单调性知 在 上单调递减，
且 在 上也单调递减，
则 在 上单调递减，再结合其对称性知 在 上单调递增.
令 ，则， ，
所以 在 上单调递增，且 ，所以 即 .
令 ，则 ，
设 ， ，
所以 单调递减且 ，因此 ，所以 单调递减且 ，所以 ，即 .
由 得 ，所以 .
又因为 ，且 ，
所以 .
设 ， ，则 ，
则 在 上单调递增，则 ，
即 ，即 在 上恒成立，
即 ，所以 .
所以 ，则 ，
故 ，而 ，
即 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到 的对称性和单调性，再构造新函数，利用导数的单调性得到
，则比较出三者大小.
07 利用导数解不等式
24．（23-24高二下·四川成都·期中）已知函数 ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】首先判断函数 的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【解析】 的定义域为R，
，
所以，在 上， ，则函数 单调递减，
在 上， ，则函数 单调递增.
因为 ，所以 是偶函数.
由 ，可得 ，
于是 ，即 ，
化简得 ，解得 ，即 .
故选：D.
25．（2024·湖南永州·三模）已知函数 ，其中 是自然对数的底数.若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导后结合基本不等式可得 在 上单调递增，令g ，从而可得 在 上单调递增，且 为奇函数，从而可化为 ，求解即可.
【解析】 ，
在 上单调递增.
令 ， 在 上单调递增，
因为 ，所以 为奇函数，
则 化为
所以 ，解得 ，
.
故选：C
26．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在 上的奇函数 满足， ，当 时，
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，根据已知条件判断 的单调性，奇偶性，结合 的模拟草图，数形
结合即可求得结果.
【解析】令 ，则 ，由题可知，当 时， ，故 在
单调递减；
又 为奇函数， 也为奇函数，故 为偶函数，则 在 单调递增；又 ，则 ，画出 的模拟草图如下所示：
当 时， ，则 ，数形结合可知，此时 ；
当 ，因为 为 上的奇函数，故 ，不满足题意；
当 ， ，则 ，数形结合可知，此时 ；
综上所述： 的解集为 .
故选：A.
27．（23-24高二下·河南·期中）已知定义在 上的单调递增函数 满足 恒成立，其中
是函数 的导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，构造函数 ，讨论函数 的单调性，将
转化为 ，结合单调性解不等式即可求解.
【解析】由题意知， 在 上单调递增，则 ，
不等式 恒成立转化为 ，即 ，设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，则 ，
由 ，得 ，
即 ，所以 ，解得 ，
即实数m的取值范围为 .
故选：D
08 抽象函数与导数
28．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，且有
，且对任意 都有 ，则使得 成立的 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】构造函数 ，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解.
【解析】由 知 是奇函数， ，
设 ，则 ，
在 上单调递增，由 得 ，
即 ， ，得 的取值范围是 .
故答案为：
29．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，满足 ，
， ，当 时， ，则不等式 的解集为 ．【答案】
【分析】令 ，由 及 可得， ，从而得 关于
对称，再令 ，则原不等式 等价于 ，利用导数得 在 上
单调递增，再由 得 关于 对称，从而得 在 上单调递增且有 ，
从而得答案.
【解析】解：令 ，因为 ，
所以 ，所以 （ 为常数），
又因为 ，所以 ，所以 ＝0，
即 ，则函数 关于 对称，
令 ，则原不等式 等价于 ，
当 时，因为 ，
则 ，
此时 单调递增．
因为 ，所以函数 关于
对称，
则函数 在 时单调递增，
又因为 ，则 ， ，
所以 的解集为 ，
即原不等式的解集为 ．故答案为： ．
【点睛】思路点睛：对于解抽象函数(可导)的不等式的试题，要构造函数，利用导数确定函数的单调性再
结合函数的对称性(周期性)求解即可.
09 用导数解决实际问题
30．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）采矿、采石或取土时，常用炸药包进行爆破，部分爆破呈圆锥漏
斗形状（如图），已知圆锥的母线长是炸药包的爆破半径R，若要使爆破体积最大，则炸药包埋的深度为
【答案】
【分析】根据题意，得到 ，求得 ，利用导数求得函数的单调性与最
大值点，即可求解.
