文档内容
第 03 讲 利用二阶导函数解决函数问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（9 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分
【备考策略】1会导数的基本运算
2能理解导函数与原函数关系
3能进行函数转化求原函数导函数的导函数，并得到原函数导函数关系，进而求解原函数单
调性及其他综合问题
【命题预测】在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，利用导数求解函数的
单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运
算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一
般思想的渗透和综合运用，难度较大.
知识讲解
一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、
最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问
题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
1. 二阶导的定义
定义 1 : 若函数 的导函数 在点 处可导, 则称 在点 的导数为 在点
的二阶导数, 记作 , 同时称 在点 为二阶可导.
2: 若 在区间 上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在 上的二阶可导函数, 记作
定义
2. 函数极值的第二判定定理
若 在 附近有连续的导函数 , 且
（1）若 , 则 在点 处取极大值;
（2）若 , 则 在点 处取极小值
3. 曲线的凹凸性
设函数 y=f (x) 在区间 (a,b) 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在
(a,b) 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 (a,b) 内是凸的。从图象上
来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。
设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在
内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间
上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有
则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧;
如果恒有则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。
4. 曲线的拐点
曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点
不一定都是拐点。
5. 解决这类题的常规解题步骤为:
(1) 求函数的定义域;
(2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负;
(3) 构造求 , 求 ;
(4) 列出 的变化关系表;
(5) 根据列表解答问题。
考点一、 二阶导与函数单调性
1．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 ，讨论函数 的单调性.
【答案】 在 上单调递增
【分析】对 求导，令 ，讨论 与 的大小，可得 的单调性，即可证明
，即 ，即可证明.
【详解】依题意， .
令 ，故 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，故 ，即 ，
故函数 在 上单调递增.
2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 是 的极小值点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间为 ，无单调递增区间
(2)
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系进行求解即可；
（2）由（1）可得 时， ，再分别讨论 和 两种情况下 的单调
性，根据单调性判断 是否为 的极小值点，进而确定a的取值范围.
【详解】（1）若 ，则 ，
的定义域是 ．
．
令 ，则 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以当 时， 恒成立，
当且仅当 时等号成立．
所以 的单调递减区间为 ，无单调递增区间．
（2） 的定义域为 ， ．
由（1）得，当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ．所以当 时， ．
因此，当 时，
．①（ⅰ）若 ，则当 时，由①可得 ．
所以 在 上单调递减，
故 不可能为 的极小值点．
（ⅱ）若 ，
当 时， ，
所以 ，
则由①可得 ；
当 时， ，
设 ，
则 ，
所以 在区间 上单调递增，
从而 ．
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 为 的极小值点．
综上所述，a的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键在于，借助第一问得到结论 时， ，
再分别讨论 和 两种情况下 是否为 的极小值点，进而确定a的取值范围.
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数 满足 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．【分析】（1）对函数求导得 ，然后令 ，再求导，从而求解.
（2）利用分离常数得 在区间 上恒成立，从而只需求出 的最大值，即
可求解.
【详解】（1）因为 ，定义域为 ，得
令 ，则 ，当 ，得 ，
当 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即
恒成立，
所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
（2）由题意 在区间 上恒成立，即 恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ， ，只需
因为 ，令 ， ，
有 ，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以实数a的取值范围为 ．
2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）（1）证明：函数 在 上单调递减.
（2）已知函数 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）对函数 求导并构造函数 ，并讨论其单调性，即可求出函数在 上的单调性；
（2）对函数 进行求导，构造函数 并求导，通过讨论 与 之间的关
系，结合 是 的极小值点，即可求出实数 的取值范围.
【详解】（1）由题意证明如下，
在 中， .
令函数 .
当 时， ，所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以当 时， 恒成立，
故 在 上单调递减.
（2）由题意及（1）得，
在 中， ，
.
令函数 .
当 ，即 或 时，
存在 ，使得当 时， ，
即 在 上单调递减.
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
是 的极大值点，
不符合题意.当 ，即 时，
存在 ，使得当 时， ，
即 在 上单调递增.
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
是 的极小值点，符合题意.
当 ，即 时，
.
结合（1）可得 在 上单调递减，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ，
所以 在 上单调递减，不符合题意.
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，构造函数法，导数求函数单调性，考查学生的逻辑思维能力，
计算能力，具有很强的综合性.
3．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求证： 在 上单调递减；
(2)若 有两个不相等的实数根 ， ，求实数a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用二阶导数讨论函数 的单调性即可；（2）由题意可得 ，利用导数讨论函数 的单调性求出 即可求解.
【详解】（1）由题意知，当 时， ，
则 ，设 ，
得 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
得 ，即 ，
所以函数 在 上单调递减；
（2）由 ，得 ，即 ，
设 ，则 ，
令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
得 .
当 时， ，当 时， ，
要使方程 有两个不同的实数根 ，
则 ，即 ，
即实数a的取值范围为 .
【点睛】在解决导数的综合问题时，善于运用转化的思想，构造适当的函数，再次利用导数讨论新函数的
性质即可.
考点二、 二阶导与函数极值、最值
1．（2023·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)证明： ．【答案】(1)极小值 ，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解.
（2）设函数 在 存在唯一零点 ，根据函数 的单调性的函数的最小值 ，只要
成立即可.
【详解】（1）当 时，
所以
令 在 恒成立，所以函数 在 单调递增，且
，
所以当 ，函数 在 上单调递减；
当 ，函数 在 上单调递增；
所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值；
（2）当 时，
所以 ．
令 在 恒成立
所以函数 在 单调递增，
且当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 存在唯一零点 ，
即 ，
且当 ，函数 在 上单调递减；
当 ，函数 在 上单调递增,
所以函数 在 处取得极小值 ,
也为最小值，要证不等式 成立，
即证 成立，
即
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 .
【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调
性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导
（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ， .（注： 是自然对数的底
数）
(1)若 无极值点，求实数 的取值范围；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）法一，易知 ，无变号零点，考虑 后参变分离为 ，原问题等价
于 的图像与 无相交交点；法二，构建 ，分 ， ， 结合根的存在性
定理即可求解；（2）法一，式子转化为 ，即证 即可，易知 ，则
，分 ， ， 讨论即可；法二，转化为
，求 的最大值即可.
