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专题 3.7 导数的综合问题-重难点题型精讲
1．利用导数证明不等式
构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，
利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：
(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅
助函数h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋
1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转
化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；
(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值
点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．
2．利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题
一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x) ；若af(x)成立，则只需a>f(x) ；若存在x∈D，使ag(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过分析F(x)在端点处
的函数值来证明不等式．若F(a)＝0，只需证明F(x)在(a，b)上单调递增即可；若F(b)＝0，只需证明F(x)
在(a，b)上单调递减即可.
(2)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题．
(3)不等式里既有指数又有对数，求导后不好处理，通常是把指数和对数分开，使得不等式一边是指数，另
一边是对数，分别计算它们的最值，利用最值来证明不等式.
【例1】（2022春•福安市校级月考）已知函数f（x）＝（x2﹣ax﹣a）ex，a R．
（1）讨论函数f（x）的单调性； ∈
（2）当a＝0时，证明：f（x）＞x2（lnx+2）．
1
【变式1-1】（2022春•清远期末）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax+ ，g（x）＝ex+cosx﹣x﹣2．
x
（1）当0≤a＜1时，讨论f（x）的单调性；
1
（2）设m，n为正数，且当a＝1时，f（m）＝g（n），证明：f（e﹣2n）＞g（− lnm）．
2【变式1-2】（2022•长沙县校级模拟）已知f（x）＝aex﹣1﹣x2﹣1．
（1）若f（x）单调递增，求a的取值范围；
ex−1−x x2−1
（2）证明：当x≠1时， ＞ ．
lnx 4
ln(ax)
【变式1-3】（2022春•信阳校级期末）已知函数f(x)= −elnx（e＝2.71828……自然对数底数）．
x
（1）当a＝e时，求函数f（x）的单调区间：
（2）当a＞e时，
（Ⅰ）证明：f（x）存在唯一的极值点：
（Ⅱ）证明：f（x）＜（a﹣1）e．
【题型2 双变量不等式的证明】
【方法点拨】
(1)将双变量中的一个看作变量，另一个看作常数，构造一个含参数的辅助函数证明不等式．
(2)整体换元．对于齐次式往往可将双变量整体换元，化为一元不等式．
(3)若双变量的函数不等式具有对称性，并且可以将两个变量分离开，分离之后的函数结构具有相似性，从
而构造函数利用单调性证明.
f(x)
【例2】（2022•历城区校级模拟）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g(x)= ，a R．
x
∈
（1）讨论g（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点x ，x （x ＜x ），证明： ．（e＝2.71828…为自然对数的底数）
1 2 1 2 x4x ＞e3
1 2x
【变式2-1】（2022春•城厢区校级期末）已知函数f(x)= −1−alnx恰有两个零点x
1
，x
2
（x
1
＞x
2
）．
2
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：3x +x ＞6a．
1 2
【变式2-2】（2022春•齐齐哈尔期末）已知函数f（x）＝xex﹣1，g（x）＝x+lnx．
（1）求y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设h（x）＝f（x）﹣ag（x）（a R），x 是h（x）的极小值点，且h（x ）≥0，证明：h（x ）
0 0 0
∈
．
≥2x 2 (1−x )
0 0
【变式2-3】（2022春•佛山期末）已知函数f（x）＝xex﹣alnx﹣a，其中a＞0．
（1）若a＝2e，求f（x）的极值；
（2）令函数g（x）＝f（x）﹣ax+a，若存在x ，x 使得g（x ）＝g（x ），证明： ．
1 2 1 2 x ex 1+x ex 2＞2a
1 2
【题型3 不等式恒（能）成立问题】【方法点拨】
解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：
(1)分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端
是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题，即可解决问题．
(2)分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分类讨
论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，据此进行求解即可.
【例3】（2022秋•云南月考）已知函数f（x）＝xlnx﹣（a+1）x+a．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若不等式f（x）≤（x﹣a﹣2）e（x﹣1）+a对任意x [1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．
∈
【变式3-1】（2021秋•萍乡期末）已知函数f（x）＝（x+m）•ex．
（1）若f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，求实数m的取值范围；
（2）当m＝0时，若对任意的x≥0，不等式ax•f（x）≤e2x恒成立，求实数a的取值范围．
【变式3-2】（2022春•鲤城区期末）已知函数f（x）＝ex﹣x﹣1．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤x2+（a﹣1）x在x （0，+∞）时有解，求实数a的取值范围．
∈
lnx 1+e
【变式3-3】（2022•青龙县开学）已知函数f(x)= +k的极大值为 ，其中e＝2.71828…为自然对数
x e
的底数．
（1）求实数k的值；a
（2）若函数g(x)=ex− ，对任意x （0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．求实数a的取值范围．
x
∈
【题型4 双变量的恒（能）成立问题】
【方法点拨】
1．最值定位法解双变量恒（能）成立问题的思路
(1)通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等
式，从而求解参数的取值范围．
(2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联
的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位，对于任意的x∈[a，b]，x∈[m，n]，不等式
1 2
f(x)≥g(x)
1 2
恒成立，等价于f(x) (x∈[a，b])≥g(x) (x∈[m，n])，列出参数所满足的不等式，便可求出参数的取值范
min max
围．
2．常见的双变量不等式恒成立问题的类型
(1)对于任意的x∈[a，b]，总存在x∈[m，n]，使得f(x)≤g(x) f(x) ≤g(x) .
