第18讲利用导数研究函数的单调性（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型（新高考专用）

第 18 讲 利用导数研究函数的单调性 【基础知识全通关】 一、函数的单调性与导数的关系 我们知道，如果函数 在某个区间是增函数或减函数，那么就说 在这一区间具有 单调性，先看下面的例子： 函数 的图象如图所示。考虑到曲线 的切线的斜率就是函 数 的导数，从图象可以看到：在区间（2，+∞）内，切线的斜率为正，即 时， 为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，即 时， 为 减函数。 导数的符号与函数的单调性： y=f(x) 一般地，设函数 在某个区间内有导数，则在这个区间上， ①若 ，则 在这个区间上为增函数； ②若 ，则 在这个区间上为减函数； ③若恒有 f' (x)=0 ，则 在这一区间上为常函数. 反之，若 在某区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于 0）；若 在某区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）． 【微点拨】 1.因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上 ，即切线斜率为正 时，函数 在这个区间上为增函数；当在某区间上 ，即切线斜率为负时，函数 在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。 2.若在某区间上有有限个点使 ，在其余点恒有 ，则 仍为增函数 （减函数的情形完全类似）。 即在某区间上， 在这个区间上为增函数； 在这个区间上为减函数，但反之不成立。 3. 在某区间上为增函数 在该区间 ； 在某区间上为减函数 在该区间 。 在区间(a,b)内， （或 f' (x)<0 ）是 f(x) 在区间(a，b)内单调递增（或减）的 充分不必要条件！ 例如： 而f(x)在R上递增. 4.只有在某区间内恒有 f' (x)=0 ，这个函数 y=f(x) 在这个区间上才为常数函数. 5.注意导函数图象与原函数图象间关系. 二、利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法 设函数 在区间（a，b）内可导， （1）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为增函数； （2）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为减函数； （3）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为常数函数。 【微点拨】 （1）若函数 在区间（a，b）内单调递增，则 ，若函数 在（a，b）内 单调递减，则 。（2） 或 恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法： 或 。 三、利用导数求函数单调区间的基本步骤 （1）确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）在函数 的定义域内解不等式 或 ； （4）确定 的单调区间。或者： 令 ，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即 的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数 的定义区 间分成若干个小区间，判断在各个小区间内 的符号。 【微点拨】 1.求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。 2.求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。 【考点研习一点通】 考点一：求函数的单调区间 例1、确定函数 的单调区间. 【解析】 。 令 ，得x＜0或x＞2， ∴当x＜0或x＞2时函数 是增函数。因此，函数 的单调增区间为（－∞，0）和（2，+∞）。 令 ，得0＜x＜2。 ∴函数 在（0，2）上是减函数，其单调递减区间为（0，2）。 【总结】 （1）解决此类题目，关键是解不等式 或 。 （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。 【变式1-1】确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 【解析】 (1) y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2. ∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2) 令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4) (2)y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1. ∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 【点评】 （1）解决此类题目，关键是解不等式 或 。 （2）注意写单调区间时，不是连续的区间一般不能用并集符号“U”。 【变式1-2】求下列函数的单调区间： （1） （2） ； （3） ；【答案】 （1） 。 令3x2―4x+1＞0，解得x＞1或 。 因此，y=x3－2x2+x的单调递增区间为（1，+∞）和 。 再令3x2－4x+x＜0，解得 。 因此，y=x3－2x2+x的单调递减区间为 。 （2）函数的定义域为（0，+∞）， 。 令 ，即 ， 结合x＞0，可解得 ； 令 ，即 ， 结合x＞0，可解得 。 ∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 （3） 。 ∴0≤x≤2π，∴使 的 ， ， ， 则区间[0，2π]被分成三个子区间。如表所示： x 0 … … π … … + 0 － 0 － 0 +    所以函数 （0≤x≤π）的单调递增区间为 和 ，单 调递减区间为 。 f(x)(a1)lnxax2 1 【变式1-3】 已知函数 ，求函数 的单调区间并说明其单 调性。 【解析】 图像的对称轴为 且 时值为 。所以有如下讨论： (I)f(x)的定义域为（0，），f '(x) a12ax 2ax2 a1， x x 当a0时，f '(x)0,故f(x)在（0，）上单调增加； 当a1时，f '(x)0,故f(x)在（0，）上单调减少； 当-1a0时，令f '(x)0，解得x a1.则当x（0，a1）时，f '(x)0; 2a 2a x( a1,)时，f '(x)0。故f(x)在（0，a1）上单调增加，在( a1,)上 2a 2a 2a 单调减少。 （II）不妨设x1x2,而a-1,由（I）知f(x)在（0，）上单调减少，从而 x1,x2(0,),| f(x1) f(x2)|4|x1x2| 等价于x1,x2(0,), f(x2)4x2  f(x1)4x1。………………(1) 令g(x) f(x)4x,则g'(x) a12ax4。 