文档内容
第 02 讲 导数与函数的单调性
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第10题,6分 利用导数求函数的单调区间 求已知函数的极值点
证明函数的对称性
利用导数证明不等式
2024年新I卷，第18题,17分 利用导数求函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
利用不等式求取值范围
函数对称性的应用
极值与最值的综合应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 利用导数研究具体函数单调性
利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
求在曲线上一点处的切线方程
2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 利用导数研究含参函数单调性
根据极值求参数
2023年新I卷，第19题,12分 含参分类讨论求函数的单调区间 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数求函数的单调区间
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 利用导数研究函数的零点
(不含参)
根据极值点求参数
用导数判断或证明已知函数的单 比较指数寡的大小
2022年新I卷，第7题,5分
调性 比较对数式的大小
含参分类讨论求函数的 利用导数研究不等式恒成立问题
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分
单调区间 裂项相消法求和
利用导数求函数的单调区间 利用导数证明不等式
2021年新I卷，第22题,12分
(不含参) 导数中的极值偏移问题
2021年新Ⅱ卷，第22题,12分 含参分类讨论求函数的单调区间 利用导数研究函数的零点
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1.理解函数的单调性与导数之间的关系2能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间
3.能够利用导数解决与函数单调性的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数
单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。
知识讲解
1. 导函数与原函数的关系
条件 恒有 结论
＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间
＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
(a，b)上可导
＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2. 利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f′(x)在各区间上的正负，
由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
[常用结论]
1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时， 恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单
调递减，则x∈(a，b)时， 恒成立.
2.若函数 f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则 x∈(a，b)时， ＞0有解；若函数 f(x)在
(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时， ＜0有解.考点一、 函数与导函数图象之间的关系
1．（浙江·高考真题）函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内，因此选D．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 轴的交点为 ，且图象在
两侧附近连续分布于 轴上下方，则 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导
函数 的正负，得出原函数 的单调区间．
2．（全国·高考真题）已知函数 的导函数的图像如下图，那么 的图像可
能是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案.
【详解】
因为 ， 的导数大于零，因此， ， 单调递增，
又 ， 的导数表示曲线 与 的曲线上任一点切线的斜率，
是单调递减的，故 增的慢，
是单调递增的，故 增的快，排除A、C，
又 ，即 与 在 的切线是平行的，排除B．
故选：D.
1．（浙江·高考真题）设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系
中，不可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有
单调性，但y=f（x）和y=f′（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D．
2．（浙江·高考真题） 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可
能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.
【详解】由导函数的图象可知：当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，只有选项C符合，
故选：C
3．（江西·高考真题）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则下面四
个图象中， 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用函数 的图象求得函数 的单调区间，进而得到正确选项.【详解】由题给函数 的图象，可得
当 时， ，则 ，则 单调递增；
当 时， ，则 ，则 单调递减；
当 时， ，则 ，则 单调递减；
当 时， ，则 ，则 单调递增；
则 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
故选：C
考点二、 利用导数求不含参函数的单调性
1．（2023·全国·高考真题）已知函数
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导,然后令 ,讨论导数的符号即可;
（2）构造 ,计算 的最大值,然后与0比较大小,得出 的分界点,再对 讨论即可.
【详解】（1）
令 ,则
则
当
当 ,即 .
当 ,即 .所以 在 上单调递增,在 上单调递减
（2）设
设
所以 .
若 ,
即 在 上单调递减,所以 .
所以当 ,符合题意.
若
当 ,所以 .
.
所以 ,使得 ,即 ,使得 .
当 ,即当 单调递增.
所以当 ,不合题意.
综上, 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性 在定义域内是减函数,若 ,当
,对应当 .
2．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个【分析】（1）先对 求导，利用导数的几何意义得到 ， ，从而得到关于 的方程组，
解之即可；
（2）由（1）得 的解析式，从而求得 ，利用数轴穿根法求得 与 的解，由此求
得 的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间 ， ， 与 上
的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得 的极值点个数.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
则 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得 ，
则 ，
令 ，解得 ，不妨设 ， ，则 ，
易知 恒成立，
所以令 ，解得 或 ；令 ，解得 或 ；
所以 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 和 .
（3）由（1）得 ， ，
由（2）知 在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， ，即
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， 在 上单调递减，
则 ，故 ，所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递增；当 时， ，则 单调递减；
所以 在 上有一个极大值点；
当 时， 在 上单调递增，
则 ，故 ，
所以 在 上存在唯一零点，不妨设为 ，则 ，
此时，当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增；
所以 在 上有一个极小值点；
当 时， ，
所以 ，则 单调递增，
所以 在 上无极值点；
综上： 在 和 上各有一个极小值点，在 上有一个极大值点，共有 个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断 与 的正负情况，充分利用 的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【答案】（1） 的递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调
性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令 ，命题转换为证明： ，然后构造对称
差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．
又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换
证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．再证明 ．令 ．
令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，
这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明
题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
1．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)若函数 有且仅有三个零点，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求导，导数值大于0来求单调递增区间即可；
（2）利用函数的单调性和取值情况，分析可得 的取值范围.【详解】（1）由 ，得 ，
令 ，得 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为
（2）令 ，解得 或 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表所示：
0 2
0 0
单调递减 1 单调递增 单调递减
由函数 有且仅有三个零点，
得方程 有且仅有三个不等的实数根，
所以函数 的图象与直线 有且仅有三个交点．
显然，当 时， ；当 时， ．
所以由上表可知， 的极小值为 ， 的极大值为 ，
故 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1) 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和
(2) .
