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9.2 利用导数求单调性（精练）（基础版）
题组一 无参函数求单调区间
390<417
1．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）函数 ，则 的单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，求导得： ，由 ，解得 ，
所以 的单调增区间是 .故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的定义域为 解不等式 ，可得 ，
故函数 的递减区间为 .故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ,由 ，得 ，所以 的单调递减区间为 .故选：B
4．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递
减区间为（ ）
A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)【答案】A
【解析】由题设 ，则 ，可得 ，
而 ，则 ，
所以 ，即 ，则 且 递增，
当 时 ，即 递减，故 递减区间为(-,0).
故选：A
5．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）（多选）下列区间中能使函数 单调递增的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由 ，得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 .
令 ，则 ，
由 ，得 ，
令 即 ，解得 ，或 ，
当 或 时， ；
所以 在 和 上单调递增；
所以 在定义域内是单调递增函数,
所以函数 在 和 上单调递增.故选：BD.
6．（2022·全国·高二单元测试）函数 的单调减区间为__________．
【答案】
【解析】∵ ，则
令 ，则
∴函数 的单调减区间为
故答案为： .
7．（2022·全国 课时练习）设函数 ，若函数 的图象在点 处的切线方程为
，则函数 的单调增区间为__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又因为函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
由 ，可得 ，所以函数 的单调增区间为 .
故答案为： .
8．（2022·广西）函数 的单调递增区间是______________.
【答案】
【解析】 的定义域为R，
且 ，令 ，解得： ，
即函数 的单调递增区间是 .
故答案为：
题组二 单调函数求参数
1．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））若函数 在区间 上单调递增，则实数k
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得， 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
又函数 在 上单调递增，得 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .故选：B
2．（2022·河南 ）已知函数 在 上为单调递增函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ，因为 在 上为单调递增函数，故 在 上恒成立，
所以 即 ，故选：A.
3．（2022·江西 ）已知函数 在 上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】C
【解析】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
由 在 上单调递增知， ，
所以 ，
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 在区间 上是增函数，
在 上恒成立，
，因为 ，所以
令 ，则 ，即 ， ，
，令 ， ，则 ，在 上单调递减， ，即 ，
故选：A．
5（2022·广东东莞 ）若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-1，1） B． C．（-1，+∞） D．（-1，0）
【答案】B
【解析】 ，由题意得： ，
即 在 上恒成立，
因为 ，所以 恒成立，故实数a的取值范围是 .
故选：B
6．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数 在 上单调递增，则实数a的取
值范围( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知， 恒成立，故 ，即 ．故选：A﹒
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的单调递减区间是 ，
则 （ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】函数 ，则导数
令 ，即 ，
∵ ， 的单调递减区间是 ，∴0，4是方程 的两根，
∴ ， ，
∴
故选：B.
8．（2022·河南宋基信阳实验中学高二阶段练习（理））若函数 在区间 内单调递增，则
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
因为函数 在区间 内单调递增，
所以有 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
因为 ，所以由 ，
因为 ，所以 ，于是有 ，
故选：D
9．（2022·山东聊城 ）若函数 在区间 上单调递减，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，则 在 上恒成立，即 恒成
立，又 在 上单调递减，故 ，
所以 ，当 时，导数不恒为0，故选：D.
10．（2022·广东顺德德胜学校 ）函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】：因为函数 ，所以 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，则 ，解得 或 ，
所以实数a的取值范围是 ，故选：D
11．（2022·江西吉安 ）已知函数 在 上为单调递增函数，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 在 上为单调递增函数，所以 在 上恒成立，
令 ，要满足 ①，或 ②，
由①得： ，由②得： ，综上：实数m的取值范围是 .故选：D
12．（2022·江西）若函数f(x)＝x2＋ax＋ 在[ ，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
【答案】D【解析】f′(x)＝2x＋a－ ，由于函数f(x)在[ ，＋∞)上是增函数，故f′(x)≥0在[ ，＋∞)上恒成立.
即a≥ －2x在[ ，＋∞)上恒成立.
设h(x)＝ －2x，x∈[ ，＋∞)，易知h(x)在[ ，＋∞)上为减，∴h(x) ＝h( )＝3，
max
∴a≥3.故选：D
13．（2022·湖北 ）已知函数 ，不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
则 等价于 ，解得 ，即原不等式的解集为 .
故选：B.
14．（2022·河南·高三阶段练习（理））若 是R上的减函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
得 ，
因为 是R上的减函数，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
由于 ，所以 ．
故选：B.