x (1)式等价于g(x)在（0，）上单调减少，即 a12ax40 x 从而 a  2 4 x2 x   1 1 (2x1 2 ) x 2 2   4 1 x22  (2 2 x x2   1) 1 22。 故a的取值范围为（-，-2  【点评】 （1）解决此类题目，关键是解不等式 或 ，若 中含有参数，往往 要分类讨论。 （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区 间，即定义域优先考虑的原则。 【变式1-4】求函数 （a∈R）的单调区间。【解析】 ① 当a≥0时，y＇≥0，函数 在（－∞，+∞）上为增函数。 ② 当a＜0时，令3x2+a=0得 ， ∴y＇＞0的解集为 。 y＇＜0的解集为 。 ∴函数 的单调增区间是 和 ， 减区间是 。 综上可知：当a≥0时，函数 在（－∞，+∞）上单调递增。 当 a ＜ 0 时 ， 函 数 在 和 上 单 调 递 增 ， 在 上单调递减。 【总结】 （1）解决此类题目，关键是解不等式 或 ，若 中含有参数，往往 要分类讨论。 （2）特别应注意，在求解过程中应先写出函数的定义域，再在定义域的范围内写出单调区 间，即定义域优先考虑的原则。 考点二：判断、证明函数的单调性例2．当 时，求证：函数 是单调递减函数. 【解析】 ， ， ∴ 故函数 在 上是单调递减函数. 【总结】 判断、证明函数的单调性的步骤： 1、求导；2、变形（分解或配方）；3、判断导数式的符号,下结论。 【变式2-1】当 时，求证：函数 是单调递减函数. 【答案】 ，∴ ， ， ∴ 故函数 在 上是单调递减函数. 【变式2-2】已知函数 , 讨论函数 的单调性. 【解析】由题设知 ． 令 ． （i）当a>0时， (−∞,0) 若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数；若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数； 若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数； （ii）当a＜0时， 若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数； 若 ，则 ，所以 在区间 上是增函数； 若 ，则 ，所以 在区间 上是减函数． 【总结】 （1）在判断函数的单调性时，只需判断函数的导数恒大于0或恒小于0。 （2）在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定 义域来确定 的符号，否则会产生错误判断。分类讨论必须给予足够的重视，真正发 挥数学解题思想在联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算的能力。 （3）分类讨论是重要的数学解题方法。它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局 部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整 个问题也就解决了。 【变式2-3】设 a>0 ，讨论函数 f(x)=√x−ln(x+a)(x∈(0,+∞) 的单调性. 1 1 f' (x)= − (x>0) 2√x x+a 【解析】 . a>0,x>0 f' (x)>0⇔x2 +(2a−4)x+a2 >0 当 时 . f' (x)<0⇔x2 +(2a−4)x+a2 <0 （i）当 a>1 时，对所有 x>0 ，有 x2 +(2a−4)+a2 >0 . f' (x)>0 f (x) (0,+∞) 即 ，此时 在 内单调递增. （ii）当 a=1 时，对 x≠1 ，有 x2 +(2a−4)x+a2 >0 ，f' (x)>0 f (x) f (x) 即 ，此时 在（0，1）内单调递增，又知函数 在x=1处连续，因此， f (x) 函数 在（0，+∞）内单调递增 （iii）当 00 ，即 x2 +(2a−4)x+a2 >0 . x<2−a−2√1−a,或x >2−a+2√1−a 解得 . f (x) (0,2−a−2√1−a) (2−a+2√1−a,+∞) 因此，函数 在区间 内单调递增，在区间 内也单调递增. f' (x)<0,即x 2 +(2a−4)x+a2 <0 2−a−2√1−a0. ∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设. √ λ−2 x=± 2 （2）若>2，则x=0或 ， √λ−2 √λ−2 x∈(−∞,− ) x∈(− ,0) 2 2 当 时，F(x)<0；当 时，F(x)>0；√λ−2 √λ−2 x∈(0, ) x∈( ,+∞) 2 2 当 时，F(x)<0；当 时，F(x)>0. √λ−2 √λ−2 (− ,0) ( ,+∞) 2 2 ∴F(x)的单调增区间是 ， ， √λ−2 √λ−2 (−∞,− ) (0, ) 2 2 单调减区间是 ， . 要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数， √ λ−2 − =−1 2 则 ，即=4. 故存在实数=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数。 【考点易错】 1. 若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 在区间 内存在单调递增区间， 所以 在区间 上成立， 即 在区间 上有解， 因此，只需 ，解得 . 故选D2. 已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a的取值范围 为( ) A．(－∞，8) B．(－∞，16] C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 【答案】B 【解析】f(x)＝x2＋在x∈[2，＋∞)上单调递增，则f′(x)＝2x－＝ ≥0在 x∈[2，＋∞)上恒成立. 则a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立. 所以a≤16. 故选：B． 3.已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ．记 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 是定义域为 的奇函数，所以 ， 令函数 ，则 ，所以 为 上的偶函数， 当 时， ， 所以函数 在 上单调递减， 又 为偶函数，所以 ， ， ， 所以 . 故选：D． 4. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B． (0， 3) C．(1，4) D． (2，＋∞) 【答案】D 【解析】因为f(x)＝(x－3)ex，则f′(x)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增 区间为(2，＋∞)．故选D.5. 若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 ， . 根据题意得知，不等式 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立， 由于函数 在区间 上单调递增，则 ， . 