【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负求出单调区间；
（2）先化简不等式参数分离，再根据最值得出最小值即可求参数范围.
【详解】（1）由题得函数 的定义域为 ，
当 时，，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 单调递减.
所以当 时， 的单调递减区间为 ，
单调递增区间为 和 .
（2）当 时， ，
等价于 ，
即 ，
即等价于当 时， .
令 ，
所以
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 .
3．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)当 时，判断 的零点个数.
【答案】(1)减区间为 ，增区间为 ；
(2)2个.
【分析】（1）求导，当 时，利用指数函数性质和余弦函数有界性可判断导数符号，当 时，利用二次导数判断导函数单调性，然后可得导函数符号；
（2）当 时，利用二次导数判断 的单调性，当 时，利用指数函数性质和正弦函数有界性可
判断函数值符号，当 时，记 ，利用导数研究其图象，根据 与 的图象
交点个数判断即可.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，则 ，
所以， 在 上单调递减.
当 时，记 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增.
综上， 的减区间为 ，增区间为 .
（2）当 时， ，则 ，
记 ，则 ，
当 时， ，所以 ， 在 单调递增，
所以 ， 在 上单调递增，
所以 ， 在 上无零点.
当 时，因为 ，
所以 ，此时 无零点.
当 时，记 ，则 ，
因为当 趋近于0时， 趋近于0，所以 的变化越来越慢，图象下凹，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 和 的图象如图，
由图可知，当 时，两个函数图象有一个交点，即 有一个零点.
易知 是 的一个零点.
综上，函数 共有2个零点.考点三、 利用导数求可分离型含参函数的单调性
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当 时， 即可.
【详解】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，
令 ，下证 即可.
，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得 即可.
方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题转化为
的恒成立问题，由此得证.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明： 只有一个零点① ；
② ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；
(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
(2)若选择条件①：
由于 ，故 ，则 ，
而 ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于 ，故 ，则 ，
当 时， ， ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
当 时，构造函数 ，则 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
注意到 ，故 恒成立，从而有： ，此时：
，
当 时， ，
取 ，则 ，
即： ，
而函数在区间 上单调递增，故函数在区间 上有一个零点.
，
由于 ， ，故 ，
结合函数的单调性可知函数在区间 上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以
在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查
导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单
调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．1．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数，分类讨论求区间；
（2）结合（1）得到的函数 单调性，分类讨论函数 最大值.
【详解】（1） 的定义域为 ，
求导数，得 ，
若 ，则 ，此时 在 上单调递增，
若 ，则由 得 ，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
综上，当 ， 的增区间为 ，无减区间，
若 ， 减区间为 ，增区间为 .
（2）由（1）知，当 时， 在区间 上为增函数，
函数 的最大值为 ，
当 时， 在区间 上为减函数，
函数 的最大值为 ，
当 时， 在区间 上为减函数，在 上为增函数，
函数 的最大值为 ，
由 ，得 ，
若 时，函数 的最大值为 ，若 时，函数 的最大值为 ，
综上，当 时，函数 的最大值为 ，
当 时，函数 的最大值为 .
2．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）要证明 ，只要证 即可，设 ，利用导数求得最值即可证明．
【详解】（1）函数 的定义域为 ，且 ．
当 时， 恒成立，
所以 在区间 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， 在区间 上单调递增，
当 时， 在区间 上单调递减．
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）当 时，因为 ，所以要证 ，只要证明 即可，
即要证 ，等价于 （*）．
令 ，则 ，
在区间 上， 单调递减；在区间 上， 单调递增，
所以 ，所以 （当且仅当 时等号成立），
所以（*）成立，当且仅当 时，等号成立．
又 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 成立．
综上所述，原不等式成立．
3．（2024·新疆·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有三个不同的零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数求导后，分 ， ， ， 四种情况讨论导数的正负，从而可求出函
数的单调区间；
（2）由（1）可知当 时， 可能有三个不同的零点，然后分 和 两种情况结合零点存
在性定理与函数的单调性讨论零点的个数.
