文档内容
第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性
(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
②根据函数奇偶性求解析式
③函数奇偶性的应用
④由函数奇偶性求参数
⑤奇偶性+单调性解不等式
高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
②由函数周期性求解析式
高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
②由函数对称性求函数值或参数
③对称性+奇偶性+周期性的综合应用
第四部分：高考真题感悟
第五部分： 第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
奇偶性 定义 图象特点如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于 轴
偶函数
对称
有 ，那么函数 是偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都
图象关于原点
奇函数
对称
有 ，那么函数 是奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 x， 也
在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用 或 来判断奇偶性.
② ， 在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
③若 是定义在区间 上奇函数，且 ，则 （注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数 关于直线 对称，则
① ；
② ；
③（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数 关于直线 对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期，则 （ ）也是
这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最小
正周期（若不特别说明， 一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数 ， .
①若 ，则函数的周期 ；
②若 ，则函数的周期 ；
③若 ，则函数的周期 ；
④若 ，则函数的周期 ；
⑤ ，则函数的周期
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·北京·高三学业考试）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是偶函数C． 既是奇函数又是偶函数 D． 既不是奇函数也不是偶函数
【答案】B
由题意， ，即函数为偶函数.
故选：B.
2．（2022·浙江台州·高一期末）设f（x）是定义在R上的奇函数，若 ，则f（1）=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以 .
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）若 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的值为
（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】C
解：根据题意，若 是定义在 上的奇函数，则 ，
又由 ，则有 ，
则 ，
故选：C.
4．（2021·全国·高一课时练习）若 的偶函数，其定义域为 ，且在 上是减函数，则
与 得大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
是偶函数，其定义域为 ，且在 ， 上是减函数，则 ，且 ，则
，故选 ．
5．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且
，则 （ ）
A．2019 B．3 C．－3 D．0
【答案】D
∵ ，∴ ，
又∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.
故选：D.第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数奇偶性
①判断函数奇偶性
1．（2021·广东·汕头市潮阳区河溪中学高二期中）下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题，可画出函数解析式所对应的图像，只有B项的图像关于原点对称，B为奇函数.
故选：B
2．（2021·江苏·高一单元测试）函数 为奇函数， 为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正
确的是（ ）
A． 为奇函数 B． 为偶函数
C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】C
令 ，则 ,且 ，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令 ，则 ,且 ，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C
3．（2021·广东·龙门县高级中学高一期中）给定函数：① ；② ；③ ；④ .
其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
①，令 为奇函数.
②，令 为偶函数.
③，令 的定义域为 ， 为奇函数.
④，令 ，所以 为非奇非偶函数.
所以奇函数是①③.
故选：D
②根据函数奇偶性求解析式
1．（2021·四川省南充高级中学高一阶段练习）若函数 是定义在 上的偶函数，
则该函数的最大值为（ ）
A．10 B．5 C．3 D．2
【答案】B
函数 是定义在 上的偶函数，所以 ，且
所以 ，
所以
所以 .
故选：B.
2．（2021·宁夏·银川一中高一期中）已知 是定义域为R的偶函数，当 时， ，则函
数 在 时， =___________.
【答案】
当 时， ，所以 ，因为 是定义域为R的偶函数，所以
，故
故答案为：
3．（2021·江苏·南京外国语学校高一期中）设m为实数，若函数 （ ）是偶函数，
则m的值为__________.
【答案】0解：因为函数 （ ）是偶函数，所以 ，
所以 ，得 ，所以 ，
故答案为：0.
4．（2021·全国·高一课前预习）已知 是 上的奇函数，且当 时， ，求
的解析式．
【答案】
是定义在 上的奇函数，
所以 ，
当 时， ， ，
所以 .
③函数奇偶性的应用
1．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则
＝________.
【答案】－1
因为f(x)是周期为2的奇函数，
所以f ＝－f ＝－f ＝－1.
故答案为：-1
2．（2022·广东茂名·高一期末）若函数 是奇函数，则 __________.
【答案】
因为 是奇函数，可得 .
故答案为： .
3．（2022·四川凉山·高一期末）已知 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且
，则 ______.
【答案】因为 ，所以有 ，
因为 ， 分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以 ，
因此由 ，
故答案为：
4．（2022·湖南·一模）已知 是奇函数，且 ，若 ，则 ___．
【答案】1
是奇函数，
∴h(1)＋h(－1)＝0
即f(1)＋1＋f(－1)＋1＝0，
∵f(1)＝－1，
∴f(－1)＝－1，
∴g(－1)＝f(－1)＋2＝1.
故答案为：1.