因此，实数 的取值范围是 . 故答案为： . 6.已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范 围． 【答案】 ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 ． 7.已知向量a=（ ，x+1），b=（1―x，t），若函数 在区间（―1，1）上是 增函数，求t的取值范围。 【答案】 解法一：依定义 ， 则 。 若 在（―1，1）上是增函数，则在区间（―1，1）上有 。∴ 在区间（―1，1）上恒成立。 考虑函数 ，由于 在图象的对称轴为 ，且 在开口向上的抛 物线，故要使t≥x2―2x在区间（―1，1）上恒成立 ，即t≥5。 解法二：依定义 ， 。 若 在（－1，1）上是增函数，则在区间（－1，1）上有 。 ∵ 的图象是开口向下的抛物线， ∴当且仅当 ，且 时， 在（―1，1）上满足 ，即 在（―1，1）上是增函数。 故t的取值范围是t≥5。 【巩固提升】 1.设函数f＇(x)是奇函数f(x)（x∈R）的导函数，f(－1)=0，当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0， 则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是（ ） A．(－∞,－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1,+∞) C．(－∞,－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1,+∞) 【答案】A. 【解析】 记函数 ，则 ，因为当x＞0时，xf＇(x)－f(x)＜0，故当 x＞0时，g＇(x)＜0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减；又因为函数f(x)（x∈R）是奇函数，故 函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞,0)单调递减，且g(－1)=g(1)=0．当0＜x＜1时，g(x) ＞0，则f(x)＞0；当x＜－1时，g(x)＜0，则f(x)＞0，综上所述，使得f(x)＞0成立的x的 取值范围是(－∞,－1)∪(0,1)，故选A． f (x)=3+xlnx 2．函数 的单调递增区间是 （ ）1 1 1 (0, ) ( ,+∞) e (e,+∞) e e A． B． C． D．（ ，e） 【答案】C. 【解析】 所以选C. ， ， 3. 设 在（0，+∞）内单调递增， ， 则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】由题意知 在（0，+∞）上恒成立， 则 在x∈（0，+∞）上恒成立。 当x∈（0，+∞）时， ， 则 的最大值要小于－5，不妨设为c， ∴m≥c不可能推出m≥－5。但由m≥－5，可以推出m≥c。故B正确。 4．函数 的定义域为R， ，对任意 都有 成立，则不等 式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 令 ，则函数 在R上单调递减， 而 不等式 ，可化为 即不等式 的解集为 。故选B 5．设函数 在R上的导函数为 ，且 ，下面的不等式在R 内恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】 A. 【解析】 由x＞0时， 。 令 ，则 。 ∵ ，∴ 在（0，+∞）上为增函数。 当x＜0时， 。 令 ，则 。 ∴ 在（－∞，0）上为减函数，∴ ， ∴ 在R上恒成立，且x≠0时， 。 即 ，∴ 在x∈R且x≠0时恒成立。 把x=0代入 得 ， ∴ 在R上恒成立。6.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由. 【解析】（1） ．令 ，得x=0或 . 若 a>0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减； 若a=0， 在 单调递增； 若 a<0，则当 时， ；当 时， ．故 在 单调递增，在 单调递减. （2）满足题设条件的a，b存在. （i）当a≤0时，由（1）知， 在[0，1]单调递增，所以 在区间[0，l]的最小值为 ，最大值为 .此时 a，b 满足题设条件当且仅当 ， ，即a=0， ． （ii）当a≥3时，由（1）知， 在[0，1]单调递减，所以 在区间[0，1]的最大值为，最小值为 ．此时a，b满足题设条件当且仅当 ， b=1，即a=4，b=1． （iii）当00．所以f（x）在（– ∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2） 等价于 . 设函数 ，则 . （i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调递 增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.（ii）若 0<2a+1<2，即 ，则当 x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当 x∈(2a+1，2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增. 由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ . 所以当 时，g(x)≤1. （iii）若2a+1≥2，即 ，则g(x)≤ . 由于 ，故由（ii）可得 ≤1.故当 时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是 . 9. 已知函数 ． （1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明： ； （3）设 ，证明： ． 【解析】（1） ． 当 时， ；当 时， ． 所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减． （2）因为 ，由（1）知， 在区间 的最大值为 ，最小值为 ．而 是周期为 的周期函数，故 ． （3）由于 ， 所以 ． 10. 已知函数f(x)＝ex－ax－1，其中e是自然对数的底数，实数a是常数． (1)设a＝e，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性． 【解析】 (1)∵a＝e，∴f(x)＝ex－ex－1， ∴f′(x)＝ex－e，f(1)＝－1，f′(1)＝0. ∴当a＝e时，函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－1. (2)∵f(x)＝ex－ax－1，∴f′(x)＝ex－A． 当a≤0时，f′(x)＞0，故f(x)在R上单调递增； 当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a， ∴当x＜ln a时，f′(x)＜eln a－a＝0，当x＞ln a时，f′(x)＞eln a－a＝0， ∴f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．