【详解】（1）因为 的定义域为 ，且 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 时恒成立，当且仅当 时等号成立，所以 在 上单调递增；
当 时， ，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）得，当 时， 至多有两个零点，不符题意；
当 时， 至多有一个零点，不符题意；
当 时， 的极大值 ， 至多有一个零点，不符题意；
当 时， 的极小值 ， 的极大值 ， 至多有
两个零点，不符题意；
当 时，因为 在 上单调递增，且 ，
，所以 在 上有且只有一个零点，
因为 在 上单调递减， ，且 ，
所以 在 上有且只有一个零点，
因为 在 上单调递增， ，
令 ，则 ，令 ，则
，
因为当 时， ，
所以 在 上递增，即 在 上递增，
所以 ，所以 在 上递增，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 ，
所以 ，
故 在 上有且只有一个零点，
所以 有三个零点，综上，当 时， 有三个不同的零点.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决函
数零点问题，第（2）问解题的关键是当 时，结合（1）当 时， 的单调区间和零点存在性定
理分析判断，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，数列 满足 ，且
①比较 ， ，1的大小
②证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)① ；②证明见解析
【分析】（1）求出定义域，求导，分 和 ， ， 四种情况，得到函数单调性；
（2）①求导，得到 ，故 ，令 ，求导得到函
数单调性，得到 ，从而确定 ，证明出结论；
②要证 ，即证 ，由于 ，故 成立.
【详解】（1）由题意知 的单调性为 ，
.
当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）①当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ， ， ， ， ，
令 ，
，
所以 在 上单调递减，且 ，
因为 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则 .
②要证 ，即证 ，
又 ， ，即证 .
所以 ，即 ，
所以 成立，
故 .
【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中
的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知
的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.
5．（2024·广西桂林·三模）已知 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 且 有2个极值点 ， ，求证： ．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，分 、 、 和 四种情况讨论，结合 的正负，进而
得 单调性；
（2）把原不等式转化为 ，进而构造函数 ，
求出导函数，利用导函数求出单调性区间，然后利用函数单调性求出最值进行比较大小即可
【详解】（1） 的定义域为 ，
由题可得 ，
设 ，则 在 上单调递增，且 ，
若 ，则 ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调
递增；
若 ，则 时， ， 单调递减， 或 时， ，
单调递增；
若 ，则 ， 在 上单调递增；
若 ，则 时， ， 单调递减， 或 时， ， 单调
递增，
综上，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
（2）由（1）知 时， 恒有2个极值点 ， ，且 ， ，
所以 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
在 上单调递减， ，
所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以
，
所以 ．
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是构造函数 ，利用导数判断单调
性求出最值，证得命题成立.
考点 四 、 利用导数求不可分离型含参函数的单调性
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一的极值点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，分 ， ， 三种情况讨论，综合可得；
（2）由（1）得 ，表示出 得 的范围，并代入所证不等式，消去a得关于
的不等式，构造函数判单调性得最值即可证明.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，此时 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递减；当 时， 在 上有零点 ，
当 和 时， ，所以 在 和
上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增．
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，在 上单
调递增．
（2）由题意可知 ，
若 存在唯一的极值点 ，
由（1）可知 且 ．
因为 ，
要证 ，
只需证 ①．
因为 ，所以 ．
将 代入①整理可得，只需证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即原不等式成立．
2．（2024·广西河池·模拟预测）已知函数 ，定义域为 .
(1)讨论 的单调性；
(2)求当函数 有且只有一个零点时， 的取值范围.
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）求导，分 和 ，根据二次方程根的个数以及韦达定理分析判断 的符号，
进而可得 的单调性；
（2）参变分离可得 ，构建 ，求导，利用导数判断 的单调性，进而可
得结果.
【详解】（1）因为 ，
（ⅰ）当 ，即 时，则 在 内恒成立，
可知 在 内单调递增；
（ⅱ）当 ，即 或 时，可知 有两个不相等的根 ，
不妨令 ，可知 ，
①若 ，因为 ，可知 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增；
②若 ，因为 ，可知 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增；
综上所述：当 时， 在 内单调递增；当 时， 在 内单调递减，在 内单调递增；
当 时， 在 内单调递减，在 内单
调递增.
（2）若 ，可知 在 内无零点，不合题意，可知
令 ，整理得 ，
构建 ，
原题意等价于 与 的图象有且仅有一个交点，
因为 ，
构建 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
则 ，即 在 内恒成立，
可知 在 内单调递减，
且当 趋近于0时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于0且 ；
的大致图象如图所示，
可得 ，即 ，所以 的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
1．（2024·内蒙古·三模）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得 ，分类讨论可求单调区间；
（2）由已知可得 ，令 ，可得 ，进而由 单调性可得
，求得函数 的最大值即可.
【详解】（1） 的定义域为 .
关于 的方程 ，
当 时， ， ，所以 在 上单调递增.
当 时， ，此时 ，
，所以 在 上单调递增.
当 时，则 是方程 的两根.
又 ，所以 ，
令 ，解得 或 ，令 ，解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由 ，可得 ，即 .
令 ，易知 单调递增.
由 ，可得 ，则 ，即 .
设 ，则 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
所以 ，则 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题第2小问的解决关键是，转化 得 ，从而利用同构
法即可得解.
2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
【分析】（1）求导，分 和 讨论判断 正负，得解；
（2）根据题意，问题转化为 有两解，令 ，利用导数判断函数的单调性极值情
况得解；
（3）根据题意，问题转化为 ，对 恒成立．当 时，上式显然成
立；当 时，上式转化为 ，令 利用导数求出最值得解.