④由函数奇偶性求参数
1．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知函数 是偶函数，则 ______．
【答案】
为偶函数， ，即 ， .
故答案为： .
2．（2022·海南·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，则
______.
【答案】
依题意函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
，
，
恒成立，所以 ，
所以 .
故答案为：
3．（2022·湖北·石首市第一中学高一阶段练习）已知函数 为奇函数，则 _______．
【答案】0因为 为奇函数，所以 ，即 ，解得
故答案为：0
4．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末） 为偶函数，则 ___________.
【答案】
由 为偶函数，
得 ，
，
不恒为 ，
，
，
，
故答案为： .
⑤奇偶性+单调性解不等式
1．（2022·广西南宁·高一期末）若函数 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
则使得 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由于函数 是偶函数，所以 ，
由题意，当 时， ，则 ；
又因为函数 是偶函数，图象关于 轴对称，所以当 时， ，则 ，所以
的解集为 .
故选：C.
2．（2022·云南丽江·高一期末）已知函数 ，若 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
的定义域为 ， ，所以 为奇函数，
在 上递增，
由 得 ，
∴ ， ，
解得 .
故选：B
3．（2022·四川绵阳·高一期末）若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
因为 ，且函数 的定义域为 ，故函数 为定义域 上的偶函数，
又当 时， 在 上单调递增，
所以 ，则有 ，解得 .
故选：C
4．（2022·广东汕尾·高一期末）函数 为奇函数，且对任意互不相等的 ， ，都有
成立，且 ，则 的解集为______．
【答案】
因为 ， 时， ，所以 在 上单调递减，又因为 为奇函数，且
，所以 在 上单调递减，且 .当 时，不等式 ，得
；当 时，不等式 ，得 .综上，不等式 的解集为
.
故答案为：
5．（2022·甘肃省武威第一中学高一开学考试）设偶函数 在区间 上单调递增，则满足
的x的取值范围是___________.【答案】
因为函数是偶函数，所以 ，
因为函数在区间 单调递增，所以 ，
得 ，解得： .
故答案为：
6．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习） 是奇函数
(1)求
(2)判断并证明 的单调性
(3)若 ，求 的取值范围
【答案】(1) (2) 在 上单调递减，证明见解析(3)
(1)
为奇函数， ，即 ，
，解得： ；
(2)
在 上单调递减，证明如下：
设 ，
则 ；
为 上的增函数， ，又 ， ，
， 在 上单调递减；
(3)
由 得： ，
为奇函数，
，
；
由（2）知： 在 上单调递减，
，解得： ，即 的取值范围为 .高频考点二：函数周期性及其应用
①由函数周期性求函数值
1．（2021·北京·人大附中高一期中）已知定义在 上的奇函数， 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 满足 ，所以 ，
所以 是周期为 的函数，
当 时， ，所以 ，
又因为 是奇函数，
，
故选：D.
2．（2022·甘肃·一模（文））定义在 上的奇函数 ，满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．8 B．2 C．-2 D．-8
【答案】A
由题设， ，即 的周期为8，
所以 .
故选：A
3．（2021·广东汕头·高二期末）已知函数 是奇函数，且满足 ，若当 时，
，则 ________.
【答案】
因为 ，所以奇函数 的周期为 .
所以
故答案为:
②由函数周期性求解析式
1．（2021·北京市十一学校高一期中）若定义在R上的奇函数 满足 ，且 时
，则：（1） __________；
（2）当 时， _________.
【答案】
∵定义在R上的奇函数 满足 ，
∴ ， ，
∴ ，即函数 是以4为周期的周期函数，
又 时 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ .
故答案为：（1） ；（2）
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为R的偶函数，且周期为2，当 时，
，则当 时， ________.
【答案】
当 时， ，
则 ，
因为 是定义域为R的偶函数，所以 ；
当 时， ，则 ，
又 的周期为2，所以 ；
故答案为： .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时，
.
（1）求 ， 的值；
（2）写出 在 ， 上的解析式；
（3）当 ， 时，求不等式 的解集.
【答案】（1） ， ；（2） ；（3） .（1） ，
， .
（2）当 时， ，
.
.
（3）当 时， ，
由 得 ，
解得： .
当 时，求不等式 的解集为 .
4．（2021·山东师范大学附中高三期中）设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有
.当 时， .
(1)当 时，求 的解析式；
(2)计算 .
【答案】(1) (2)
(1)
， ， 是周期为4的周期函数.
当 时， ，由已知得 .
又 是奇函数， ， ，
又当 时， ， ，
又 是周期为4的周期函数， ，
从而求得 时， .
