文档内容
3.5 幂函数与一元二次函数（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 幂函数及性质
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）幂函数 是偶函数，且在
（0，+∞）上是减函数，则m的值为（ ）
A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6
【答案】B
【解析】∵幂函数 是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴ ，且 为偶数 或
当 时， 满足条件；当 时， ，舍去因此：m＝1故选：B
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）幂函数 是偶函数，在 上是减函数，则整数 的
值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
【答案】A
【解析】因为幂函数 在 上是减函数，所以 ，解得 ，
又 ，所以 或 ，
当 时， 定义域为 ，且 ，所以 是偶函数，满足题意；当 时， 定义域为 ，而 ，所以 是奇函数，不满足题意，
舍去；综上， .故选：A
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．函数是偶函数 B．函数是增函数
C．当 时， D．当 时，
【答案】BCD
【解析】因为幂函数 的图象经过点 ，所以 ，则 ，
所以 ，其定义域为 ，不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数，故A错；
又 ，所以 是增函数，故B正确；
因此当 时， ，故C正确；
当 时，因为 ， ，
则
，所以 ，故D正确.故选：BCD.
2．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知函数 是幂函数，对任意 ，
，且 ，满足 .若 ， ，且 的值为负值，则下列结论可
能成立的有（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BC
【解析】由于函数 为幂函数，故 ，即 ，解得 .当 时，
，当 时， .由于“对任意 ，且 ，满足 ”知，
函数在 上为增函数，故 .易见 ，故函数 是单调递增的奇函数.
由于 ，即 ，得 ，所以 ，此时，若当 时， ，
故 ；当 时， ，故 ，故 ；当 时，由 知， ，故 或
或 ，即 或 或 .综上可知， ，且 或 或 .故选：BC.
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知幂函数 的图像关于 轴对称，与 轴及
轴均无交点，则由 的值构成的集合是__________．
【答案】
【解析】由幂函数 与 轴及 轴均无交点，得 ，解得 ，
又 ，即 ， 的图像关于 轴对称，
即函数为偶函数，故 为偶数，所以 ，故答案为： .
4．（2022·上海·高三专题练习）已知函数 为幂函数，且为奇函数，则实数a的值
_____．
【答案】1
【解析】因为函数 为幂函数，所以 或 .
当 时， 为偶函数，不符合题意，所以舍去；当 时， 为奇函数，符合题意.
故答案为：1考点二 一元二次函数
【例 2-1】（2021·重庆市清华中学校高三阶段练习）若函数 的定义域为 ，值域为
，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的图象如图所示，
因为 当 或 时， ；当 时， ，
因为函数的定义域为 ，所以 ．故选：C．
【例2-2】（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知 ，则函数 在 上
是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设 对称轴为 ，而 ，函数开口向上，
所以 的增区间为 ，故在 上是增函数有 ，综上， 对应可行域如下阴影部分：
所以阴影部分面积为 ，而 的面积为1，故在 上是增函数的概率为 .故选：D
【例2-3】（2022·全国·高三专题练习）（多选）若函数 的定义域为 ，值域为 ，
则正整数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】BC
【解析】函数 的图象如图所示：
因为函数在 上的值域为 ，结合图象可得 ，
结合a是正整数，所以BC正确.故选： BC.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， 成等差数列，则二次函数 的图象与 轴的交
点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】由 ， ， 成等差数列，可得 ，所以 ，
所以二次函数 的图象与 轴交点的个数为1或2.故选：D.
2．（2022·天津·南开中学二模）已知函数 是R上的单调函数，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当函数 是R上的单调递减函数，所以 ，解得 ，
因为 且 ，所以当 时， 不可能是增函数，所以函数 在R上不可能是增函数，
综上：实数a的取值范围为 ，故选：B
3（2022·重庆·模拟预测）已知二次函数 的两个零点都在区间 内，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】二次函数 ，对称轴为 ，开口向上，在 上单调递减，在 上单调递
增，要使二次函数 的两个零点都在区间 内，需 ，解得
故实数a的取值范围是 故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若集合 中有且只有一个元素，则
正实数 的取值范围是___________
【答案】
【解析】由题意，不等式 且 ，即 ，
令 ，
所以 ，
所以 是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而 一次函数，图象是过一定点 的动直线，
作出函数 和 的图象，如图所示，
其中 ，
又因为 ，结合图象，
要使得集合 中有且只有一个元素，
可得 ，即 ，解得 .
即正实数 的取值范围是 .
故答案为： .考点三 一元二次函数与其他知识综合
【例3】（2022·山东济宁·三模）已知二次函数 的值域为 ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若 ，则函数 的值域为 ，不合乎题意，
因为二次函数 的值域为 ，则 ，
且 ，所以， ，可得 ，则 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2021·广东·湛江二十一中）若函数 有最大值，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】令 ，要使函数 有最大值，
则内层函数 要有最小正值，且外层函数 为减函数，可知0＜a＜1．
要使内层函数 要有最小正值，则 ，解得 ．综合得a的取
值范围为 ．故选：B.
2．（2022·黑龙江）若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程 有解， 有解，
令 ，则可化为 有正根，
则 在 有解，又当 时， 所以 ，故选： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的值域为 ，可得真数部分 取到所有的正数，
即函数 取到所有的正数，所以 是函数 的值域的子集，
所以 解得： 或 ，所以实数 的取值范围是： .故选：A.考点四 图像问题
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）函数 （ 且 ）与函数 （ 且
）在同一个坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数图象过点（0，－1），故排除A，D；
二次函数图象的对称轴为直线 ，当 时，指数函数递减， ，C符合题意；
当 时，指数函数递增， ，B不符合题意．故选：C．
【例4-2】（陕西省部分地市学校2022届高三下学期高考全真模拟考试理科数学试题）函数 的图
象大致是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除B选项；
当 时，可得 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；排除A选项
当 时， ， 单调递增，
所以排除D选项，选项C符合.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2021·山东·新泰市第一中学高三阶段练习）若不等式 的解集为 ，则函数
的图象可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由题可得 和 是方程 的两个根，且 ，
，解得 ，则 ，
则函数图象开口向下，与 轴交于 .故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，如果 且 ，则它的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，函数 ，
因为 ，令 ，可得 ，即函数图象过点 ，
又由 ，可得 ，所以抛物线的开口向上，可排除D项，
令 ，可得 ，可排除B、C项；
故选：A.
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 ，满足 ，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；
该函数是幂函数 ， ，故该函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，BC错误.
故选：A.
4．（江西省2022届高三5月高考适应性大练兵联考数学（理）试题）函数 的部分图象大致
为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由题得 ，则f(x)为偶函数，排除A；又 ，排除B；当
时 ，当 时， 所以 排除D，
故选：C．
5．（安徽省十校联盟2022届高三下学期最后一卷文科数学试题）函数 在R上的图象大致
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得， ，
故函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除D；
，排除B；
，排除C，故选：A.