【详解】（1） ， ，当 时， ，所以 在 上单调递增．
当 时，令 ，则 ．
若 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
若 ，即 时，方程 的根为 ，
当 时， 或 ， 在 和 上单调递
增；
当 时， ， 在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和
上单调递增，
在 上单调递减．
（2）令 ，则 ．
令 ，则 ．
所以当 时， ， 在 上单调递减．
当 时， ， 在 上单调递增．
又当 时， ，且 ；当 时， ，
所以当 时， 先减后增，且在 处有最小值 ，
此时直线 与 有两个交点，
所以实数 的取值范围为 ．
（3）因为 ，即 ，
即 ，对 恒成立．
当 时，上式显然成立；
当 时，上式转化为 ，
令 ， ，，所以函数 在 上单调递增，
， ，
综上所述，实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为 在 上恒成立，构造函数并利用导数研
究单调性求最值，进而确定参数范围.
考点 五 、 根据函数单调性求参数值或范围
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
2．（2023·全国·高考真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围
是 .
【答案】
【分析】原问题等价于 恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得 ，由右侧函数的单调性可得实数 的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，故 ，而 ，故 ，
故 即 ，故 ，
结合题意可得实数 的取值范围是 .
故答案为： .
3．（2023·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．m>1
【答案】B
【详解】首先求出 的定义域和极值点，由题意得极值点在区间 内，且 ，得出关于 的
不等式组，求解即可．
【分析】函数 的定义域为 ，
且 ，
令 ，得 ，
因为 在区间 上不单调，
所以 ，解得：
故选：B.
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 在区间 单调递增，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【分析】由题意将问题转化为 在区间 上恒成立，利用分离参数法，结合导数研究最
值即可得到答案.
【详解】因为函数 在区间 单调递增，所以 在区间 上恒成立，即
，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，故
，即 的最大值为 ，
故选：B
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数 的导函数，利用换元法将题目条件转化为 在 上恒成立；再构造函
数 ，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ，
则 ，
所以 在 上恒成立.
又因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，
故 .
故选：D.
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据条件得 即 在 上恒成立，构造函数 ， ，
由二次函数的性质求出 的最值即可解决问题.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ， ，变形得 ，因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， ，所以 .
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为 在 上有解，得到 在 上有解，令
，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】因为函数 ，可得 ，
因为函数 在 上存在单调递减区间，
可得 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ，则 ，且 ，
当 时， ，所以 ；当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，所以 .
故选：D．
【点睛】结论点睛：“恒成立问题”与“有解问题”在等价转化上的区别：
恒成立问题 有解问题
① 恒成立 ； 恒成立
① 有解 ；
．
有解 ．
② 恒成立 ；
② 有解 ；
恒成立 ．
有解 ．
③ 恒成立
③ 有解
；
；
恒成立
有解
． ．
④ ，使得
④
．
．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相
应函数的最值求得参数范围.【详解】因为函数 是 上的增函数，所以 在
上恒成立，
即 在 上恒成立．令 ， ,则 ，
则当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ．
故选：C．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）在区间 上随机取一个实数 ，使 在 上单调递增的
概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得函数 为增函数的等价条件，再由几何概型公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，即 ，
则所求概率为 .
故选：D
二、解答题
3．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）将原函数求导，就参数 进行分类讨论导函数的符号，即得函数的单调性；
（2）构造函数 ，在条件 下，判断 的符号，得到 得证.
【详解】（1） 的定义域 ,
若 则 在 上单调递增；若 当 时， 则 单调递减， 时， 则 单调递增.
综上：当 时， 在 上单调递增，无减区间；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
（2）因 ，设 则 ，
则 在 上单调递减， 故 .
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)单调增区间为 ，单调减区间为
(2)
【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得；
（2）通过代入不等式整理成 在 上存在实数解问题，故可转化成求函数
在 得最小值问题，计算即得.
【详解】（1）当 时， ，
∴ ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）原条件等价于： 在 上存在实数解．
化为 在 上存在实数解，
令 ，
则 ，
∴在 上， ，得 ，故 在 上单调递增，∴ 的最小值为 ，
∴ 时，不等式 在 上存在实数解．
5．（2024·江西南昌·一模）已知函数 .
(1)求 的单调递减区间；
(2)求 的最大值.
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）求导得 ，令 可求 的单调递减区间；
（2）由（1）易判断 在 时单增， 在 时单减，进而求出 .
【详解】（1） ，令 ，得 ，即 ，
所以 的单调递减区间为 ；
（2）当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，即 的最大值为 .
6．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ， .
(1)讨论 的单调性.
(2)若 使得 ，求参数 的取值范围.
【答案】(1)当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增.
(2)
【分析】（1）对 求导数，然后分类讨论即可；
（2）直接对 和 分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由 ，知 .
当 时，有 ，所以 在 上单调递减；当 时，对 有 ，
对 有 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）当 时，由（1）的结论，知 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以对任意的 都有 ，
故 恒成立，这表明此时条件不满足；
当 时，设 ，由于
，
，
故由零点存在定理，知一定存在 ，使得 ，
故 ，从而 ，这表明此时条件满足.