(2)
， ， ， ，又 是周期为4的周期函数，
.
又 ， .高频考点三：函数的对称性
①由函数对称性求解析式
1．（2022·广东·高三开学考试）下列函数与 关于 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
关于 对称的是 ，即 .
故选：C
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
设点 是函数 上任意一点，则点 在函数 的图像上
即
所以函数 的解析式为：
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足：① ；②在 上是减函数；③
.请写出一个满足以上条件的 ___________.
【答案】
由 可得 关于 对称，
所以开口向下，对称轴为 ，且过原点的二次函数满足题目中的三个条件，
故答案为：
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，满足 ，则 ______.
【答案】2
由于 ，故 是函数 的对称轴，由于 的对称轴为 ，故 ，解得 .
③由函数对称性求函数值或参数
1．（2021·江西·景德镇一中高二期末（文））已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ，
当 时， ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B解：因为 为奇函数，所以有 ，故
，
故选:B.
2．（2021·全国·高一专题练习）已知函数 ，记
，则
A． B． C． D．
【答案】A
解：因为 ，
所以 ，
所以
故选：A
3．（2022·四川雅安·高一期末）若 ，则
___________.
【答案】1010
根据题意，函数 ，则 ，
则有 ；
故 ；故答
案为：1010．
4．（2021·上海·高一专题练习） 的对称中心为 ，则a的值为___________．
【答案】6
，对称中心为 ，所以 ， ．
故答案为：6．
5．（2021·全国·高一专题练习）已知函数f（x）＝ .
（1）求f（2）与f ，f（3）与f ；
（2）由（1）中求得的结果，你能发现f（x）与f 有什么关系？证明你的发现；
（3）求f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋ ＋f（2019）＋f 的值.
【答案】（1）f（2）＝ ，f ＝ ，f（3）＝ ，f ＝ ；（2）f（x）＋f ＝1，证明见解
析；（3）2018.
（1）由f（x）＝ ＝1－ ，
所以f（2）＝1－ ＝ ，f ＝1－ ＝ .
f（3）＝1－ ＝ ，f ＝1－ ＝ .
（2）由（1）中求得的结果发现f（x）＋f ＝1.
证明如下：f（x）＋f ＝ ＋
＝ ＋ ＝1.
（3）由（2）知f（x）＋f ＝1，
∴f（2）＋f ＝1，f（3）＋f ＝1，
f（4）＋f ＝1，…，f（2 019）＋f ＝1.
∴f（2）＋f ＋f（3）＋f ＋…＋f（2 019）＋f ＝2 018.④对称性+奇偶性+周期性的综合应用
1．（2022·四川凉山·二模（文））定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意，函数 满足 ，可得 ，
所以函数 是周期为4的函数，
又由 为 上的奇函数，可得 ，
所以 ，可得函数 的图象关于 对称，
因为当 时 ，
可函数 的图象，如图所示，
当 时，令 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
2．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）函数 满足 ， ，当
时， ，则关于x的方程 在 上的解的个数是（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．1013
【答案】B
解：因为函数 满足 ，所以函数 关于点 对称，因为 ，即 ，所以函数 关于直线 对称，
因为当 时， ，
所以，结合函数性质，作出函数图像，如图所示：
由图可知，函数 为周期函数，周期为 ，
由于函数 一个周期内， 与 有2个交点，
在 上， 与 有1个交点，
所以根据函数周期性可知，当 时， 与 有 个交点.
所以关于x的方程 在 上的解的个数是 个.
故选：B
3．(多选）（2022·甘肃·兰州一中高一期末）定义在R上的偶函数f（x）满足 ，且在
上是增函数，则下列关于f（x）的结论中正确的有（ ）
A．f（x）的图象关于直线 对称 B．f（x）在[0，1]上是增函数
C．f（x）在[1，2]上是减函数 D．
【答案】AD
解：根据题意，若 ，则 ，
即 ， 是周期为2的周期函数，
则有 （2） ，故D选项正确；
若 ，且函数 为偶函数，
则有 ，则函数 的图象关于直线 对称，故A选项正确；
在 ， 上是增函数，且函数 为偶函数，则函数 在 ， 上是减函数，B选项错误；
在 ， 上是增函数，且 是周期为2的周期函数，
则函数 在在[1，2]上是增函数，C选项错误.
故选：AD.
4．(多选）（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且
，则（ ）
A． 为奇函数 B． 的图象关于 对称
C． 为偶函数 D． 是周期为4的函数
【答案】AD
因为 ，所以 关于x=1对称.
因为 ，所以 ，所以 关于 对称.