【解析】由题意，圆锥的体积为
因为 ，可得 ，
所以 ，
可得 ，
令 ，可得 ；令 ，可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以，当 处，函数 取得极大值，也时最大值，
所以炸药包埋在 深处.故答案为： .
31．（23-24高三上·上海嘉定·期中）据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到
污染源距离的平方成反比，比例常数为 .现已知相距18km的 ， 两家化工厂（污染源）的污染
强度分别为 ， ，它们连线段上任意一点 处的污染指数 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设
.若 ，且 时， 取得最小值，则 的值为 .
【答案】
【分析】根据 ，得 ，分别求出两个污染指数即可得出函数关系，求出函数的导
函数，依题意可得 ，即可求出 的值，再检验即可.
【解析】依题意点 受 污染源污染程度为 ，点 受 污染源污染程度为 ，其中
为比例常数，且 ，
从而点 处受污染程度 ， ；
因为 ，所以 ，则 ，
当 时， 取得最小值，必是极小值，所以 ，
解得 ，
此时
， ，
当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增，
所以在 时， 取得极小值，也是 的最小值，所以污染源 的污染强度 的值为 ．
故答案为：
32．（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道 相交于点 ，一根长度为 的直杆
的两端点 分别在 上滑动（ 两点不与 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），
直杆上的点 满足 ，则 面积的取值范围是 .
【答案】
【分析】令 ，利用直角三角形边角关系及三角形面积公式求出 的面积函数，再
利用导数求出值域即得.
【解析】依题意，设 ，则 ，
因此 的面积 ， ，
求导得 ，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递增，在 上递减，
因此 ，而 ，则 ，
所以 面积的取值范围是 .
故答案为：
一、单选题1．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递
增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，参变分离得到 在
上恒成立，利用基本不等式求出 的最小值，即可求出参数 的取值范围，再根据充分条件、必要条件
的定义判断即可.
【解析】函数 定义域为 ，则 ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
因为 ，
所以“ ”是“ 在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 （ ）
A．是偶函数，且在区间 上单调递增 B．是偶函数，且在区间 上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间 上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
【答案】A
【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性.【解析】 的定义域为 ， ，
为偶函数；
当 时， 在区间 上单调递增.
故选：A.
3．（2024·天津红桥·二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 可排除A，再求导分析单调性可得C正确，BD错误.
【解析】当 时， ，可排除A，
，
令 ，解得 或 ，
所以 在 和 上单调递增；在 上单调递减；
结合图象可得C正确；故选：C.
4．（2024·山东潍坊·三模）已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时， ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.
【解析】不等式 等价于 ，即 ，
构造函数 ，所以 ，
因为 时， ，所以 对 恒成立，
所以 在 单调递减，
又因为 ，
所以不等式 等价于 ，所以 ，
即 的解集为 .
故选：A.
5．（2024·江西宜春·三模）已知 ， ， ，其中 为自然对数的底数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先将 化成统一形式，构造函数 ，研究单调性进而比较大小即可.
【解析】由题意得 ， ， ；
设 ，则 ，当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：A.
6．（2024·山东济南·一模）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为 ，所以 ，即求直线 的纵截距 的最小值，设
，利用导数证明 在 的图象上凹，所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距
越小，据此即可求解.
【解析】因为 ，所以 ，
所以即求直线 的纵截距 的最小值，
设 ，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 在 的图象上凹，
所以直线与 相切，切点横坐标越大，纵截距越小，
令切点横坐标为 ，所以直线过点 ，且直线 斜率为
所以 的直线方程为 ，
当 时， ，即直线 与 相切时，
直线 与 无交点，
设 ，所以 ，
所以 在 时斜率为 ，在 时斜率为 ，均小于直线的斜率，
所以可令直线 在 处与 相交，在 处与 相交，
所以直线方程为 ，
所以截距为 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于 ， ，即求直线 的纵截距
的最小值的分析.
7．（2024·重庆·二模）设函数 ，点 ，其中 ，且
，则直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】 ，令 ，所以 ，利用不等式
可得答案.