综上， 的取值范围是 .
7．（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
【答案】(1) ，
(2)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；
（2）由（1）可得 ，利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
又 在 处的切线方程为 ，
所以 ， ，
解得 ， ．
（2）由（1）可得 定义域为 ，则 ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
则 在 处取得极小值，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
因此极小值为 ，无极大值．
8．（2024·浙江·三模）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若曲线 在点 处的切线与二次曲线 只有一个公共点，求实数a的值．
【答案】(1)单调增区间： ，单调减区间： ．
(2) 或 ．
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）首先求出函数的切线方程，与曲线联立方程，分析 得出结论.
【详解】（1）易知 定义域为R， ，
所以 ， ， ， ．
故 单调增区间： ，单调减区间： ．
（2）因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线为
把切线方程 代入二次曲线方程 ，得 有唯一解，
即 且 ，即
解得 或 ．
9．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在 处的切线方程；
(2)若函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）求出 ，切点为 ，直接写出切线方程；
（2）转化为 对于 恒成立，求实数a的取值范围.
【详解】（1）当 时， ， ，
， ， ，
所以 的图象在 处的切线方程为： .
（2） ，
若函数 在 上单调递增，则 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，
当 时， ，
则函数 在 上单调递增，所以 ，
故 .
10．（23-24高三上·湖北·期中）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数 的单调性.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出 ，从而得到 ，求
出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分 ， 和 三种情况，讨论得到函数
的单调性.
【详解】（1） ，由已知 ，
∴ 得
又
∴曲线 在点 处的切线方程为
化简得：
（2） 定义域为R，
，令 得 或
①当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
故 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
②当 即 时， 恒成立，
故 在R上单调递增；
③当 即 时，
令 得 或 ，令 得 ，
在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上，当 时， 在 单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在R上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
一、单选题
1．（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，转化为 在 上恒成立，令 ，利用导数求得函数 单调递
减，得到 ，得出 ，即可求解.【详解】由函数 ，可得
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：D．
2．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，且 在区间 上单调递
增，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．-1
【答案】C
【分析】根据题意，转化为 在 上恒成立，对于使得 取得最小值时，直线
和函数 的图象相切，求得 上的一点 的切线方程为 ，得到
，令 ，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】由 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
对于使得 取得最小值时，直线 和函数 的图象相切，
又由 ，可得 ，则 ，
可得 在点 的切线为 ，即 ，
令 ，所以 ，
令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、解答题
3．（2024·四川凉山·三模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有三个零点，求实数 的取值范围，
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导 ，分类讨论 的范围求解 单调性；
（2）由（1）单调性进行判断 具有三个零点，进行求解 的取值范围.
【详解】（1）求导
当 时
所以函数 在 单调递减，在 单调递增；
当 时， 或 .
若 即 时， 或 ,
所以函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增；
若 时， 函数 在 单调递增
若 即 时， 或 ．
所以函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增；综上：当 时， 在 单调递减，在 单调递增；
当 时，函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增；
当 时， ，所以函数 在 单调递增；
当 时，函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增；
（2）由（1）知当 时函数 至多两个零点，不满足条件．
当 时，函数 至多一个零点，不满足条件；
当 时函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
，函数 至多一个零点，不满足
当 时，函数 在 单调递增， 单调递减， 单调递增．
，令 ，
在区间 单调递减， 单调递增，
即
综上： 的取值范围是4．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 恒成立，求实数 的取值集合.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，分类讨论 和 ，即可求解函数的单调区间；
（2）结合（1）知，当 时，不合题意，则 ，将 恒成立等价于 ，令
，利用导数研究 的单调性即最值，即可求解.
【详解】（1）由题意得： 的定义域为 ，
，
当 时， ，则 单调递减区间为 ，无单调递增区间，
当 时，令 ，解得： ，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
综上所述： 时，则 的单调递减区间为 ，无单调递增区间，
时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）当 时， ，不合题意，
当 时，由（1）知 ，
则 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
实数 的取值集合为 .
5．（2024·天津河西·三模）已知函数 ， ，其中 ．
(1)若 ，求实数a的值
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若存在 使得不等式 成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导可得 ，由 代入计算，即可求解；
（2）求导可得 ，然后分 讨论，即可求解；
（3）根据题意，由 分离参数可得 ，然后构造函数求导得最值即可得到结果.
【详解】（1）因为 ，则 ，
由 可得 ，解得 .
（2）函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时，令 ，可得 或 ，
①当 ，即 时，
对任意的 ， ， 的单调递增区间为 ．
②当 ，即 时，，得 或 ， ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
③当 ，即 时
，得 或 ； ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
综上所述， 时，函数 的单调增区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .
