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专题 18.7 平行四边形中的最值问题
◆ 思维方法
正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从
可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。
逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发
进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采
用间接证明。
分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每
一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并
非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：
1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；
2. 按同一标准划分（同一性）；
3. 逐级分类（逐级性）。
◆ 典例分析
【典例1】如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点（不包括端点），连
结AC，过点P作PQ∥AC边CD点Q，点R线段AC上的一点．
（1）若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；
（2）当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出 PR+QR的最小值；
（3）当PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的
最小值．
【思路点拨】
（1）由菱形的性质可得△ABC，△ACD均为等边三角形，点R为AC的中点，连接PR，QR，利用三角形中位线定理即可求解；
（2）由题可知△ABC，△ACD，△PDQ为等边三角形，由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在
AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，AP=AP′，连接P′Q，交AC于点O，过点O作垂直
1
于AB的直线交AB于P ，交CD于Q ，可得△AOP′≌△COQ(AAS)，可得OA=OC= AC=2，则点O
0 0 2
为 中点，利用含 的直角三角形可得 ， ，由三角形三边关系及垂线段最短可知
AC 30° OP =❑√3 OQ =❑√3
0 0
，当 ， ， 三点在同一直线上，且 与 重合时取等号，
PR+QR=P′R+QR≤P′Q≤P Q =2❑√3 P′ R Q P′ P
0 0 0
即当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P′与点R坐在直线垂直于AB时，PR+QR有最小值2❑√3；
（3）同（2），AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，连接
P′Q，交AC于点O，由（2）可得点O为AC中点，作AD关于CD对称的线段A′D，取点P的对应点P″，
连接QP″，则QP=QP″，由对称可知：∠P″QD=∠PQD=60°，则
PR+QR+PQ=P′R+QR+QP″≥PP″，当P′，R，Q，P″在同一条直线上时取等号，此时点R为AC中
点，可知△CRQ，△ARP为等边三角形，进而即可求解．
【解题过程】
（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴∠ABC=∠D=60°，AB=BC=CD=AD=4，则△ABC，△ACD均为等边三角形，
∴AD=AC=CD=4，
∵点R为菱形ABCD对角线的交点，
∴点R为AC的中点，
连接PR，QR，
∵PQ为△ACD的中位线，
∴PR，QR也为△ACD的中位线，
1 1
则PR= CD=2，QR= AD=2，
2 2∴PR+QR=4；
（2）由（1）可知△ABC，△ACD均为等边三角形，
则∠BAC=∠ACD=∠CAD=∠D=60°，AB=BC=CD=AD=AC=4
∵PQ∥AC，
∴∠DPQ=∠CAD=60°，则△PDQ为等边三角形，
∴PD=QD，则AP=CQ，
由菱形性质可知，AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，
AP=AP′，连接P′Q，交AC于点O，过点O作垂直于AB的直线交AB于P ，交CD于Q ，
0 0
∵AP=CQ，则AP=AP′=CQ，
又∵∠AOP′=∠COQ，
∴△AOP′≌△COQ(AAS)，
1
∴OA=OC= AC=2，则点O为AC中点，
2
∵∠BAC=∠ACD=60°，∠AP O=∠CQ O=90°，
0 0
∴∠AOP =∠COQ =30°，
0 0
1 1
∴AP = OA=1，CQ = OC=1，由勾股定理可得：OP =❑√3，OQ =❑√3，
0 2 0 2 0 0
∴ ，
P Q =2❑√3
0 0
∵P′R=PR，
∴ ，当 ， ， 三点在同一直线上，且 与 重合时取等号，
PR+QR=P′R+QR≤P′Q≤P Q =2❑√3 P′ R Q P′ P
0 0 0
即：R与点O重合（点R为AC中点），P′与P 重合时取等号，
0
综上，当点R为AC中点，点P关于AC对称的点P′与点R坐在直线垂直于AB时，PR+QR有最小值2❑√3；
（3）同（2），AB与AD关于AC对称，在AB上，取点P的对应点P′，连接P′R，则P′R=PR，连接
P′Q，交AC于点O，由（2）可得点O为AC中点，
作AD关于CD对称的线段A′D，取点P的对应点P″，连接QP″，则QP=QP″，∵△PDQ为等边三角形，
∴∠PQD=60°，由对称可知：∠P″QD=∠PQD=60°，
则PR+QR+PQ=P′R+QR+QP″≥PP″，当P′，R，Q，P″在同一条直线上时取等号，
此时点R为AC中点，
∵∠P″QD=∠PQD=60°=∠ADC，则QP″∥AD
∴P′P″过点O（点R），且P′P″∥AD，
可知△CRQ，△ARP为等边三角形，CQ=RC=QR=2，QD=PD=PQ=2，AP=AR=PR=2，即P，
R，Q，分别为AD，AC，CD的中点，
∴此时PR+QR+PQ=6，
作图，如下：
作法：取AD的中点为P，作PQ∥AC交CD于Q；
综上，PR+QR+PQ的最小值为6．
◆ 学霸必刷
1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E为CD中点，P、
Q为BC边上两个动点，且PQ=2，则四边形APQE周长的最小值为（ ）A．10+2❑√26 B．10+2❑√13 C．12+2❑√26 D．2❑√26
2．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点E在边AD上，且ED=6，
M，N分别是边AB、BC上的动点，P是线段CE上的动点，连接PM，PN，使PM=PN．当PM+PN的
值最小时，线段PC的长为（ ）
A．2 B．2❑√2 C．4 D．4❑√2
3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，E是CD边上一点，连
接AE，沿AE翻折△ADE，得到△AFE，连接CF．当CF长度最小时，△CEF的面积是（ ）
5 4 3
A． B． C． D．2
4 3 2
4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=1，BC=2，点P在线段AD（包
括端点）上运动，以线段BP为边，向右侧作正△BPE，连接EC．下列结论正确的是（ ）
A．当点P与点A重合时，CE最小 B．当点P与点D重合时，CE最小
