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9.6 导数的综合运用（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 零点问题
【例1】（2022·全国·成都七中）设函数 为常数).
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
【答案】(1)递减区间 ，递增区间 ；(2)答案见解析.
【解析】（1）当 时，由 求导得： ，显然函数 在
上单调递增，而 ，则当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在
上递增，所以函数 的递减区间是 ，递增区间是 .
（2）由（1）知函数 在 上递减，在 上递增， ，
令 ， ，求导得 ，函数 在 上单调递增，函数 在
上递减，当 时， 取值集合为 ，函数 取值集合为 ，
因此函数 在 上的函数值集合为 ，
当 时，函数 的取值集合为 ，函数 取值集合为 ，
因此函数 在 上的函数值集合为 ，
所以当 ，即 时，函数 无零点，当 时，函数 有一个零点，
当 时，函数 有两个零点.
【一隅三反】
1．（2022·全国·兴国中学）已知函数 在点 处的切线方程为 ．
(1)求函数 的单调区间，
(2)若函数 有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)单调递减区间是 ，单调递增区间是 (2)
【解析】（1）由题可得 ，由题意得 ，解得 ，
所以 ，
由 得 或 ，由 得 ，
所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ；
（2）因为 ，
由（1）可知， 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，依题意，要使 有三个零点，则 ，即 ，
解得 ，经检验， ，
根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为 ．
2．（2022·黑龙江）已知函数 ， ，曲线 和 在原点处有相同
的切线.
(1)求 的值；
(2)判断函数 在 上零点的个数，并说明理由.
【答案】(1)1(2)1个零点，理由见解析
【解析】（1）依题意得：函数 ，其导函数为 ， ，
所以 ．
曲线 和 在原点处有相同的切线. ， ．
（2）由（1）可知， ，所以 ；
当 时， ， ，此时 无零点．
当 时，
令
则 ，显然 在 上单调递增，又 ， ，所以存在 使得 ，
因此可得 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；又 ，
所以存在 ，使得 ，
即 时， ， ， 单调递减；
时， ， ， 单调递增；
又 ， ，所以 在 上有一个零点．
综上， 在 上有1个零点．
3．（2022·河南）已知 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有一个零点，求k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1） 的定义域为 ，
，当 时， 恒成立， 在 上单调递增.
当 时，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减.综上可知， 时， 在 上单调递增.
时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） 有一个零点，可得 有一个实根，
令 ， .
令 ，得 ；令 ，得 .
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减.
∴ .
又 ，
∴ 时， ； 时， .
大致图象如图所示，
若直线y＝－k与 的图象有一个交点，
则 或 ，即 或 .∴k的取值范围是 .
考点二 不等式成立
【例2】（2022·江西南昌）已知函数 ．(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若不等式 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 (2)
【解析】（1）解：当 时， ，
，
当 时， ， ，所以 ，即 在 上单调递增，
当 时， ， ，所以 ，即 在 上单调递减，
则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）解：因为 ，
则 ，
①当 时，即 时，因为 ， ， ，
所以 ，因此函数 在区间 上单调递增，
所以 ，不等式 在区间 上无解；
②当 时，即 时，当 时， ， ，
因此 ，所以函数 在区间 上单调递减，
，不等式 在区间 上有解．
综上，实数 的取值范围是 ．
【例2-2】（2022·四川成都）已知函数 ．
(1)当 时，求证： ；(2)当 时，不等式 恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）当 时，函数 ，∴ ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ．
（2）由已知得 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增， 在 上单调递减，
∴ ，
由 恒成立得 ，即 ，
取对数得 ，即 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
∴ ，
又∵ ，∴ ，得 ，即 ，
所以a的取值范围为 ．
【一隅三反】
1．（2022·甘肃定西）已知函数 ，
(1)求 在 处的切线方程
(2)若存在 时，使 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由 ，可得 ，
所以切线的斜率 ， ．
所以 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）令 ，
则 ，
令 ， ，
在 上， ，
在 上单调递增，
，．
2．（2022·四川眉山）已知 .
(1)求 的极值点；
(2)若不等式 存在正数解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)极大值点为 ，极小值点为 (2)
【解析】（1）解：函数 的定义域为 ， ，令
可得 或 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的极大值点为 ，极小值点为 .
（2）解：由题意可知，存在 ，使得 ，即 ，令
，其中 ，则 ，令
，其中 ，则 ，令 ，其中 ，则
，所以，函数 在 上单调递增，则 ，所以，函数 在
上单调递增，则 ，所以，当 时， ，函数 单调递减，当 时，，函数 单调递增，则 ，所以， .