（3）由 ，可得 ，即 ，其中 ，
令 ， ，
若存在 ，不等式 成立，则 ， ，
，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以函数 在端点 或 处取得最小值．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因此，实数 的取值范围是 ．
6．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；(2)若函数 有两个极值点，
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明：函数 有且只有一个零点．
【答案】(1)答案见解析；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，再分 、 、 三种情况，分别求出函数的单调区间；
（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时， 恒成立，所以 在 单调递减；
当 时，令 ，即 ，解得 ， ，
因为 ，所以 ，则 ，
所以当 时 ，
当 时 ，
当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时，此时 ，
所以 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上可得：当 时 在 单调递减；
当 时 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知 ．（ⅱ）由（1） 在 上单调递减，
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
又 ，所以 ，则 ，
又 ，
又 ，
所以 在 上没有零点，
又 ，则 ，则 ， ，
则 ，
所以 ，所以 在 上存在一个零点，
综上可得函数 有且只有一个零点．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数 的值；
(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出导函数 ，再转化为 恒成立问题，令 ，然后求导研究
的单调性，求出其最小值，根据最小值大于等于 ，求得实数 的值；
（2）由（1）中的分析可得到 ，然后构造函数证得 ，再进行放缩，利用裂项相消
法证明即可.
【详解】（1）由题意，得 ，
由函数 在 上单调递增，得 在 上恒成立，
令 ，则 ，当 时，因为 ，所以 恒成立，
则 在 上单调递增，又 ，所以 恒大于等于0不成立.
当 时，由 得 ，
所以当 ，当 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，
若 恒成立，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以当 时， .
综上，若函数 在 上单调递增，则 .
（2）由（1）得，当 时， 恒成立，
即 ，当且仅当 时等号成立，
令 ，则 ，
所以
令 ，则 恒成立，
所以函数 在 上单调递增，
故当 时， ，即 ，
所以 ，
所以
，
故 得证.
【点睛】关键点点睛：在第二问的证明中，关键需要利用（1）中的结论，得出 ，再巧妙赋值 ，得出 ，
其次，还需要联想 的大小关系，构造函数 得出 ，
即可得出 ，再累加即可得证.
8．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 ，求函数 在区间 上的零点个数.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，再分 和 两种情况讨论即可得解；
（2）结合（1）分 ，和 两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，再结合零点的存在性
定理即可得解.
【详解】（1）定义域为 ，由题意得 ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增.
当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2） ，
由（1）知当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以由零点存在性定理知，函数 在 上有1个零点；
当 时，若 ，则 ，若 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
可得 ，
当 时， ，此时 在 上有1个零点，
当 时， ，
因为当 时， ， ，
所以此时 在 上有2个零点，
当 时， ，此时 在 上无零点，
综上，当 或 时， 在 上有1个零点；
当 时 在 上有2个零点；
当 时 在 上无零点.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
9．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 只有一个解，则当 时，求使 成立的最大整数k.
【答案】(1)单调递增区间为 ， ，单调递减区间为
(2)2
【分析】（1）根据题意，求导可得 ，构造函数 ，通过研
究函数 的正负性，即可求解；（2）由条件可得0是 的解，可得 无非零解，然后构造函数 ，即可得
到 ，分离参数可得 ，构造函数 。利用导数求得函数 的最小值即可.
【详解】（1）函数 ，定义域为 ，则 ，
因为 ，设 ， ，
则令 得， ， ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ，
单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
综上所述： 的单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ；
（2）若 即 只有一个解，
因为 使方程成立，所以只有0是 的解，
当 时， 无非零解，
设 ，则 ，
当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增，
所以 最小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
故 定有零点，又因为 无非零解，有零点应还是0，
所以 ，所以 ，则 ，
，得 ， ， ，
所以 ，得 ，
设 ，则 ，令 ，则 ，
因为 时， ，所以 ，则 在 单调递增，
又 ，
所以 使得 ，所以 ，且 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 最小值 ，且 ，
得 ，
又因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，故整数 的最大值为2.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及利用导数研究函数的最值问题，难度
较大，解答本题的关键在于利用条件求得 ，然后结合隐零点问题解决即可.
10．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，讨论函数 的零点的个数.
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，按 的取值分类讨论求出函数的单调区间.
（2）按 分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得.
【详解】（1）函数 定义域为 ，求导得 ，
若 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，由 ，得 或 ，
①当 时， ，则函数 在 上单调递增；
②当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
③当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增.
（2）当 时，函数 只有一个零点 ，
当 时，由（1）知函数 在 上递减，在 上递增，且 ， ，
取 且 ，则 ，
因此函数 有两个零点；
当 时，由（1）知函数 在 上递增，且 ， ，
而 时，恒有 ，因此函数 只有一个零点，
当 时，由（1）知函数 在 上递减，在 上递增，
且 ，
而 时，恒有 ，因此函数 只有一个零点，
所以 ，函数 有一个零点，当 时，函数 有两个零点.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
1．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，C．当 时， D．当 时，
【答案】ACD
【分析】求出函数 的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数 在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数 的定义域为R，而 ，
易知当 时， ，当 或 时，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 是函数 的极小
值点，正确；
对B，当 时， ，所以 ，
而由上可知，函数 在 上单调递增，所以 ，错误；
对C，当 时， ，而由上可知，函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，正确；
对D，当 时， ，
所以 ，正确；
故选：ACD.