【详解】（1）（方法一）易知 ，由 无极值点可知，
无变号零点，令 （*），
显然 时，（*）无零点，此时 无极值点，满足题意；
故当（*）可变形得 ，
令 ，原问题等价于 的图像与 无相交交点，
又 ，则 ， ， 单调递增；
， ， 单调递减；
又 趋于 ， 趋于 ； 趋于 ， 趋于 ； .
可得 的图象如图：
由图可知 ，解得 ，
综上，
（方法二）构建 ，则①当 时， 当 时恒成立， 在 上单调递增，
因为 ， ，
所以 有一个零点，即为 的一个极值点；
②当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
③当 时，当 ， ；当 ， ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，
故 ，
若 ，则 即 .
当 时， ，
当 时， ，
设 ， ，故 ，
故 在 上为增函数，
故 ，
故 ，
故当 时， 有两个零点，此时 有两个极值点.
当 时， 当 时恒成立，即 无极值点；
综上所述：
（2）（方法一）由 可知， ，
即 ，
令 ，即证 ，
易知 ，
则 ，
若 ，即 时，则 ， ， 单调递增， ，不符合题意；
若 ，即 时，
则 ， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
， ， 单调递减，
又 ，故令 ，
解得 ，即 ，
若 ，即 时，
则 ， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
， ， 单调递减，
故令
，
记 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
即对于任意 ， 恒成立，
综上所述，
（方法二）①当 时，不等式恒成立，可得 ；
②当 时，可得 恒成立，设 ，
则.
可设 ，可得 ，
设 ， ，
由 ，可得 恒成立，可得 在 上单调递增，
在 上单调递增，所以 ，
即 恒成立，即 在 上单调递增，所以 ，
再令 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
时， ， 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，综上可得 的取值范围是 .
【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式，可通过构造函数，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、
最值.
1．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，请判断 的极值点的个数并说明理由；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)有一个极值点，理由见解析
(2)
【分析】（1）先求 ，得 ，再设 ，通过对 符号的分析，得到
的单调性，再判断 的解的情况，分析函数 的极值点的情况.
（2）先把原不等式化成 恒成立，利用换元法，设 ，则 ，问题转化为 恒成立．再设 ，利用（1）的结论求 的最小值.
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
又 ， ， 存在唯一零点 ，且 ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 单调递增．
有一个极小值点 ，无极大值点．
（2） 恒成立，
恒成立， 恒成立．
令 ，则 ， 恒成立．
设 ，由（1）可知 的最小值为 ．
又 ， ．（﹡）
设 ，当 时， ， 在 上单调递增，
， ， ，
由（﹡）知 ， ，即 ．
，
， ，又 ，
a的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：该题第二问的关键是求函数 的最小值，由（1）得 的极小值是
，而 的值不能准确的表示出来，所以根据 进行代入计算.2．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， .
(1)当 时，求 在区间 内极值点的个数；
(2)若 恒成立，求 的值；
(3)求证： ， ， .
【答案】(1)2
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数在 的单调性和导函数的单调性可求
（2）根据题意求出极大值点，进而求出a的值，然后利用导数证明不等式恒成立
（3）利用 ，转化为 ，然后利用导函数的单调
性证明 即可
【详解】（1）当 时， ，
因为 在 单调递增，在 单调递增，
在 单调递增，
所以 在 单调递增，在 单调递增，
因为 ，
所以当 时， 单调递减； ，
所以 ， ， 在 单调递增，在 单调递减，
令 ，得 ，
当 时， 单调递增；
， ，所以 ， ， 在 单调递减，在 单调递增；
因为 ，
所以 ， 在 单调递减， 单调递增，
综上， 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，共2个极值点
（2）因为 ，
所以 是 的极大值点，因为 ，
所以 ，
只需证，当 时， 恒成立即可，
因为 ，
令 ，则 ，
①当 时， ， ，则 在 单调递减，
所以 ， 在 单调递增， ，
②当 时， ，则 在 单调递减，所以 ，
综上， 符合题意
（3）由（2）可知， ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
，
因为 ，
所以即证
令 ，则 ，
所以即证： ， ，令 ，则 ，
所以 时， ， 单调递减，
所以 ，即 ， ，
综上， ， ，
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
考点三、 二阶导与不等式证明
1．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，且 ，证明： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数 变形整理 ，构造函数
，对其进行二次求导，从而可求出 的单调性，进而可求出函数的最大值，即可证明结
论成立.
（2）对函数 进行二次求导，从而可判断函数 单调性，要证 ，只需证
，结合 在 上单调递减知只需证 ，即证 ，进而构
造函数 判断其单调性即可证明.
【详解】（1）由题意， ，设
，则
，当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减，从而 ，故 恒成立，，故 ．
（2）由题意， ， ， ，
， ，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
在 上单调递减，且 ，
若 ，则 ，不合题意，
若 ，则 ，不合题意，∴ ，
要证 ，只需证 ，结合 在 上单调递减知只需证 ，
又 ， ，故只需证 ，即证 ①，
令 ， ，
则 ，
， 在 上单调递增，
又 ， ，从而 在 上单调递减， ， ，
， ，即不等式①成立，故 ．
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数证明不等式问题，考查了学生的逻辑推理能力
及数据分析能力，考查了转化思想，属于难题.
2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数 ， 且 恒成
立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得 ，分 时和 讨论，易得 在 上单调递减，
在 上单调递增，故 ，进而求得 ；（2）由 变形得 在 时恒成立，则原不等式放缩为证
，构造 ， ，求导得 ，
再令 ，求得 ，通过研究 的正负确定 的单调性，再由 的正
负判断 的单调性，结合 即可求证.