1 2 1 2 1 max 2 max
(2)对于任意的x∈[a，b]，总存在x∈[m，n]，使得f(x)≥g(x)⇔f(x) ≥g(x) .
1 2 1 2 1 min 2 min
(3)若存在x∈[a，b]，对任意的x∈[m，n]，使得f(x)≤g(x) ⇔f(x) ≤g(x) .
1 2 1 2 1 min 2 min
(4)若存在x∈[a，b]，对任意的x∈[m，n]，使得f(x)≥g(x)⇔f(x) ≥g(x) .
1 2 1 2 1 max 2 max
(5)对于任意的x∈[a，b]，x∈[m，n]，使得f(x)≤g(x) f(x⇔) ≤g(x) .
1 2 1 2 1 max 2 min
(6)对于任意的x∈[a，b]，x∈[m，n]，使得f(x)≥g(x)⇔f(x) ≥g(x) .
1 2 1 2 1 min 2 max
【例4】（2022春•郴州期末）已知f(x)=alnx+ 1 x2− ⇔ 2x（a R且a≠0），g（x）＝cosx+xsinx．
2
∈
（1）求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值；
π π
（2）如果对任意的x [﹣ ， ]，存在 1 ，使得f(x ) 成立，求实数a的取值范
1 x ∈[ ，e] 2 −a≤g(x )
2 e x 1
2
∈ π π
围．π
【变式4-1】（2021春•沙河口区校级月考）已知函数f（x）＝x2+3x+2，g（x）＝ksin(2x− )（k≠0）．
3
（1）当a取何值时，方程f（sinx）＝a+2sinx在x [0，2 ）上有两个解；
（2）若对任意的x
1
[﹣2，1]，总存在x
2
[0，2]，∈使f（πx
1
）＜g（x
2
）成立，求实数k的取值范围．
∈ ∈
1
【变式4-2】（2022春•遂宁期末）已知函数f(x)=lnx+ x2−2mx(m∈R)．
2
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点x ，x （x ＜x ）且f（x ）≥ax 恒成立，求实数a的取值范围．
1 2 1 2 1 2
x
【变式4-3】（2022春•闵行区校级期末）已知函数f(x)= ．
lnx
（1）求f（x）在（1，+∞）上的单调区间；
1
（2）存在x （0，1）∪（1，+∞），使得 ≥kx 成立，求实数k的取值范围；
0 f(x ) 0
0
∈
f(m)−f '(n)
（3）若对于 m、n∈[√e，e2 ]，不等式 ≤1恒成立，求实数a的取值范围．
a−2022
∀
【题型5 函数零点的个数问题】【方法点拨】
(1)确定函数的零点个数有两种解决方法
①利用单调性与零点存在性定理求解；
②化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求解.
(2)利用函数零点求参数范围的方法
①分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交
点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
②利用零点的存在性定理构建不等式求解；
③转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
1
【例5】（2022•蒙城县校级开学）已知函数f(x)= +tlnx−1．
x
（1）若t＝1，求证：f（x）≥0恒成立；
（2）当t≤1时，求f（x）零点的个数．
【变式5-1】（2022秋•江西月考）已知函数f（x）＝（x+1）ex+a，其中a≥﹣1．
（1）求f（x）的极值点个数；
1
（2）求函数g（x）＝f（x）+2ax在区间(− ，+∞)内的零点个数．
2
【变式5-2】（2022春•南沙区期末）已知函数f（x）＝2lnx﹣ax2﹣2（a﹣1）x+1（a R）．
（1）求函数f（x）的单调区间； ∈
（2）若函数f（x）有两个不同的零点x ，x ，求实数a的取值范围．
1 2x−1
【变式5-3】（2022春•台州期末）已知函数f(x)=alnx+ ．
ex
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明：当a≥0时，f（x）有且只有一个零点；
（3）若f（x）在区间（0，1），（1，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
【题型6 与函数零点相关的综合问题】
【方法点拨】
在利用导数求解函数问题时，很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点，但所述条件都难以求出其准
确
值，导致解题过程无法进行时，这时可以设出其零点是x（有时是可以求出但无需求出），据此进行求解
0
即可.
【例6】（2022•湖南开学）已知函数f（x）＝3lnx﹣ax．
（1）讨论f（x）的单调性；
x +3x
（2）设x ，x （x ＜x ）是f（x）的两个零点，f'（x）是f（x）的导函数，证明：f '( 1 2 )＜0．
1 2 1 2
4
【变式6-1】（2022春•尖山区校级期末）已知函数f(x)=lnx+a√x−2x(a∈R)．若函数f（x）有两个
不同零点x ，x （x ＜x ）．
1 2 1 2
（1）求实数a的取值范围；
a2
（2）求证：x ⋅x 2 ＞ ．
1 2 4【变式6-2】（2022春•哈尔滨期末）已知函数f（x）＝xex﹣mx（m R）．
（1）当m＜﹣e﹣2时，求f（x）的单调区间；
∈
（2）令 F（x）＝f（x）﹣mlnx，若 x 是函数 F（x）的极值点，且 F（x ）＞0，求证：
0 0
．
F(x)＞−2x3+2x
0 0
【变式6-3】（2022春•汉滨区期末）已知函数f（x）＝lnx﹣ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）无零点，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个相异零点x ，x ，求证： ．
1 2 x x ＞e2
1 2
