第18讲利用导数研究函数的单调性（原卷版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 18 讲 利用导数研究函数的单调性 【基础知识全通关】 一、函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数 在某个区间是增函数或减函数，那么就说 在这一区间具有 单调性，先看下面的例子： 函数 的图象如图所示。考虑到曲线 的切线的斜率就是函 数 的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即 时， 为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即 时， 为 减函数。 导数的符号与函数的单调性： y=f(x) 一般地，设函数 在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若 ，则 在这个区间上为增函数； ②若 ，则 在这个区间上为减函数； ③若恒有 f' (x)=0 ，则 在这一区间上为常函数. 反之，若 在某区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0）；若 在某区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）． 【微点拨】 1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上 ，即切线斜率为正 时，函数 在这个区间上为增函数；当在某区间上 ，即切线斜率为负时，函数 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。 2.若在某区间上有有限个点使 ，在其余点恒有 ，则 仍为增函数 （减函数的情形完全类似）。 即在某区间上， 在这个区间上为增函数； 在这个区间上为减函数，但反之不成立。 3. 在某区间上为增函数 在该区间 ； 在某区间上为减函数 在该区间 。 在区间(a,b)内， （或 f' (x)<0 ）是 f(x) 在区间(a，b)内单调递增（或减）的 充分不必要条件！ 例如： 而f(x)在R上递增. 4.只有在某区间内恒有 f' (x)=0 ，这个函数 y=f(x) 在这个区间上才为常数函数. 5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数 在区间（a，b）内可导， （1）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为常数函数。 【微点拨】 （1）若函数 在区间（a，b）内单调递增，则 ，若函数 在（a，b）内 单调递减，则 。（2） 或 恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法： 或 。 三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）在函数 的定义域内解不等式 或 ； （4）确定 的单调区间。或者： 令 ，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即 的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区 间分成若干个小区间，判断在各个小区间内 的符号。 【微点拨】 1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。 2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。 【考点研习一点通】 考点一：求函数的单调区间 例1、确定函数 的单调区间. 【变式1-1】确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3【变式1-2】求下列函数的单调区间： （1） （2） ； （3） ； f(x)(a1)lnxax2 1 【变式1-3】 已知函数 ，求函数 的单调区间并说明其单 调性。 【变式1-4】求函数 （a∈R）的单调区间。考点二：判断、证明函数的单调性 例2．当 时，求证：函数 是单调递减函数. 【变式2-1】当 时，求证：函数 是单调递减函数. 【变式2-2】已知函数 , 讨论函数 的单调性. 【变式2-3】设 a>0 ，讨论函数 f(x)=√x−ln(x+a)(x∈(0,+∞) 的单调性. 【变式2-4】已知函数， a＞0 ，讨论 的单调性. , w考点三：已知函数单调性，求参数的取值范围 例3． 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 【变式3-1】 已知函数 ， 。若 在 上是增函数，求 a的取值范围。 【变式3-2】已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．【变式3-3】设 恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区 间. 【变式3-4】已知f(x)=x2+1, g(x)=x4+2x2+2且F(x)=g(x)-f(x), 试问：是否存在实数 ，使F(x)在(-,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数. 【考点易错】 1. 若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 2. 已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围 为( ) A．(－∞，8) B．(－∞，16] C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 3.已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ．记 ， ， ，则 的大小关系是（ ）A． B． C． D． 4. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B． (0， 3) C．(1，4) D． (2，＋∞) 5. 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是______． 6.已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范 围． 7.已知向量a=（ ，x+1），b=（1―x，t），若函数 在区间（―1，1）上是 增函数，求t的取值范围。 【巩固提升】 1.设函数f＇(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(－1)=0，当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0， 则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是（ ） A．(－∞,－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1,+∞) C．(－∞,－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1,+∞) f (x)=3+xlnx 2．函数 的单调递增区间是 （ ） 1 1 1 (0, ) ( ,+∞) e (e,+∞) e e A． B． C． D．（ ，e） 3. 设 在（0，+∞）内单调递增， ， 则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数 的定义域为R， ，对任意 都有 成立，则不等 式 的解集是（ ） A. B. C. D. 5．设函数 在R上的导函数为 ，且 ，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ） A． B． C． D． 6.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由. 7. 设函数 为 的导函数． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 ． 8.已知函数 . （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围. 9. 已知函数 ． （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： ； （3）设 ，证明： ．10. 已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然对数的底数，实数a是常数． (1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性．