【详解】（1） ．
当 时，注意到 ，不合题意；
当 时，由 ，得 ；由 0，得 ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 时，函数 取得唯一极小值即最小值，因为 恒成立且 ，
∴ ；解得 ．
∴实数a取值的集合是 ．
（2）证明：由（1）可知： 时， ，即 ，变形得
在 时恒成立．
要证明： ，只需证明： ，
即证明 ．
令 ， ．
，令 ，
，令 ，解得 ．
当 时， ，函数 单调递减，
当 ， ， 时单调递增．
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
而 ． ．
∴存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．当 时， ， 单调递增．
又 ， ，
∴对 ， 恒成立，即 ．
综上可得：不等式 成立．
【点睛】方法点睛：本题考查由函数恒成立求参数范围，由导数证明不等式.由函数恒成立求参数范围一般
可采用分离参数法，此法适用于后续构造函数能利用导数进行极值最值求解的情况，也可直接求导，对参
数进行分类讨论，由极值或最值求出参数范围.由导数证明不等式一般采用构造函数法，放缩法等，本题中
放缩是关键，对于相对复杂的涉及指数和对数的函数，往往还涉及二阶导数，解题的总体思路是，由低阶
导数确定上一层函数的增减性与正负值，进而确定原函数的增减性，极值与最值.
1．（2024·广东佛山·一模）已知 ，其中 .
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，证明：当 时， .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据题意求导后分类讨论即可求得答案；
（2）先求得 ，再将原式转化为证明 ，通过二次求导判断函数单
调性进而即可得证.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ， 在 单调递增；
当 时，令 ，得 ，此时 单调递增，
令 ，得 ，此时 单调递减.
综上所述，当 时， 增区间为 ，无减区间
当 时， 增区间为 ，减区间为（2）因为 ， ，所以 ， ，
要证 ，即证 ，
即证 ，即证 ，
设 ，
则 ，
令 ，
则 对 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 时， ，
所以 对 恒成立，所以 在 单调递增，
所以 时， ，
即 成立，故原式得证
【点睛】方法点睛：本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题，常见方法如下：
（1）构造函数法：通过构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为求函数最值问题；
（2）放缩法：一是利用题目中已知条件进行放缩，二是利用常见的二级结论进行放缩；
（3）同构法：指数和对数同时出现，往往将不等式形式进行变形，通过同构化简不等式进而证明即可.
2．（2023·吉林长春·模拟预测）函数 ．
(1)求证 ： ；
(2)若方程 恰有两个根，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（ 1 ） 由 题 意 对 求 导 可 得 ， 则
对 不等式恒成立，即函数 在 上单调递减，结合 即可证明；
（2）由题意可知当 时， 即 恰好有1根，利用二阶导数和零点的存在性
定理研究函数 的性质，得 ，再次利用导数研究函数 的性质可得
，结合 即可证明.
【详解】（1）
令 ，
，
令 ，得 ，对 不等式恒成立，
即 在 上恒成立，得函数 在 上单调递减，
又 ，所以 ，即 ．
（2）
易知 是方程 一个根，
所以当 时， 即 恰好有1根，
令 ， ，
设 ， ，
令 ，令 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，由零点的存在性定理，
得 使得 ，即 ，得 ①，
当 时， ，即 ，函数 单调递增，
当 时， ，即 ，函数 单调递减，
所以 ②，由①②可得 ，则 ，当 时，即 ，函数 单调递减，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，而 ，
所以 ，即证.
【点睛】
方法点睛：利用导数解决不等式证明问题时，常常采用分离参数法求范围：若 或 恒成立，
只需满足 或 即可，利用导数方法求出 的最小值或 的最大值，从而解决问题；
也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接
构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.
考点 四 、 二阶导与恒成立问题
1．（23-24高三上·河南周口·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将问题转化为 在 上恒成立，利用二阶导数讨论函数 的性质求出 即可.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
于是 ， ，
则函数 在点 处的切线方程为
，即 ；（2）因为 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
令 ， ，则 在 上恒成立，
因此 在 上单调递减，于是 ，
因此 在 上恒成立， 在 上单调递减，
则 ，由此可知， ，于是实数 的最大值为 ．
2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调区间；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数 求导，分别讨论 和 两种情况，即可求出结果；
（2）先分离参数，将原式化为 ，构造函数 ，利用导数判断
的单调性进而求出 的最大值即可.
【详解】（1） 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立，所以 的单调递减区间为 ,
当 时，令 ，则 ，所以 的单调递增区间为 ，
令 ，则 ，所以 的单调递减区间为 ,
综上：当 时， 的单调递减区间为 ，无增区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）当 时， 恒成立，
即 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 （ ），
令 （ ），则 ，
令 （ ），则 ，
由 得， ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
令 ，则 ，所以 在 单调递增，
令 ，则 ，所以 在 单调递减，
所以 ，所以 .
综上实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得 对 恒成立，再设新函数
（ ），对此求导研究其最值即可.
1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围．
(2)当 时， 恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数的单调区间可得 ，即 ，利用导数讨论函数 的性质求
出 即可；
（2）由题意，当 时，显然成立；当 时， ；当 时，有 ．令
，利用二阶求导讨论函数 的性质，求出 、 即可.
【详解】（1）由题意知 ，即 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
从而 ，
故 ．
（2）由题意知 ．
当 时，显然成立；
当 时， ；
当 时，有 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．
∵ ，∴ ，故 ，因此 单调递减，从而 ，因此 单调递增，
从而 ， ，
由 ，解得 ；
由 ，解得 ．
综上： ．
【点睛】方法点睛：导数中解决不等式恒成立问题，常常采用分离参数法，求得参数范围．为了防止讨论
分母是否为零，故将 放在分母位置， 放在分子位置，对a的正负进行分类讨论．
2．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的图象在点 处的切线方程；
(2)对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）解法一：由 可得 ，令 ，利用
导函数讨论函数的单调性进而求最小值即可；解法二：令 ，由 ，
可得 的必要条件为 ，再利用导数证明充分性，即当 时，
即可；解法三：分离参数可得 ，利
用导函数求单调性进而求最值即可.
【详解】（1）当 时， ， ，
所以 的图象在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）（解法一）由 可得 ，令 ，则 ，
令 ，
则 ，
因为当 时， ，当 时， ，所以 ，
①当 ，即 时， 单调递增，
所以 ，又 ，
令 ，
令 ，则 ，
易知 单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递增， ，
所以 ，即 ，
由零点存在定理知存在 ，使得 ，
，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为当 时 ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ， ，
所以 单调递减，所以 ，
所以 符合题意；
②当 ，即 时， 矛盾，
综上所述 .
（解法二）由 可得 .