【解析】不等式 ，证明如下，
即证 ，
令 ，设 ， ，
可得 在 上单调递减，所以 恒成立，
所以 成立，即 .
因为 ，令 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
即 ，则有 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
8．（2023·四川达州·一模）已知 ， ，若不等式 的
解集中只含有 个正整数，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知 ，二次求导，可得当 时， ，由 有且只有 个
正整数解，即 有且只有 个正整数解，求导可知 至多有一个解，则需满足 ，
， ，再根据导数可得 在 上单调递减，即可证当 时， ，即
可得参数范围.
【解析】由 ，
可得 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，
即当 时， ， 单调递增，所以当 时， ，
所以若不等式 的解集中只含有 个正整数，
即不等式 的解集中只含有 个正整数，
又 的定义域为 ，且 ，
则 ，
设 ，则 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 至多有一个解，
所以若 有且只有 个正整数解
则需满足 ，解得 ，
现证当 时， 在 上恒成立，
由 时， ，
即当 时， ， 单调递减，
所以当 时， ，
综上所述 ，
故选：C.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成
立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、多选题
9．（2024·山东·模拟预测）已知 分别是定义域为 的偶函数和奇函数，且 ，设
函数 ，则 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数 C．在 上单调递减 D．在 上单调递增
【答案】AD
【分析】根据奇、偶性得到方程组求出 、 的解析式，从而得到 的解析式，再由奇偶性的定
义判断 的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.
【解析】因为 ①，所以 ，
即 ②，联立①②，解得 ，
所以 ，定义域为 ，又 ，
所以 是奇函数，又 ，
所以 在 上单调递增，故A，D正确，B、C错误．
故选：AD
10．（2023·全国·模拟预测）数学模型在生态学研究中具有重要作用．在研究某生物种群的数量变化时，
该种群经过一段时间的增长后，数量趋于稳定，增长曲线大致呈“S”形，这种类型的种群增长称为“S”形
增长，所能维持的种群最大数量称为环境容纳量，记作K值．现有一生物种群符合“S”形增长，初始种群
数量大于0，现用x表示时间， 表示种群数量，已知当种群数量为 时，种群数量的增长速率最大．
则下列函数模型可用来大致刻画该种群数量变化情况的有（ ）A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】对各项的函数求导数，并对导数值进行研究(必要时再求导数的导数)，先检验导函数是否先增后
减，然后对于先增后减型，求得导数最大时自变量的值 ，代入函数表达式，看函数值是否满足
,进而作出判定即可.
【解析】对于A. ， ，当 ，即 时增长率取得最
大值， ，符合题意，故A正确；
对于B. ， ，
当 时， 单调递减，且最大值为 ，当 时， ， 单调递
增，且 ，所以当 时， 取到最大值，此时 ，符合题意，故B
正确；
对于C. ，
时 , 单调递增， 时， , 单调递减， 时 最大，此时 ，不合题意，故C错误；
对于D. ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
故当且仅当 时， 取得最大值，
，
不合题意，故D错误.
故选：AB
11．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，且 ，
，则（ ）
A． B．
C． 在 上是减函数 D． 在 上是增函数
【答案】ABD
【分析】令 ，可得 ，得出函数 的单调性及 ，进而判定A、B正
确；由 ，得到 ，设 ，利用导数求得函数 为单调
递增函数，且 ，可判定D正确.
【解析】令 ，可得 ，因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，可得 ，
由 ，即 ，可得 ，所以A正确；
又由 ，即 ，可得 ，所以B正确；
因为 ，可得 ，可得 ，
设 ，可得 ，
所以函数 为单调递增函数，又因为 ，
所以 ，所以 在 上是增函数，所以D正确.
故选：ABD.
【点睛】知识方法：构造法求解 与 共存问题的求解策略：
对于不给出具体函数的解析式，只给出函数 和 满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，
再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，
常见类型：（1） 型；（2） 型；（3） 为常数 型.
三、填空题
12．（2024·河北邢台·二模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是 （请用“<”连
接）．
【答案】【分析】根据给定条件，构造函数 ，再利用导数比较大小即可.