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程．
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最
后求解切线方程即可；
（2）原问题即 在区间 上恒成立，整理变形可得 在区间
上恒成立，然后分类讨论 三种情况即可求得实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
据此可得 ，
所以函数在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ，则 ，
令 ，原问题等价于 在区间 上恒成立，
则 ，
当 时，由于 ，故 ， 在区间 上单调递减，
此时 ，不合题意;
令 ，则 ，
当 ， 时，由于 ，所以 在区间 上单调递增，
即 在区间 上单调递增，
所以 ， 在区间 上单调递增， ，满足题意.
当 时，由 可得 ，
当 时， 在区间 上单调递减，即 单调递减，
注意到 ，故当 时， ， 单调递减，
由于 ，故当 时， ，不合题意.
综上可知：实数 得取值范围是 .
【点睛】方法点睛：
（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数
的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间 上单调，实际上就是在该区间上 (或 )恒成立．
②函数在区间 上存在单调区间，实际上就是 (或 )在该区间上存在解集．
3．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
【答案】(1) 的减区间为 ，增区间为 .
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）（ⅰ）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，（ⅱ）
， ，则题设不等式可转化为 ，结合零点满足的方程进一
步转化为 ，利用导数可证该不等式成立.
【详解】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
（2）（ⅰ）因为过 有三条不同的切线，设切点为 ，
故 ，
故方程 有3个不同的根，
该方程可整理为 ，设 ，
则
，
当 或 时， ；当 时， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： 且 ，
此时 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，故 ，
故 .
（ⅱ）当 时，同（ⅰ）中讨论可得：
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
不妨设 ，则 ，
因为 有3个不同的零点，故 且 ，
故 且 ，
整理得到： ，
因为 ，故 ，
又 ，
设 ， ，则方程 即为：
即为 ，记
则 为 有三个不同的根，
设 ， ，
要证： ，即证 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
而 且 ，
故 ，
故 ，
故即证： ，
即证：
即证： ，
记 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
，
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，记 ，
则 ，
所以 在 为增函数，故 ，
故 即 ，
故原不等式得证：
【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程
的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.
4．（2022·北京·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．
【答案】(1)
(2) 在 上单调递增.
(3)证明见解析
【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；
（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；
（3）令 ， ，即证 ，由第二问结论可知 在[0,+∞）上单调递增，
即得证.
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为 ，
所以 ，令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
（3）解：原不等式等价于 ，
令 ， ，
即证 ，
∵ ，
，
由（2）知 在 上单调递增，
∴ ，
∴
∴ 在 上单调递增，又因为 ，
∴ ，所以命题得证.
5．（2021·全国·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.
（2）根据 及（1）的单调性性可得 ，从而可求a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，
故 即 .
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转
化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
6．（2021·全国·高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【答案】（1） 上单调递增； 上单调递减；（2） .
【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；
（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线 与直线 有且仅有两个交点等价转化为
方程 有两个不同的实数根，即曲线 与直线 有两个交点，利用导函数研究 的
单调性，并结合 的正负，零点和极限值分析 的图象，进而得到 ，发现这正好是
，然后根据 的图象和单调性得到 的取值范围.
【详解】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
（2）[方法一]【最优解】：分离参数
,设函数 ,则 ,令 ，得 ,
在 内 , 单调递增；
在 上 , 单调递减；
,
又 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充分必要
条件是 ,这即是 ,
所以 的取值范围是 .
[方法二]：构造差函数
由 与直线 有且仅有两个交点知 ，即 在区间 内有两个解，取对数得方程
在区间 内有两个解．
构造函数 ，求导数得 ．
当 时， 在区间 内单调递增，所以， 在
内最多只有一个零点，不符合题意；
当 时， ，令 得 ，当 时， ；当 时， ；
所以，函数 的递增区间为 ，递减区间为 ．
由于 ，
当 时，有 ，即 ，由函数 在 内有两个零点知
，所以 ，即 ．
构造函数 ，则 ，所以 的递减区间为 ，递增区间为 ，所以
，当且仅当 时取等号，故 的解为 且 ．
所以，实数a的取值范围为 ．
[方法三]分离法：一曲一直曲线 与 有且仅有两个交点等价为 在区间 内有两个不相同的解．
因为 ，所以两边取对数得 ，即 ，问题等价为 与 有且
仅有两个交点．
①当 时， 与 只有一个交点，不符合题意．
②当 时，取 上一点 在点 的切线方程为
，即 ．
当 与 为同一直线时有 得
直线 的斜率满足： 时， 与 有且仅有两个交点．
记 ，令 ，有 ． 在区间 内单调递增；
在区间 内单调递减； 时， 最大值为 ，所以当 且
时有 ．
综上所述，实数a的取值范围为 ．
[方法四]：直接法
．
因为 ，由 得 ．
当 时， 在区间 内单调递减，不满足题意；
当 时， ，由 得 在区间 内单调递增，由 得
在区间 内单调递减．
因为 ，且 ，所以 ，即 ，即，两边取对数，得 ，即 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增，在区间
内单调递减，所以 ，所以 ，则 的解为 ，所以 ，即 ．
故实数a的范围为 ．]
【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，
属较难试题，
方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数
形结合思想求解.