令 ，有 ，所以 的必要条件为 ，
下面证明充分性：
当 时，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
又当 时， ，所以 单调递增， 单调递增，
又 ，
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
所以 ，
所以当 时， ，
综上所述， .
（解法三）由 可得 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
因为当 时 ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ， 所以 ，所以 ，
即 单调递减，又 ，
所以当 时， ，即 单调递增，
当 时， ，即 单调递减，
所以 ，所以 .
【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义和不等式恒成立问题，第二问需要求函数的高阶导数，利用
高阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
考点 五 、 二阶导与函数零点或方程的根
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， 为 的导函数.求证: 有且仅
有两个不同的零点.
【答案】证明见解析
【分析】利用导数证明 在 上有唯一的零点 ，求出 ，
时 的单调性，所以 在 上存在唯一的极大值点 ，根据 得到 在
上恰有一个零点，同理得到 在 上也恰有一个零点，当 和当 同理即可
求解.
【详解】因为 ，所以 ，
设 ，
当 时， ，
所以 在 单调递减，又因为 ， ，
所以 在 上有唯一的零点 ，
①当 时， ， 在 上单调递增;
当 时， ， 在 上单调递减;
所以 在 上存在唯一的极大值点
所以
又因为
所以 在 上恰有一个零点．
又因为
所以 在 上也恰有一个零点．②当 时， ，
设 ，
所以 在 上单调递减，所以
所以当 时， 恒成立
所以 在 上没有零点．
③当 时，
设 ，
所以 在 上单调递减，所以
所以当 时， 恒成立
所以 在 上没有零点．
综上， 有且仅有两个零点．
2．（23-24高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 ，试判断函数 与 的图象的交点个数，并说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)无交点，理由见解析
【分析】（1）求导可得 ，分类讨论当 、 时函数 对应的单调性即可求解；
（2）由 得 ，令 ，利用二次导数讨论函数 的性质可得
，即可下结论.
【详解】（1）函数 的定义域为R，且 ，
当 时 恒成立，所以 在R上单调递减，
当 时，令 ，解得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
综上可得：当 时 在R上单调递减；当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
（2） ，则 ，令 ，即 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以当 时 ，则 单调递减，且 ，
当 时 ，则 单调递增，
又 ， ，故当 时 ，
所以当 时 ，则 单调递减，
当 时 ，则 单调递增，
所以 ，所以方程 无实根，
所以函数 与 的图象无交点.
3．（2022·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 的零点个数.
【答案】(1)
(2)3个零点.
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）首先判断函数的单调性以及导数的单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点的个数.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
切线方程为 ，即 .
（2） ，
设 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
.
.令 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，
当 时， .
由零点存在定理可知，函数 在 和 上各有一个零点，
设为 ，则 ， ，
，
易得 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
的极大值为
记 ，则 ，
在 上单调递减， 当 时， ；
当 时， ，
，则 ，即 .
同理可知，函数 的极小值为 .
.
由零点存在定理可知，函数 在区间 上各存在一个零点，
有3个零点.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断是判断导函数的单调性，以及导函数的极值，以及零点存
在性定理中端点的取值，并多次构造函数说明不等式问题.
1．（23-24高三上·河北廊坊·期中）已知函数 ．
(1)当 时，证明： 只有一个零点．
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）求解 的单调性，从而证明；
（2）根据 ，即对 进行构造函数多次求导后分类讨论从而求解
的范围.
【详解】（1）证明：当 时， ，
所以： 是减函数．
又因为： ，所以： 只有一个零点．
（2）由题意得： ， ，即： ，
令函数 ，
则： ，
因为 ，要使得 ，则存在 ，使得 在 0,x1上单调递增，即当 时，
.
令函数 ，
则： ，
因为： ，要使得 ，则存在 ，使得 在 上单调递增，即当 时，
，
令函数 ，
则： ，得： ，
当 ，即 时，
令函数 ， ，
令函数 ， ，
因为： 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增．
因为： ，所以 在 上恒成立，
所以： 在 上单调递增.
因为： ，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
所以： 在 上单调递增， 符合题意．当 ，即 时，存在 ，使得当 时， ，即 在 上单调递
减．
因为： ，所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减．
因为： ，所以当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减．
因为： ，所以当 时， ，与题意不符．
综上： 的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：（2）问中采用多次求导法并结合函数的单调性，然后分类讨论，从而求解出 的取值
范围，
2．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， ，其中a为整数且 .记
为 的极值点，若 存在两个不同的零点 ， ，
(1)求a的最小值；
(2)求证： ；
【答案】(1)3
(2)证明见解析
【分析】（1）首先求导，利用零点存在性定理求出函数的最小值
，令 结合 的范围以及 为大于等于1的整数可得
答案.
（2）利用（1）可知， ， ，再化简即可得出结论.
【详解】（1） ，
令 ，则 ，
故 在 上单调递增，
且 ， ，
由零点存在性定理知，存在唯一的 ，使得 ，即 ，
且 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，又 ， ，
若 存在两个不同的零点，则 ，即 ， ，
由 知 ，所以整数 的最小值为3.
（2）由题意 ，即 ，
故 ，同理 .
所以 .
3．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线；
(2)若对任意 ，当 时，证明函数 存在两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式得切线方程；
（2）令 ，根据函数导数讨论函数单调性可得 ，从而得到证明．
【详解】（1）解：因为 ，所以 ，
则 ， ，
此时切线方程为 ，即 ；
（2）证明：函数 存在两个零点，得方程 有两解，
即 存在两解．
令 ，则 ，
令 ，因为 ，
所以 在 上为单调递减函数，由 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且 ， ， ， ，
所以 在 上递增，在 上递减．
所以
，
由 ，且 ，
则任意 ， 时，函数 与 有两交点，
故函数 存在两个零点．
【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意得方程 有两解，即
存在两解，令 ，通过二次求导及零点存在性定理得到函数 的单调性，
进行求解．
考点 六 、 二阶导与参数综合问题
1．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知函数 满足 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2) ．
【分析】（1）对函数求导得 ，然后令 ，再求导，从而求解.