【解析】令函数 ， ，得 ，
即函数 在 上单调递增， ，则 ，
即 ，
令函数 ，得 ，
即即函数 在 上单调递减， ，则 ，
即
所以a，b，c的大小关系是
故答案为：
13．（2024·四川·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，则m的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意可知 在区间 有变号零点，结合变号零点与给定区间的关系求解即
可.
【解析】由题意知 ，
因为 在区间 上不单调，即 在区间 有变号零点，又 ，所
以 ， ， ，
所以 在区间 内，
所以 ，解得 ，即m的取值范围是 .故答案为： .
14．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则下
列说法正确的是 .
① 是奇函数 ②
③ ④ 时，
【答案】②③
【分析】
根据构造函数的规律由令 ，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得
②③④.
【解析】令 ，则 ，
若 是奇函数，则 ，取 时，即 ，但 ，故①错误；
因为 恒成立，且 ，所以 恒成立， 在 上为单调递增
函数，所以 ，故②正确；
由②可知，③正确；
因为 在 上为单调递增函数，所以当 时有 ，所以
，故④错误；
故答案为：②③
【点睛】关键点点睛：本题的关键是能把已知“已知定义在 上的函数 满足 ”翻译成
构造函数的原则之一：构造时导数为加法时原函数为乘法，且导数中无 时，原函数中一般有 .四、解答题
15．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数
(1)求 在 处的切线；
(2)比较 与 的大小并说明理由.
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】（1）求得 ，得到 ，且 ，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）求得 ，得到 在 上单调递增，结合 ，得到 即可得到
.
【解析】（1）解：因为函数 ，可得 ，
可得 ，且 ，
所以 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）解：由 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
又由 ，所以 时， ，即 在 上恒成立，
所以 ，即 .
16．（2024·山东·模拟预测）已知函数 ．(1)若曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值；
(2)讨论 的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对函数求导，结合题意有， ，即可求解 值；
（2）对函数求导，分 和 两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.
【解析】（1）因为 ， ， 所以 ，
曲线 在 处的切线与 垂直，
所以 ， 得 ；
（2）由 得 ，
当 时， 的定义域为 ，
令 得 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 的定义域为 ，
令 得
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
17．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的最小值为 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，即可对 进行分类讨论求解导函数的正负求解，
（2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数 ，将问
题转化为函数的最值问题进行求解.
【解析】（1）由题知 的定义域为 ， ．
①当 时， ，则 ，故 单调递增．
②当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单
调递增．
（2）由（1）知， ，且 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，解得 ，故 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以 ．
由题可得 在 上恒成立．
令 ，
则 ，
令 ，则 ，可得 在 上单调递减，
又 ，
故存在 ，使得 ，即 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
易知 ，
由于 ，故 ，
因此 ，故 ，即 的取值范围为 ．
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 （ 为 的导函数），讨论 的单调性.
【答案】(1) ；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数 的导数，再分段讨论求出 的单调区间即得.【解析】（1）当 时， ，求导得 ，
则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）函数 ，求导得 ，
则 ，其定义域为 ，求导得 ，
①若 ，则 ，函数 在 上单调递减；
②若 ，则当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
19．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由 个数 排列成的m行n列的
数表 称为 矩阵，其中 称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若 ，
，则 ，其中
.已知 ，函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 是 的两个极值点，证明： ， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意 ， ，求导得 ，从
而可以分 是否为0进行讨论， 时，可以继续分 是否大于0进行讨论，结合导数符号与函数单调性
的关系即可得解；
（2）构造函数 ，首先利用导数证明得到 ，进一步有
，从而即可顺利得解.
【解析】（1）由矩阵乘法定义知 ， ，∵ ，
∴当 时， ， 单调递增，
时，方程 的判别式 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 或 时， ，令 ，方程两根记为 ， ，
则 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
当 时， ，
当 和 时 ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
综上，当 时， 单调递增，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 和 上单调递增，在 上
单调递减.
（2）∵ 有两个极值点，由（1）知 ，
设 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 单调递增，
∴ ，
由（1）知 ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又由（1）知 在 上单调递减且 ，
∴ ，
∴ .
【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于讨论的时候做到不重不漏，第二问的关键在于构造适当的函数得
出 ，由此即可顺利得解.