3．（2022·广东广州·一模）已知函数 ， .
(1)若函数 只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；
(2)若函数 恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）当 时，显然满足题意
当 时，若函数 只有一个零点，
即 只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为
只有一个根，
即直线 与函数 （ 且 ）的图像只有一个交点.
，令 ，得 ，
在 和 上， ，在 上， ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
在 时有极小值 ， 图像如图所示：由图可知：若要使直线 与函数 的图像只有一个交点，
则 或 ，
综上 .
（2）
恒成立，
等价于 ，
令 （ ），
，
①若 时， ，
所以 在 上单调递增，
，即 ，满足 ，
②若 时，则 ， ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，不成立
故 不满足题意.
③若 时，令 ， ，
， ，
， 单调递减，
， 单调递增，
只需 即可，， ，
令
， 在 上单调递增，
， 时， ，
， ，
所以 在 上单调递增，
，即 ，
综上：
考点三 双变量
【例33】（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设函数 （ 为常数）.
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 有两个不相同的零点 ， 证明: .
【答案】(1)在 上单调递减， 上单调递增.(2)证明见解析
【解析】（1）由 （ ），
得 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减， 上单调递增.
（2）
由（1）的结论，不妨设 .
又 均 ，
只需证 .
构造函数 .
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 时取等号，而 ，所以取不到等号，
所以 ，
所以 在 上单递增，
所以 ，
所以 恒成立，结论得证.【一隅三反】
1．（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 有两个极值点 ，求证： ．
【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
(2)见解析
【解析】（1）由 ，
求导得 ，
易知 恒成立，故看 的正负，即由判别式 进行判断，
①当 时，即 ， ，则 在 上单调递增；
②当 时，即 或 ，
令 时，解得 或 ，
当 时， ，
则 在 上单调递减；
当 或 ， ，
则 在 和 上单调递增；综上所述，当 时， 在 上单调递增；
当 或 时， 在 上单调递减，
在 和 上单调递增.
（2）
在 上由两个极值点 ，
或 ，且 为方程 的两个根，即 ， ，
， ，即 ，
将 ， 代入上式，可得：
，
由题意，需证 ，令 ，
求导得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，即 ，
故 .
2．（2022·四川·高三开学考试（理））已知函数 ．
(1)当 时，求证： ；(2)当 时，已知 ， 是两个不相等的正数且 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【解析】（1）当 时，函数 ，∴ ，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，即 ．
（2）当 时，函数 ，∴ ，
当 时， ，∴ 在 上单调递增，
当 时， ，∴ 在 上单调递减，
根据题意不妨设 ，
①先证明 ，即证 ，
∵ 在 上单调递增，∴只需证 ，
设 ，则 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， 在 上单调递减，
∴由 得 ，
即得证 ，∴ ．
②再证明 ，构造过 函数 的切线 ，
过 与 两点函数 的割线 ，
不妨设 ，
设 ， ，
∴ ， ，∴ 单调递增，
∵ 得 ， 单调递增，
∴ 得 ，
∴ 得 ．
设 ， ，
由 （当 地取等），得 ，
则 ，
∴ 得 ，∴ 得 ．由 得 ， 得 ，
∴ ，
∴ ．
综上得 ．
8．（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
(1)当 时， ，求实数m的取值范围；
(2)若 ，使得 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）
由 ，得 ，
即 ，其中 ，
令 ，得 ，
设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 在 上有最大值，，
所以m的取值范围为 ；
（2）
由 ，可得 ，
整理为 ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
不妨设 ，所以 ，从而 ，
所以 ，
所以 ，
下面证明 ，即证明 ，
令 ，即证明 ，其中 ，只要证明 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ．
4．（2022·河南·郑州市第七中学高三阶段练习（理））巳知函数 .
(1)求函数f（x）的最大值;
(2)若关于x的方程 有两个不等实数根 证明:
【答案】(1)2(2)证明见详解
【解析】（1）因为 ，所以 .
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 .
（2）
方程
可化为 .
设 ，显然 在 上是增函数，又 ，
所以有 ，即方程 有两个实数根 ， .
由（1）可知 ，则有 ，所以 的取值范围为 .
因为方程 有两个实数根 ， ，所以 ，
则 ，要证 ，即证 .
，
需证 .需证 .
不妨设 ，令 ，则 ，即要证 .
设 ，则 ，
所以 在 上是增函数， ，即 成立，故原式成立.