C．当CE最小时，A、E、C三点共线 D．当CE最小时，∠PEC=75°
5．（2023·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∠AOD=120°,AB=2，点E是BD上一动点，点P是AE的中点，连接PB、PO，则PB+PO的最小值为（ ）
A．❑√5 B．3 C．❑√7 D．❑√13
6．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的动点，P是
对角线AC上的动点，且PE∥CD．若AB=4，∠B=45°，则PE+❑√2PF的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．2❑√2
7．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB=60°，E是BC的中点，
P为BD上一点且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（ ）
A．2❑√7+2 B．❑√7+1 C．2❑√3+2 D．2❑√7+1
8．（23-24九年级上·安徽合肥·开学考试）如图，在菱形ABCD中，AB=4，E是AB边上一点，且
∠A=∠EDF=60°，有下列结论：① △≝¿是等边三角形；②∠ADE=∠BEF；③ △BEF周长的最小
值为4+2❑√3；④ △BEF面积的最大值为❑√3．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2024·安徽合肥·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且AE平分
∠CAD，DE=CF，连接DF，分别交AE，AC于点G，点M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为（ ）
A．2❑√2−1 B．2❑√2 C．2❑√3 D．2❑√3+1
10．（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB=12，BE=4，
M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）
A．8 B．8❑√3 C．8❑√5 D．12
11．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）正方形ABCD，BEFG如图放置，AB=6，AG，CE相交于点P，
Q为AD边上一点，且DQ:AQ=1:2，则PQ的最大值为（ ）
A．3❑√2+3 B．3❑√2+❑√10 C．7 D．❑√53
12．（2023·江苏宿迁·一模）如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，
∠A=90°，AB=BC=4，AD=2，点E，F分别是边AD，BC上的两个动点，且AE=CF，过点B
作BG⊥EF于G，连接CG，则CG的最小值是（ ）A．2❑√10−❑√2 B．❑√10+❑√2 C．❑√10 D．❑√10−❑√2
13．（22-23九年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E,B不重
合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．若AB=1时，则△ADP周长的最小值为
（ ）
A．3 B．❑√5 C．❑√5+1 D．❑√7+1
14．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且
∠MBN=30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM′，连接CM′．当线段CM′的长度最小时，∠MM′C
的度数为 度．
15．（22-23九年级上·山西运城·期中）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，△ABE沿AE折叠后得
到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB=6，AD=8．当点E是BC的中点时，线
段GC的长为 ；点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，CE的长为 ．16．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形ABCD中，AB=2❑√3，AD=8，E、F分别为AD、
BC上两个动点，且∠EFC=60°，连接AF，CE，当AF+EF+CE最小时，BF的长为 ．
17．（23-24八年级下·北京东城·期中）如图，已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，点M是边BC
的中点，点N是边CD上一点，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为 ．
18．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使
DE=AD，且BE⊥DC，若△ADB是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上
运动，则PM+PN的最小值为 ．
19．（2024·四川成都·二模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，CD=4，M，N分别是边AB,AD
的动点，满足AM=DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接
1
AE、BE、NF，当△CFN面积最小时， BE+AE的最小值为 ．
2
20．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，已知菱形ABCD中，∠A=120°，AB=8，点E，F分别为
边AD，CD上的两个动点，始终保持DE=DF，连接BE，EF，取BE中点G并连接FG，则FG的最小值是 ．
21．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形ABCD边长为5，点E、F为对角线BD上两点，
且BE=2DF，BD=8，连接AE,AF，则2AF+AE的最小值是 ．
22．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，E、F是正方形ABCD的边AB、CD上的动点，且
BE+CF=AD，点G在AC上，当AG=5，CG=3时，¿+GF的最小值是 ．
23．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在BC、CD上，且
BE=CF，AE与BF相交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
24．（2023·江苏南通·二模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边AB上的
动点，以EF为一边在EF的右上方作等边三角形FEG，当CG最小时，△ECG的周长为 ．25．（2024·陕西商洛·一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在线段AD上，以DE为边构造正方形
DEFG，使点G在CD的延长线上，连接CF，取CF的中点H，连接DH．当点E在AD边上运动(不含A，
D)时，DH的最小值为 ．
26．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD
上的动点，且AE=DF，连接BE、AF，交于点G．
（1）连接DG，则线段DG的最小值是 ；
（2）取CG的中点H，连接DH，则线段DH的最小值是 ．