（2）利用分离常数得 在区间 上恒成立，从而只需求出 的最大值，即
可求解.【详解】（1）因为 ，定义域为 ，得
令 ，则 ，当 ，得 ，
当 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，即
恒成立，
所以 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．
（2）由题意 在区间 上恒成立，即 恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ， ，只需
因为 ，令 ， ，
有 ，
所以函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以实数a的取值范围为 ．
2．（2023春·浙江·高三校联考期中）已知函数 ， 的导函数为
．
(1)若 存在极值点，求 的取值范围；
(2)设 的最小值为 ， 的最小值为 ，证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)先求 的导数，得到 的解析式，再求 的导数，由 存在极值点，可知
有实数根，把 转化为两个函数 和 有交点的问题，通过求导讨论单调性可知，
只需 即可有交点，得到不等式解出 的取值范围；(2)由(1)可得 的单调性，由 ， 可设 的零点 ，从而得到 的单调性，
得出 的最小值 ，再由 ， 可设 的零点 ，从而得到 的单调性，
得出 的最小值 ，由 把证明 转化为证明 ，通过作差，讨论
的单调性可得 ，即可证明结论.
【详解】（1）因为函数 ，
所以 ，
即 .
则 ，
存在极值点，即 有实数根，即 有实数根，即 有实数
根，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减.
因为 在 上单调递增，
所以要使 在 上有实数根，
只需 ，即 即可，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（2）由(1)知， 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
，
所以存在 ，使 .则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
即 ， .
因为 ，
，
所以存在 ，使 .
则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
即
令 ，要证 ，只需证 .
因为
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，所以 ，
所以 ，
即 ，即 .
【点睛】难点点睛：本题的难点在于零点不能直接求出，对于题目中出现隐零点的一般思路是：先用零点
存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结
合函数单调性明确零点；再虚设零点并确定取范围，利用导数讨论单调性及最值，其中可能需要构造函数
进行二次求导.1．（2023·全国·高三专题练习）已知 为自然对数的底数， 为常数，函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若在 轴的右侧函数 的图象总在函数 的图象上方，求实数 的取值范围.
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论 和 两种情况，求函数的极值；
（2）根据不等式构造函数 ，并求函数的二阶导数，利用二阶导数，讨论 的取值范
围，判断函数的单调性，利用 ，即可求实数 的取值范围.
【详解】（1） ，
当 时， ，函数 单调递减， 无极值；
当 时，由 得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在区间 单调递减，在 单调递增，
当 时，函数取得极小值，极小值为 ，无极大值；
（2） ，关于 的不等式 恒成立，
设 ，则 ， ，
（ⅰ）当 时， ， 单调递增，
，当 时， ，
所以存在 ，使 ，所以 在 上单调递减，
当 时， 矛盾；
（ⅱ）当 时，令 ，解得： ，在区间 单调递减，在 单调递增，
若 ，即 时， 在 单调递增， ， 在 上单调递增，
，满足条件；
若 时， 在 上单调递减，此时 ，
在 上单调递减， ，矛盾
综上，实数 的取值范围 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，以及研究不等式恒成立的综合应用，本题第二问的关键利用
二阶导数讨论 ，由 的正负，讨论函数 的单调性，转化为判断 是否成立.
2．（2023春·山东菏泽·高三统考期中）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若 有三个零点 ，其中 .
(i)求实数 的取值范围；
(ii)求证： .
【答案】(1)极大值为 ,极小值为 .
(2)(i) ；(ii)证明见解析.
【分析】(1)先求 的导数，再由导数讨论函数的单调性，从而得到函数的极值.
(2) (i)先把 化为 ，则 除1外还有两个零点，通过求导讨论 的单调性，当 时，
在 单调递减，不满足，舍去. 当 时， 除1外还有两个零点，则 不单调，可求
出实数 满足的不等式，再由韦达定理求出除1外的两个零点零点的范围，从而说明所求的不等式为符合
题意的实数 的取值范围；(ii) 由题意得 ，结合(i)可知 ，再用基本不等式证明结论.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 .
，令 ，得 或 ；
令 ，得 ；
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
因此，当 时， 有极大值，并且极大值为 ,
当 时， 有极小值，并且极小值为 ,
（2）(i) ，
， ，则 除1外还有两个零点，
，
令 ，
当 时， 在 恒成立，则 ，
所以 在 单调递减，不满足，舍去.
当 时， 除1外还有两个零点，则 不单调，
所以 存在两个零点，所以 ，解得 ，
当 时，设 的两个零点为 ，
则 ， ，所以 ，
当 或 时， ， ，函数 单调递增；
当 时， ， ，函数 单调递减；
又 ，所以 ， ，
而 ，且 ，
，且 ，所以存在 ， ，使得 ，
即 有3个零点 ,
综上，实数a的取值范围为 .
(ii)证明:因为 ，
所以若 ，则 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
，当且仅当 时不等式取等号.
所以 .
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令 ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且 ，还必须结
合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
考点 七 、 二阶导与选填小题综合
1．（2024·山西·二模）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 、 ，构造函数
、 ，利用导数讨论两个函数的单调
性可得 、 ，即可求解.【详解】 ，
，
设函数 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，即 ，所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
即 ，
得 ，所以 ，即 ，解得 .
综上， .
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
2．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）（多选）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A．当 时，则 在 上单调递增
B．当 时，函数 有唯一极值点
C．若函数 只有两个不等于1的零点 ，则必有
D．若函数 有三个零点，则
【答案】ACD
【分析】对于A：直接代入 求单调性即可；对于B：直接代入 求极值即可；对于C：将函数两个
不等于1的零点转化为 有两个不等于1的根， ，求导，研究其单调性，根据单调性确定 ，然后证明 和 对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，
求导解答即可.
【详解】对于A：当 时， ，
则 ，令 ，
则 ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，所以 在 上单调递增，A正确；
对于B：当 时， ，
则 ，令 ，
则 ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 ，所以 在 上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以当 时， ， 单调递增，且 ，
当 时， ， 单调递减，且 ，
若函数 只有两个不等于 的零点 ，即函数 与 有两个交点，
则不妨取 ，当 时， ，
所以函数 与 的两个交点横坐标互为倒数，即 ，C正确；
对于D：明显 ，所以 是函数 的一个零点，且 ，
函数 有三个零点，且函数 在 上为连续函数，则函数 必有两个极值点（不
为1），
因为 ，
所以 ，
设 ，则
当 时，令 ，得 ， 单调递减，
，得 ， 单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递减，不可能有3个零点，
所以 ，令 ，得 ， 单调递减，
，得 ， 单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问
题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
3．（2024·全国·一模）已知函数 ，点 在曲线 上，则 的取值范围是
．
【答案】
【详解】首先将 转化为 ，并利用导数求函数 值域，即 的取值范围，再构造函
数，利用导数判断函数的单调性，并求函数的取值范围.