15．（2022·广西钦州 ）函数 在 单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得 ，
函数 在区间 单调递增，
在区间 上恒成立．
，
而 在区间 上单调递减，
．
选项中只有 是 的必要不充分条件. 选项AC是 的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若f(x)在R上单调，则a的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】求导 ，令 ，
由 在R上单调，可知 恒成立或 恒成立，分类讨论：（1）当 时， ，令 ，得
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；
，即 恒成立，符合题意；
（2）当 时， ，令 ，得
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
，即 恒成立，符合题意；
（3）当 时，令 ，得 或 ，
研究 内的情况即可：
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；当
时， ，函数 单调递减；
当 时，函数 取得极小值，且满足 ；当 时，函数 取得极小值，且满足
，且同理 ，且
又 ，当 时， ；当 时， ，故不符合；
所以a的取值范围是
故选：A
题组三 非单调函数求参数
1．（2022·福建）若函数 存在单调递减区间,则实数b的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
由题意可得存在 ，使得 ，
即存在 ，使得 ，等价于 ，由对勾函数性质易得 ，
故选B.
2．（2022·陕西 ）若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵函数f（x）＝ax3﹣3x2+x+1，∴f′（x）＝3ax2﹣6x+1，
由函数f（x）恰好有三个单调区间，得f′（x）有两个不相等的零点，
∴3ax2﹣6x+1＝0满足：a≠0，且△＝36﹣12a＞0，解得a＜3，
∴a∈（﹣∞，0）∪（0，3）．故选D．
3．（2022·西藏）已知函数 ．若 在 内不单调，则实数a的取值范围是
______．【答案】
【解析】由 ，得 ，
当 在 内为减函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
当 在 内为增函数时，则 在 内恒成立，
所以 在 内恒成立，
令 ，因为 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 在 内的值域为 ，所以 或 ，
所以函数 在 内单调时，a的取值范围是 ，
故 在 上不单调时，实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
4．（2022·全国·高三专题练习）若函数 在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范
围是___________.
【答案】(4，5)
【解析】 函数 ， ，
若函数 在区间 上不单调，则 在 上存在变号零点，
由 得 ，
令 ， ， ，
在 递减，在 递增，而 ， ， ，所以 .故答案为： .
5．（2022·陕西）若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 ，
由于函数 有三个单调区间，
所以 有两个不相等的实数根，所以 .
故答案为：
6．（2022·四川 ）已知函数 .若函数 在区间 上不是单调函数，则实数t
的取值范围为__________．
【答案】
【解析】求导得 ，
易知 ， ， 单增 ； ， ， 单减；
若使 在区间 上不单调 ，
只需 ，则 .
故答案为：
7．（2022·重庆 ）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为函数 在 上不单调
所以 必有解
当 只有一个解时，
得出函数 在 上单调递增，与题干矛盾，故 必有两个不等实根
则 ，解得 或
故答案为
题组四 单调性的运用
1．（2022·赣州模拟）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， 取得极大值，则 ， ，
故 ．故答案为：D2．（2022·青州模拟）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增，
故当 时，函数取得最大值 ，
因为 ， ，
，当 时， ，函数单调递减，可得 ，
即 。故答案为：C
3．（2022·江西模拟）函数 .若 ， ， ，则
有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 ， 所以 ，
当 时， ，所以 在 上递增，
因为 ，所以 ，所以 ，故答案为：A
4．（2022·河南二模）已知函数 ，则不等式 的解
集为 .
【答案】
【解析】由 ， ， 得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，所以 ，
又不等式中含 ，则 ，故 ，
又 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
则不等式 ，
等价于 或 ，即 或 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .故答案为： .
5．（2022·全国·单元测试）已知函数 的导函数 图像如图所示，则 的图像是图四个图像中的（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， 单调递增，则 在 上增的越来越快，
当 时， 单调递减，则 在 上增的越来越慢，
当 时， 单调递减，则 在 上减的越来越快，
当 时， 单调递增，则 在 上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
6．（2022·新疆·新和县实验中学 ）已知函数 的导函数 的图像如图所示，以下结论：① 在区间 上有2个极值点
② 在 处取得极小值
③ 在区间 上单调递减
④ 的图像在 处的切线斜率小于0
正确的序号是（ ）
A．①④ B．②③④ C．②③ D．①②④
【答案】B
【解析】根据 的图像可得，在 上， ，所以 在 上单调递减，
所以 在区间 上没有极值点，故①错误，③正确；
由 的图像可知， 在 单调递减，在 单调递增，故②正确；
根据 的图像可得 ，即 的图像在 处的切线斜率小于0，故④正确.
故选：B.
