文档内容
第 18 节 等差数列及前 n 项和
基础知识要夯实
1． 等差数列的定义
如果一个数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数 ，我们称这样的数列为等差
数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示．
2． 等差数列的通项公式
如果等差数列{a}的首项为a，公差为d，那么它的通项公式是a ＝ a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1 n 1
3． 等差中项
如果A＝ ，那么A叫作a与b的等差中项．
4． 等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a＝a ＋ ( n － m ) d ，(n，m∈N )．
n m ＋
(2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N )，则a ＋ a ＝ a ＋ a.
n ＋ k l m n
(3)若{a}是等差数列，公差为d，则{a }也是等差数列，公差为 2 d .
n 2n
(4)若{a}，{b}是等差数列，则{pa＋qb}也是等差数列．
n n n n
(5)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N )是公差为md 的等差数列．
n k k＋m k＋2m ＋
5． 等差数列的前n项和公式
设等差数列{a}的公差为d，其前n项和S＝ 或S＝na＋ d.
n n n 1
6． 等差数列的前n项和公式与函数的关系
S＝ n2＋ n.
n
数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A、B为常数)．
n n
7． 等差数列的前n项和的最值
在等差数列{a}中，a>0，d<0，则S 存在最__大__值；若a<0，d>0，则S 存在最__小__值．
n 1 n 1 n
难点正本 疑点清源
1．等差数列的判断方法
(1)定义法：a－a ＝d (n≥2)；
n n－1
(2)等差中项法：2a ＝a＋a .
n＋1 n n＋2
2．等差数列与等差数列各项和的有关性质
(1)a ，a ，a ，a ，…仍是等差数列，公差为kd.
m m＋k m＋2k m＋3k
(2)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
(3)S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
(4)若n为偶数，则S －S ＝ d.
偶 奇若n为奇数，则S －S ＝a (中间项)．
奇 偶 中
3．等差数列与函数
在d≠0时，a 是关于n的一次函数，一次项系数为d；S 是关于n的二次函数，二次项系数为，
n n
且常数项为0.
典型例题剖析
考点一等差数列基本量的运算
[题组练透]
1．(2018·全国卷Ⅰ)记S 为等差数列{a}的前n项和，若3S＝S＋S，a＝2，则a＝( )
n n 3 2 4 1 5
A．－12 B．－10
C．10 D．12
【答案】B
【解析】设等差数列{a}的公差为d，由3S ＝S ＋S ，得3(3a ＋3d)＝2a ＋d＋4a ＋6d，即3a ＋2d
n 3 2 4 1 1 1 1
＝0.将a＝2代入上式，解得d＝－3，故a＝a＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
1 5 1
2．(2017·全国卷Ⅰ)记S 为等差数列{a}的前n项和．若a＋a＝24，S＝48，则{a}的公差为( )
n n 4 5 6 n
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】设等差数列{a}的公差为d，则由 得
n
即 解得d＝4.
3．(2022·西安质检)已知等差数列{a}的前n项和为S，且a·a＝12，a＝0.若a＞0，则S ＝( )
n n 3 5 2 1 20
A．420 B．340
C．－420 D．－340
【答案】D
【解析】设数列{a}的公差为d，则a ＝a ＋d＝d，a ＝a ＋3d＝3d，由a·a ＝12，得d＝±2，由a
n 3 2 5 2 3 5 1
＞0，a＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a＝2，故S ＝20×2＋ ×(－2)＝－340.
2 1 20
4．(2022·西安八校联考)设数列{a}是等差数列，且a ＝－6，a ＝6，S 是数列{a}的前n项和，则(
n 2 6 n n
)
A．S＜S B．S＝S
4 3 4 3
C．S＞S D．S＝S
4 1 4 1
【答案】B【解析】设{a}的公差为d，由a ＝－6，a ＝6，得 解得 于是，S ＝－9，S
n 2 6 1 3
＝3×(－9)＋ ×3＝－18，S＝4×(－9)＋ ×3＝－18，所以S＝S，S＜S，
4 4 3 4 1
故选B.