，设 ，
，
当 时， ， 在区间 单调递增，当 时， ， 在区间 单调递减，
所以当 时， 取得最大值， ，
且 时， ， ，
所以当 时， ，即 ，函数 在区间 上单调递增，
当 时， ，即 ，函数 在区间 上单调递减，
所以当 时， 取得的最大值 ，
所以函数 的值域是 ，
由题意可知， ，
所以 ， ，
设 ， ，
，当 时， ，
所以当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，当 时， ，当 时， ，且 ，
所以函数 的值域是 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
1．（2023·湖北武汉·模拟预测）设 ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用二次导数讨论其单调性可比较 ，构造函数
可比较 .【详解】 ， ，
设函数 ，
，
设 ，故 在 单调递减， ，
从而 在 单调递减，故 ，即 ；
设 ，
故 在 单调递增， ，即 ，从而有 ，
因此 ．
综上， .
故选：D
2．（23-24高二上·福建莆田·期末）（多选）已知函数 ，导函数 的极值点是函
数 的零点，则（ ）
A． 有且只有一个极值点
B． 有且只有一个零点
C．若 ，则
D．过坐标原点仅有一条直线与曲线 相切
【答案】BC
【分析】根据题意，对原函数进行两次求导计算求得 ，得到函数 ，再
分别就选项A,B中的相关量进行判断；对于C项，判断应该与函数单调性有关，经计算得到
，故只需运用单调性即可推得；对于D项，要将过点的曲线切线条数问题转化为含切点
坐标的方程的根的个数问题即得.
【详解】由 可得： ，
不妨取 ，则 ，
则由 解得： ，依题意， ，
解得： .此时， .对于A项，因 ，函数 在R上恒为增函数，
则 没有极值点，故A项错误；
对于B项，由A项结论可知，函数 在R上恒为增函数，且 ，
即 有且只有一个零点，故B项正确；
对于C项，由A项得： ，则 ，
因函数 在R上恒为增函数，则由 即： 可得： ，即：
，故C项正确；
对于D项，不妨设切点为 ，由 可得，
切线斜率为： ，
则切线方程为： ，
因切线过原点，则有： ，
整理得： ，解得： 或 ，
即过坐标原点有两条直线与曲线 相切，故D项错误.
故选：BC.
3．（23-24高三上·山东烟台·期末）若存在两个不相等正实数 ，使得 ，则实数
的取值范围为 .
【答案】 .
【分析】对已知等式进行变形，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，结合题意进行求解即可.
【详解】由 ，可得 ，
令 ，
要存在两个不相等正实数 ，使得 ，
即 不是正实数集上的单调函数，
则 ，
当 时， ，此时 在 单调递增,不满足；
当 时，令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递减，当 时， ， 在 单调递增，
要使 不是正实数集上的单调函数，
则 ，即 ，解得 .
故答案为： .
考点 八 、 二阶导与拐点、对称中心结合
1．（2023·四川成都·模拟预测）对于三次函数 （ ），给出定义：设 是
函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对
称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．2014 B．2013 C． D．1007
【答案】A
【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解.
【详解】 ，所以 ，令 ，
，所以 的对称中心为 ，
故选：A
2．（2022·陕西咸阳·模拟预测）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的
导函数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”，经研究发现所有的三
次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，若函数 ，则 .
【答案】8090
【分析】本题首先可根据 得出 ，从而 ，然后令 ，
求出对称中心 ， ，最后根据 即可求出算式.
【详解】由题意因为 ，
所以 ， ，
令 ，解得 ， ，
由题意得对称中心为 ，
所以 ，
，
故答案为：8090.
1．（21-22高二下·河北沧州·阶段练习）对于三次函数 ，现给出定义：设
是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函
数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个
三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】对函数 求导，再求导 ，然后令 ，求得对称点即可.
【详解】依题意得， ， ，
令 ，解得x＝1，∵ ，∴函数 的对称中心为 ，
则 ，
∵
∴ ．
故选：A.
2．（20-21高二下·江苏苏州·阶段练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三
次函数 的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】B
【分析】通过条件，先确定函数 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.
【详解】由 ，可得 ， ，令 ，
得 ，又 ，所以对称中心为 ，所以
，…， ， .
所以 ．
故选：B.
考点 九 、 二阶导与函数凹凸性结合
1．（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别
是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数 在 上的导函数为 在
上的导函数记为 ，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”，已
知 在 上为“凸函数”，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可．
【详解】由于 ，则 ，
得 ，由于 在 上为“凸函数”，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
由对勾函数的性质知 在 上单调递增，
于是 ，故 .
故选: C
2．（21-22高二下·陕西渭南·期末）给出定义:若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在
上也可导，则称 在 上存在二阶导函数.记 ，若 在 上恒成立，则称 在
上为凸函数.以下四个函数在 上是凸函数的有（ ）
① ，② ，③ ，④ .
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在 上是否是负数即可.
【详解】① ,则 ，当 时， ，则
，选项①满足；
② ，则 ，当 时， ，即 ，②不符题意；
③ ，则 ，选项③满足；
④ ，当 时， ，选项④满足.
综上有 个函数符合题意.
故选：B1．（21-22高三下·河南·阶段练习）设函数f（x）在区间I上有定义，若对 和 ，都有
，那么称f（x）为I上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成
立，则称f（x）在I上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断
方法：设定义在（a，b）上的函数f（x），其一阶导数为 ，其二阶导数为 （即对函数 再
求导，记为 ），若 ，那么函数f（x）是严格的凹函数（ ， 均可导）.试根据以
上信息解决如下问题：函数 在定义域内为严格的凹函数，则实数m的取值范围为
.
【答案】
【分析】对函数 求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.