方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值.
方法三：将问题取对，分成 与 两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线
斜率与一次函数的斜率比较得到结论．
方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.
7．（2021·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标．
【答案】(1)答案见解析；(2) 和 .
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；
(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，
导函数的判别式 ，
当 时， 在R上单调递增，
当 时， 的解为： ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；综上可得：当 时， 在R上单调递增，
当 时， 在 ， 上
单调递增，在 上单调递减.
(2)由题意可得： ， ，
则切线方程为： ，
切线过坐标原点，则： ,
整理可得： ，即： ，
解得： ，则 ，
切线方程为： ,
与 联立得 ，
化简得 ,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是 的一个因式，
∴该方程可以分解因式为
解得 ,
，
综上，曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标为 和 .
【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注
意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，
要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解
时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考
压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.
8．（2020·全国·高考真题）已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区
间和减区间；（2）若 有两个零点，即 有两个解，将其转化为 有两个解，令
，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
（2）若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，
所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根
据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线 和直线
有两个交点，利用过点 的曲线 的切线斜率，结合图形求得结果.
9．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；
（2）证明： ；
（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤ .
【答案】（1）当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
（2）证明见解析；
（3）证明见解析.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数
的单调性即可；
(2)[方法一]由题意将所给的式子进行变形，利用四元基本不等式即可证得题中的不等式；
(3)[方法一]将所给的式子进行恒等变形，构造出(2)的形式，利用(2)的结论即可证得题中的不等式.
【详解】(1)由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)[方法一]【最优解】：基本不等式法
由四元均值不等式可得
，当且仅当 ，
即 或 时等号成立．
所以 ．
[方法二]：构造新函数+齐次化方法
因为 ，令 ，则问题转化为求
的最大值．
求导得 ，令 ，得 ．
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．所以函数 的最大值为 ，故 ．
[方法三]：结合函数的周期性进行证明
注意到 ，
故函数 是周期为 的函数，
结合(1)的结论，计算可得： ，
， ，
据此可得： ， ，
即 .
(3)利用(2)的结论
由于
，
所以 ．
【整体点评】(2)方法一：基本不等式是证明不等式的重要工具，利用基本不等式解题时一定要注意等号成
立的条件；
方法二：齐次化之后切化弦是一种常用的方法，它将原问题转化为一元函数的问题，然后构造函数即可证
得题中的不等式；
方法三：周期性是三角函数的重要特征，结合函数的周期性和函数的最值证明不等式充分体现了三角函数
有界限的应用.
(3)方法一：利用(2)的结论体现了解答题的出题思路，逐问递进是解答题常见的设问方式；
10．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）证明： 只有一个零点．
【答案】（1）增区间是 ， ，减区间是 ；
（2）证明见解析.
【分析】（1）将 代入，求导得 ，令 求得增区间，令 求得减区间；（2）令 ，即 ，则将问题转化为函数 只有
一个零点问题，研究函数 单调性可得.
【详解】（1）当a=3时， ， ．
令 解得x= 或x= ．
由 解得： ；
由 解得： ．
故函数的增区间是 ， ，减区间是 ．
（2）［方法一］：【最优解】【通性通法】等价转化＋零点存在性定理
由于 ，所以 等价于 ．
设 ,则 ,仅当 时 ,所以 在
单调递增.故 至多有一个零点,从而 至多有一个零点.又
,故 有一个零点.综上, 只有一个零点.
［方法二］：函数零点与图象交点个数的关系
因为 ，所以 等价于 ，令 ，则 ．因
为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，所以 在区间 内单调递增，
当 时， ；当 时， ．所以直线 与 的图像只有一个交点，即
只有一个零点．
［方法三］：【通性通法】含参分类讨论＋零点存在性定理
．
①当 时， 单调递增， 只有一个零
点．
②当 与 时， ，再令 或 ，则有 ．当
与 时， 单调递增，当 时， 单调递减．
因为 ，
，所以 ．
极大值与极小值同正同负，故 只有一个零点．
［方法四］： 等价转化＋零点存在性定理
由于 ，所以 ，等价于 ．
设 ，则 ，仅当 时， ，所以 在区间
内单调递增．故 至多有一个零点，从而 至多有一个零点．
结合函数与方程的关系，根据零点存在性定理，取 ，则有 ，取
，则有 ，所以 在 内有一个零点，故
有一个零点．
综上， 只有一个零点．
【整体点评】（2）方法一：通过分离参数将原函数的零点问题转化为易求单调性的函数零点问题，该法
既是该类型题的通性通法，也是该题的最优解；
方法二：将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题，是常见的解题思路，对于证明题，这
种方式显得不是特别严谨；
方法三：直接对参数分类讨论，研究函数的单调性和最值，也是该类型问题的通性通法，但对于该题，显
得有些复杂；
方法四：该法同方法一，只是在零点存在性定理的运用过程中取点不一样．