【方法技巧】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略
(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．
(2)求通项．a 和d是等差数列的两个基本元素．
1
(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
[提醒] 在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，
更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便
捷．
考点二 等差数列的判定与证明
【例1】若数列{a}的前n项和为S，且满足a＋2SS ＝0(n≥2)，a＝ .
n n n n n－1 1
(1)求证： 成等差数列；
(2)求数列{a}的通项公式．
n
【解析】(1)证明：当n≥2时，由a＋2SS ＝0，
n n n－1
得S－S ＝－2SS ，因为S≠0，所以 － ＝2，又 ＝ ＝2，
n n－1 n n－1 n
故 是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得 ＝2n，所以S＝ .当n≥2时，
n
a＝S－S ＝ － ＝ 当n＝1时，a＝ 不适合上式．
n n n－1 1
故a＝
n
【跟踪训练】1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a}是否为等差数列，并说明理由．
n
【解析】因为a＝S－S (n≥2)，a＋2SS ＝0，
n n n－1 n n n－1
所以S－S ＋2SS ＝0(n≥2)．
n n－1 n n－1
所以 － ＝2(n≥2)．
又 ＝ ＝2，
所以 是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以 ＝2＋(n－1)×2＝2n，故S＝ .
n
所以当n≥2时，a＝S－S ＝ － ＝ ，
n n n－1
所以a ＝ .又a －a ＝ － ＝ ＝
n＋1 n＋1 n
，
所以当n≥2时，a －a 的值不是一个与n无关的常数，故数列{a}不是一个等差数列．
n＋1 n n
2．(变条件)将本例条件“a ＋2SS ＝0(n≥2)，a ＝ ”变为“S(S －a)＋2a ＝0(n≥2)，a ＝2”，
n n n－1 1 n n n n 1
问题不变，试求解．
【解析】(1)证明：当n≥2时，a＝S－S 且S(S－a)＋2a＝0，
n n n－1 n n n n
所以S[S－(S－S )]＋2(S－S )＝0，
n n n n－1 n n－1
即SS ＋2(S－S )＝0，
n n－1 n n－1
因为S≠0，所以S－S ＝ .
n n n－1
又 ＝ ＝ ，故数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列．
(2)由(1)知 ＝ ，所以S＝ ，
n
当n≥2时，a＝S－S ＝－ .
n n n－1当n＝1时，a＝2不适合上式，故a＝
1 n
[解题技法]
等差数列的判定与证明方法
方法 解读 适合题型
对于数列{a}，a－a (n≥2，n∈N*)为同一常数
n n n－1
定义法
⇔{a}是等差数列
n
解答题中的证明问题
等差中 2a
n－1
＝a
n
＋a
n－2
(n≥3，n∈N*)成立⇔{a
n
}是等差数
项法 列
通项公 a＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立
n
式法 ⇔{a}是等差数列
n
选择、填空题中的判定
前n项
验证S＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数 问题
n
和公式
n都成立⇔{a}是等差数列
n
法
【提醒】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从
第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a－a＝d这一关键条件．
2 1
[过关训练]
1．已知数列{a}满足：a ＝2，a ＝3a ＋3n＋1－2n，设b ＝ ，求证：数列{b}为等差数列，
n 1 n＋1 n n n
并求{a}的通项公式．
n
【证明】因为b －b＝ ＝ ，
n＋1 n
所以{b}为等差数列，
n
又b＝ ＝0，所以b＝n－1，
1 n
所以a＝(n－1)·3n＋2n.
n
2．已知数列{a}满足(a －1)(a－1)＝3(a－a )，a＝2，令b＝ .
n n＋1 n n n＋1 1 n
(1)求证：数列{b}是等差数列；
n
(2)求数列{a}的通项公式．
n
【解析】(1)证明：因为 ，
所以b －b＝ ，
n＋1 n所以数列{b}是等差数列．
n
(2)由(1)及b＝ ＝ ＝1，
1
知b＝ n＋ ，
n
所以a－1＝ ，所以a＝ .
n n
考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关]
【例2】 (1)(2022·咸阳二模)等差数列{a}的前n项和为S ，若a ，a 是方程x2－8x＋1＝0的两根，
n n 4 10
则S ＝( )
13
A．58 B．54
C．56 D．52
(2)已知等差数列{a}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( )
n
A．100 B．120
C．390 D．540
(3)已知S 是等差数列{a}的前n项和，若a＝－2 014， ，则S ＝________.
n n 1 2 019
【答案】(1)D (2)A (3)8 076
【解析】(1)∵a，a 是方程x2－8x＋1＝0的两根，
4 10
∴a＋a ＝8，∴a＋a ＝8，
4 10 1 13
∴S ＝ ＝ ＝52.
13
(2)设S 为等差数列{a}的前n项和，
n n
则S ，S －S ，S －S 成等差数列，
10 20 10 30 20
∴2(S －S )＝S ＋(S －S )，
20 10 10 30 20
又等差数列{a}的前10项和为30，前30项和为210，
n
∴2(S －30)＝30＋(210－S )，解得S ＝100.