【详解】由 ，得 ，
令 ，则 ，
令 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，g（x）单调递减；
当 时， ，g（x）单调递增，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
2．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在
上也存在导函数，则称函数 在 上存在二阶导函数，简记为 ．若在区间上 ，则称函数 在区间 上为“凹函数”．已知 在区间
上为“凹函数”，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据“凹函数”的定义，化为 恒成立，再构造函数
，，利用导数求出其最小值可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 在区间 上为“凹函数”，
所以 ，所以 ，
令 ，
则 ，
令 ，得 ，令 ,得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
所以 .
故答案为：
3．（22-23高二下·黑龙江鹤岗·阶段练习）丹麦数学家琴生是 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特
别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ，
在 上的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数 是 上的“严格凸
函数”，称区间 为函数 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 在 上为“严格凸函数”；
②函数 的“严格凸区间”为 ；
③函数 在 为“严格凸函数”，则 的取值范围为 .
【答案】①②【分析】①选项中对 求两次导，判定 的符号即可；②选项中对 求两次导，
解 不等式，可得严格凸区间；③选项中，函数 在 为“严格凸函数”，可
转化为 在 上恒成立，求参数即可.
【详解】 的导函数 ， ，
在 上恒成立，
所以函数 在 上为“严格凸函数”，所以①正确；
的导函数 ， ，
令 ，则 ，解得 ，
所以函数 的“严格凸区间”为 ，所以②正确；
的导函数 ， ，
函数 在 为“严格凸函数”
可得 在 上恒成立，
即 ，设 ，
由于在 上，
所以 在 单调递增，
所以 ，所以 ，所以③不正确；
故答案为：①②.
一、单选题
1．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数 存在极大值点和极小
值点，则实数 的值可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得 有两个根,再求 的导函数,
结合根的情况得极值 ,再根据 范围计算即可.
【详解】由已知 存在极大值点和极小值点
可得 有两个根,可得
当 时, 单调递增, 至多一个根,不合题意
因为 的定义域为 ,所以 ,所以 同号
单调递增,
因为 有两个根,则存在 ,
在 上是单调递减的, 在 上是单调递增的, 有两个根
又因
则 , ,又因
所以 ,即得
因为 单调递增, ,所以
满足 ,则
令 ,则 , 是单调递增的, 所以 ,所以
所以 , 选项满足要求.
故选: .
2．（22-23高三上·江苏常州·期中）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】观察可得 ， ，故考虑设 ， ，
利用导数研究函数的单调性，根据单调性比较大小即可.
【详解】记x＝0.2，则 ， ， ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，故 在 上单调递减，所以当 时， ，即当
时， ，所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，所以 ，所以 ，
令 ，其中 ，则 ，因为 时， ， ，所
以 ，∴ 在 上单调递增，故 ，所以 ，∴ ，∴ ，故选：
C．
二、填空题
3．（2021高二·江苏·专题练习）若函数 在 单调递增，则实数m的取值范围为
.
【答案】
【分析】要使 在 单调递增，则 ，再令 ， ，
得 ，再令 ， ，求出 ，通过 可判断
单增，求得 ，再分 和 讨论，确定 取值范围，进而得解.
【详解】由 ，
得 ，
若函数 在 单调递增，
则 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
再令 ， ，
则 ，因为 ，
所以 ，
所以 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，
故 ；
当 时，得 ，
此时 ，
则 在 上单调递增，
则 ，
此时符合 在 上恒成立；
当 时，得 ，
，使得 ，
故 时， ，即 ，
时， ，即 ，
故 在 上单调递减，
则当 时， ，此时 ，不合题意；
综上，实数m的取值范围为 .
故答案为： .
4．（22-23高二下·重庆南岸·期中）设函数 ，若 为 上的单调函数，则
实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数有最小值 ，无最大值，由此确定
单调递增，得 ，求得答案.
【详解】由已知， 的定义域为 ，
由 得： ，
令 ，当 时， 递减；
当 时， 递增，
故 在 时取得最小值 ，无最大值，
由于 为 上的单调函数，所以只能是递增函数，
故 ，即得 .
故答案为：
5．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）对 ，不等式 恒成立，则实数a的取值范围为
.
【答案】
【分析】首先不等式参变分离为 恒成立，转化为利用导数求函数
的最大值，即可求解参数 的取值范围.
【详解】由题意可分离参数，即对于 恒成立，
令 ，则只需 即可，
则 ，令 ， ，
所以 在 上单调递增，且 .
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；则 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
6．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的不等式 在 上恒成立，
则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先设 ，首先讨论 的情况，再讨论 的情况，同时利用二阶求导的方法研究 的单调性与最值.
【详解】令 ，则 ，
由题意知， ， ， ，
设 ， ，
①当 时，对任意的 ，
， ，则 ，此时函数 在 上单调递增，故 ，符合题意；
②当 时， 对任意的 恒成立，所以 在 上单调递增，
因为 ， ，
（i）当 ，即当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时函数 在 上单调递增，则 ，符合题意；
（ⅱ）当 且 ，即当 时，
由零点存在定理可知，存在 ，使得 ，
且当 时， ，则函数 在 上单调递减，所以 ，不合题意；
（ⅲ）当 ，即当 时，对任意的 ， 且 不恒为零，
此时，函数 在 上单调递减，则 ，不合题意．
综上所述， ，故实数t的取值范围是 ．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值，对
需进行合理的分类讨论.
7．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 恰有两个零点，则
.
【答案】
【分析】利用导数，求出 的单调区间，由函数 恰有两个零点即函数 与x轴有两个不同的交
点，从而建立等量关系求解可得.
【详解】因为 ，
所以
令 ，则 ，令 ，故当 时 ，函数 为增函数，
当 时 ，函数 为减函数，
即当 时函数 有最小值 ，
若 ，即 时 ，此时函数 在R上为增函数，与题意不符，且当 时，
的零点为1；
若 ，即 时，此时函数 与x轴有两个不同交点，
设交点为 ，且 ，即 ，
所以当 或 时 ，即 ，此时函数 为增函数，
当 时 ，即 ，此时函数 为减函数，
依题意，函数 恰有两个零点即函数 与x轴有两个不同的交点，即 或 ，
所以 或 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： .
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
方法一：转化为函数 与x轴交点个数问题，通过求解 单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数 的交点个数问题求解.