20 20 20
(3)由等差数列的性质可得 也为等差数列．
设其公差为d，则 ＝6d＝6，∴d＝1.
故 ＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，
∴S ＝4×2 019＝8 076.
2 019
[解题技法]一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则a
m
＋a ＝a ＋a(m，n，p，q∈N*)；数列S ，S －S ，S －S 也成等差数列； 也成等差数列．
n p q m 2m m 3m 2m
等差数列的性质是解题的重要工具．
【跟踪训练】
1．(2022·聊城模拟)设等差数列{a}的前n项和为S ，若S ＝104，a ＝5，则数列{a}的公差为(
n n 13 6 n
)
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等差数列{a}的公差为d.因为S ＝104，
n 13
所以 ＝104，所以13a＝104，解得a＝8.
7 7
因为a＝5，所以d＝a－a＝8－5＝3.
6 7 6
2．(2022·宁德二检)已知等差数列{a}满足a＋a＝14，aa＝33，则aa＝( )
n 3 5 2 6 1 7
A．33 B．16
C．13 D．12
【答案】C
【解析】设等差数列{a}的公差为d，
n
因为a＋a＝14，所以a＋a＝14，
3 5 2 6
又aa＝33，所以 或
2 6
当 时，d＝ ＝2，
所以aa＝(a－d)(a＋d)＝13；
1 7 2 6
当 时，d＝ ＝－2，
所以aa＝(a－d)(a＋d)＝13.
1 7 2 6
综上，aa＝13，故选C.
1 7
3．已知等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，若 ，则 ＝________.
n n n n
【答案】
【解析】由等差数列前n项和的性质，得 ＝ .
考点四 等差数列前n项和的最值问题[师生共研过关]
【例3】在等差数列{a}中，已知a＝13,3a＝11a，则数列{a}的前n项和S 的最大值为________．
n 1 2 6 n n
【答案】49
【解析】法一 通项法
设等差数列{a}的公差为d.
n
由3a＝11a，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以a＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.
2 6 n
由 得 解得 ≤n≤ .
因为n∈N*，
所以当n＝7时，数列{a}的前n项和S 最大，最大值为S＝ ＝49.
n n 7
法二 二次函数法
设等差数列{a}的公差为d.
n
由3a＝11a，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解得d＝－2，所以a＝13＋(n－1)×(－2)＝－2n＋15.
2 6 n
所以S＝ ＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
n
所以当n＝7时，数列{a}的前n项和S 最大，最大值为S＝49.
n n 7
[解题技法]
求数列前n项和的最值的方法
(1)通项法：①若a ＞0，d＜0，则S 必有最大值，其n的值可用不等式组 来确定；②若
1 n
a＜0，d＞0，则S 必有最小值，其n的值可用不等式组 来确定．
1 n
(2)二次函数法：等差数列{a}中，由于S ＝na ＋ d＝ n2＋ n，可用求函数最值
n n 1
的方法来求前n项和的最值，这里应由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定n的值．
(3)不等式组法：借助S 最大时，有 (n≥2，n∈N*)，解此不等式组确定n的范围，进而
n
确定n的值和对应S 的值(即S 的最值)．
n n
[过关训练]
1．已知等差数列{a}的前n项和是S，若S ＞0，S ＜0，则S 的最大值是( )
n n 15 16 nA．S B．S
1 7
C．S D．S
8 15
【答案】C
【解析】由等差数列的前n项和公式可得S ＝15a ＞0，S ＝8(a ＋a)＜0，所以a ＞0，a ＜0，则
15 8 16 8 9 8 9
d＝a－a＜0，
9 8
所以在数列{a}中，当n＜9时，a＞0，当n≥9时，a＜0，
n n n
所以当n＝8时，S 最大，故选C.
n
2．(2018·全国卷Ⅱ)记S 为等差数列{a}的前n项和，已知a＝－7，S＝－15.
n n 1 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)求S，并求S 的最小值．
n n
【解析】(1)设{a}的公差为d，
n
由题意得3a＋3d＝－15.
1
又a＝－7，所以d＝2.
1
所以{a}的通项公式为a＝2n－9.
n n
(2)由(1)得S＝ ＝n2－8n＝(n－4)2－16，
n
所以当n＝4时，S 取得最小值，最小值为－16.
n
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】 ，所以 为以 为首项公差 的等差数列，
所以 ，所以 ，
由 ，所以 ，故选：C.2．已知等差数列 的公差 为正数，等比数列 的公比为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，因为 ，
所以 ，
解得 .故选：B.
3．在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在等数列 中， ，
所以 ，解得 ，所以 ，故选：C
4．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、
己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支
纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，
地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅” ，以此类
推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”
重新开始，即“丙子” ，以此类推.今年是辛丑年，也是伟大、光荣、正确的中国共产党成立
周年，则中国共产党成立的那一年是（ ）
A．辛酉年 B．辛戊年 C．壬酉年 D．壬戊年
【答案】A
【解析】由题意知，天干是公差为 的等差数列，地支为公差为 的等差数列，
且 ， ，
因为 年为辛丑年，则 年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到 年为辛酉年，故选：A.
5．数列 中， ， ，那么这个数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以数列 是以5为首项，3为公差的等差数列，
则 .故选：B
6．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 取最大值时n的值为
（ ）
A．8 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，
∵ ，∴ ，∴ .
∵ ， ，∴ ，
∴当 取最大值时 .故选：D.
7．已知数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，数列 满足 若对任意的 ，
都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知 ，对任意的 ，都有 成立，即 ，即 ，
又数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，
，且 是单调递增数列，当 时， ，
，即 ，解得 .故选：B.
8．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将等差数列记为 ，其中第 节的容积为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以第 节的容积为 .故选：C.
9．定义：在数列 中，若满足 （ ， 为常数），称 为“等差比数列”。
已知在“等差比数列” 中， 则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】 ， ， ，
是以1为首项，2为公差的等差数列， ，
．故选：C.
10．已知数列 是等差数列， ，公差 ，则其前11项和等于（ ）
A．44 B．22 C．－44 D．－22
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .故选：A
11．设等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 和为 ，已知 ，
若 ，则正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：设等差数列 的公差为d，
，所以 ，则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，解得 .故选：A.
12．已知 和 的等差中项是4， 和 的等差中项是5，则 和 的等差中项是（ ）
A．8 B．6 C． D．3
【答案】D
【解析】∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ 和 的等差中项是 ．故选：D.
二、填空题
13．在等差数列 中， ，且 ，则 的最大值是________.
【答案】9
【解析】由等差数列的性质可知 所以 ，
那么 ，当 时等号成立，
所以 的最大值是9.故答案为：9
14．已知数列 中， ， ，若 为等差数列，则 ________.
【答案】0
【解析】因为 为等差数列，所以 ，
所以 ，解得 .故答案为：0
15．已知数列 中， ， ，则 ______．
【答案】【解析】∵ ，∴ ，∴数列 是等差数列，公差为 ，又 ，
∴ ，∴ ．故答案为： ．
16．设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 的最大值是__
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值是 .故答案为： .
三、解答题
17．在① ；② ；③ .这三个条件中任选一个补充在下面的问题
中.已知等差数列 的前n项和为 ，且公差 ，若___________.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求数列 的前n项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（Ⅰ）若选①：由 ，得 即
所以 .
若选②：设等差数列 的首项为 ，由 ，
得： 解得 ，
所以 .
若选③：当时 ；
当 时，
显然 时也满足 ，
；
（Ⅱ）由（I）知
，
则 .
18．已知正项数列 的前n项和为 ，满足 （ ， ）， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 的表达式.
【解析】（1）正项数列 的前n项和为 ，满足 （ ， ），所以 ，
整理得： ，
由于数列为正项数列，所以 （常数），
所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
所以 ，易见 也适合该式.
故 .
（2）由于 ，
所以
.
19．已知公差 的等差数列 ， 是 的前 项和， ， 是 和 的等比中
项.
（1）求 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，且 的前 项和为 ，求证 .
【解析】（1） 是 和 的等比中项，，即 ，
， ，则可解得 ， ，∴ ；
（2） ，
，
， .
20．已知正项数列 的前n项和为 ，且 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为等差数列，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ，
所以有 ，
由题意可知： ，化简得： ，
所以 ， ，
因此 ；
（2）由（1）可知： ， ， ，因为 为等差数列，
所以 ，因此 ，因为 ，因此有：
21．已知 是公差为 的等差数列， ，
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前10项和
【解析】 (1)因 是公差为 的等差数列， ， ，
所以当 时， ，
当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以
(2)由（1）得 ，
所以22．已知等比数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和
【解析】（1）在比数列 中，设等比数列 的公比为 ，由 ，
得 ，∴ ，
∵ ， ， 成等差数列，∴ ，
从而有 ，得 ，
∴ ；
（2）由 ，且 ，
得 ，
∴ ，
.