8．（2024·全国·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的最
小整数为 ．
【答案】1
【分析】不等式 恒成立转化为 恒成立，构造函数证
明恒成立范围即可.
【详解】当 时， ，
不等式 恒成立，
则 ，即 恒成立，亦即 恒成立，
令 ， ，则 ，
当 时 ， 单调递增，当 时 ， 单调递减，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 恒成立，即 ，
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，即 在 恒成立，
所以 在 单调递增，所以 ，
即 ， ，故 ，
据此可判断 满足不等式成立，
所以实数 的最小整数为 .
故答案为：
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1） ；（2） .
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，在 处取到极小值，则实数
．
【答案】1
【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得 的取值.
【详解】 ，由题意可知， ，
设 ， ， ，
设 ， ， ，
若 ，则存在 ，使 ，则 ， 单调递增，即 单调递增，又 ，
所以 ， ，函数 单调递减，
， ，函数 单调递增，
所以 ， ，即 ，
那么， ，函数 单调递增，在 处不能取到极小值，故不成立，
若 ，则存在 ，使 ，
则 ， 单调递减，即 单调递减，又 ，
所以 ， ，函数 单调递增，
， ，函数 单调递减，
所以 ， ，即 ，
那么， ，函数 单调递减，在 处不能取到极小值，故不成立，
所以 ，即 .
故答案为：1
【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再
分析出 的取值.
10．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ， 时， ，则实数 的范围
是 .
【答案】
【分析】先应用参数分离，构造新函数 ，把恒成立转化为求 最小值，二次求导根
据单调性求最值即可.
【详解】由题可得 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 单调递增，
， ，存在唯一零点 ，且 ，使得 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，
，即 ，
令 ，显然 在 单调递增，则 ，即 ，
则 ， .
故答案为：
三、解答题
11．（2024·陕西西安·二模）已知函数 ．
(1)当 时， ， ，求 的取值范围；
(2)证明：当 时， 在 上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据三角函数的性质，利用导数研究函数的值域即可；
（2）利用二次求导结合 适当放缩判定 的导函数符合即可.
【详解】（1）当 时， ，
令 ，
显然 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ；
（2）由 ，令 ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
即 ，
若 ，则 ，即 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以当 时， 在 上单调递增.
12．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求整数a的最大值．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；
（2） 时，不等式恒成立；当 时，不等式等价于 ，设
，利用导数求 的最小值，可求整数a的最大值．
【详解】（1）若 ，则 ， ，则切点坐标为 ，
，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ．
（2）由 ，得 ，
当 时， ， ；
当 时， ，
设 ， ，
设 ， ，
则 在 单调递增，
， ，所以存在 使得 ，即 ．时， ，即 ； 时， ，即 ，
则有 在 单调递减，在 单调递增， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以整数a的最大值为4．
【点睛】方法点睛：
不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种
思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想
的应用.
13．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若0是函数 的极小值点，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）构造函数多次求导，通过分类讨论逐次不同阶段研究导函数的符号与函数的单调性关系，最终还原
为原函数的单调性分析，验证在 处函数的极大（小）值的情况即可.
【详解】（1）由 ， ，
则 ，
所以 ，即切线斜率为 ，
又 ，则切点为 ，切线方程为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）根据题意得， ，
则 ．
由0为 的极小值点，可知 ．
设 ，则 ．
（ⅰ）当 时， ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．
（ⅱ）当 时，设 ，
则 ，
所以 在 上单调递增， ，
，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以0是 的极小值点，符合题意．
（ⅲ）当 时， ，且 在 上单调递增，
所以当 时， ， 单调递减，即 单调递减；
当 时， ， 单调递增，即 单调递增.
又 ，所以 ， 单调递增，不符合题意．
（ⅳ）当 时， ， 在 上单调递增， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减，又 ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
所以0是 的极大值点，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ．
14．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)求证：对任意的正实数 ， ，有 .
【答案】(1)单调减区间为 ，单调增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造函数求导函数 的单调性，即可求出 时，函数 的单调区间；
（2）分别写出 和 的表达式，通过比较各项的大小即可得出二者的大小关系.
【详解】（1）由题意， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
当 时，
， ， ，
令 ，解得 .
∵ ，
∴函数 在 上单调递增，
∴当 时， ；当 时， .
∴ 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）由题意及（1）得，
在 中，对任意的正实数 ， 有
，
.
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，即 .
综上可知， .
【点睛】关键点点睛，本题考查函数的单调性，构造函数，凸函数的定义，考查学生对函数几何意义的理
解，具有很强的综合性.
15．（23-24高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在定义域上存在极值，求 的取值范围；
(3)若 恒成立，求 .
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）利用导数，结合极值存在的条件，求 的取值范围；
（3）通过构造函数，利用导数求最值的方法，解决不等式恒成立问题.
【详解】（1）当 时， ， ，故切点坐标为 ，又因为 ，则切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2） ，函数定义域为 ， ，
所以当 时， 恒成立，不符合题意.
当 时，令 ， ，
所以 时， 在定义域上单调递增，
，因为 ，所以 ，
当 时， ，所以 在 上存在极值点
当 时， ， ，
所以 为 的极值点.
当 时， ，因为 ， ，故
所以 在 上存在极值点.
综上所述， 的取值范围是 .
（3） 恒成立，得 ，
设
则 ，令 ，则
①当 时，在 时， ， ，所以 ，
在 时， ，
所以 ，
所以 为 在 上的唯一极小值点， ，
所以 时， 恒成立
②当 时， 时， ， ，有 ，
时， ， ，有 ，又 ，所以 ，即 为增函数.
，
又因为 ，所以存在 使得 ，
当 时， 为减函数，
所以 ，不符合题意.
③当 时，同②有 为增函数，
当 时，
，又因为 ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ， 为增函数，
所以 不符合题意.
④当 时， 时， ， ，有 ，
时， ， ，有 ，
又 ，所以 ， 为增函数，
又因为 ，所以当 时， ，不符合题意.
综上所述， .
【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知
识点，导数研究函数的极值，可导函数 在点x 处取得极值的充要条件是 ，且在x 左侧与
0 0
右侧 的符号不同；若 在 内有极值，那么 在 内绝不是单调函数，即在某区间上单
调增或减的函数没有极值．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技
巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