对于A：由点 关于x=1的对称点为 ， 为 的对称中心，且 关于x=1对称，所以
为 的对称中心，即 ，所以 为奇函数.故A正确；
对于B：因为 ，所以 ，所以 的图象不关于 对称.故B错误；
对于C：因为 ，令x+2代换x，得到 ①.
对于 ，令x+1代换x，得到 ②.
由①②得： ，令-x代换x，得到 ，
与②结合得： ，
所以 为奇函数.故C错误；
对于D：对于 ，令x-1代换x，得到 ，
又因为 ，所以 ，
令2-x代换x，得到 ，
令x-2代换x，得到 ，
所以 ，
令x+2代换x，得到 ，即 是周期为4的函数.故D正确.
故选：AD
5．（2022·重庆九龙坡·高一期末）若函数 满足 ，且 时，
，已知函数 ，则函数 在区间 内的零点的个数为
__________.
【答案】10解：因为 ，所以 ，
所以函数 是以2为周期的周期函数，
令 ，则 ，
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图像，如图所示，
由图可知函数 有10个交点，
所以函数 在区间 内的零点有10个.
故答案为：10.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（文））设 是定义域为R的奇函数，且 .若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
由题意可得： ，
而 ，
故 .
故选：C.2．（2021·全国·高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
3．（2021·江苏·高考真题）已知奇函数 是定义在 上的单调函数，若正实数 ， 满足
则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
解：因为 ，所以 ，
因为奇函数 是定义在 上的单调函数，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值是 .
故选：B
4．（2021·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
因为 是奇函数，所以 ①；
因为 是偶函数，所以 ②．
令 ，由①得： ，由②得： ，
因为 ，所以 ，
令 ，由①得： ，所以 ．
思路一：从定义入手．
所以 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 的周期 ．
所以 ．
故选：D．
5．（2021·湖南·高考真题）已知函数 为奇函数， .若 ，则
____________
【答案】 .
因为 ， ，
所以 ， ，因为 为奇函数，
所以 ，由 ，得 ，
因为 ，所以 .
故答案为：6.
6．（2021·全国·高考真题）已知函数 是偶函数，则 ______.
【答案】1
因为 ，故 ，
因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，
故 ，
故答案为：1
第五部分：第 03 讲 函数的奇偶性、对称性与周期性
（精练）
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（理））已知函数 为R上的奇函数，当 时， ，
则 等于（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】C
解：因为函数 为R上的奇函数，当 时， ，
所以 .
故选：C.
2．（2022·山西吕梁·一模（文））已知函数 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，
则当 时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
当 时，则 ，因为 是奇函数，
所以 .故选：D
3．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）定义在 上的偶函数 在区间 上单调递增，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由题意， ，则 或 .
故选:D.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知定义在 上的偶函数 ，对 ，有
成立，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
依题意对 ，有 成立，
令 ，则 ，
所以 ，故 ，
所以 是周期为 的周期函数，
故 .
故选：C
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
因为 ，
故函数 的周期为4，则 ；
而 ，所以由 可得 ；
而 ，解得 .
故选：C.
6．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数 为定义在R上的奇函数，且 ，当
时， ，则 （ ）
A．2021 B．1 C． D．0
【答案】B
因为 ，
所以 ，
所以 ，所以函数的周期为4，
所以 ，
因为函数 为定义在R上的奇函数，且当 时， ，
所以 ，
所以 1，
故选：B
7．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））已知 是定义在 上的奇函数， 为偶函数，且
当 时， ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
因为 是定义在 上的奇函数，故可得 ，
又 为偶函数，故可得 ，
则 ，故 以 为周期；
故 .
故选： .
8．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）已知在R上的函数 满足对于任意实数 都有
， ，且在区间 上只有 和 两个零点，则 在区间
上根的个数为（）
A．404 B．405 C．406 D．203
【答案】B
因为 ，故可得 ；因为 ，故可得 ；
故可得 ，则 ，
故 是以10为周期的函数.
又 在区间 上只有 和 两个零点，
根据函数对称性可知， 在一个周期 内也只有两个零点，
又区间 内包含 个周期，
故 在 的零点个数为 ，
又 在 的零点个数与 的零点个数相同，只有一个.
综上所述， 在 内有405个零点.
故选：B.
二、填空题
9．（2022·上海市复兴高级中学高一阶段练习）已知 ，若 ，则
实数 的取值范围是______
【答案】
当 时， ， ，
为定义在 上的偶函数， ，即 ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
，解得： ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
10．（2022·江西·新余市第一中学高一开学考试）已知函数 满足 ，且当
时， ，则 ________．
【答案】
由题意，函数 满足 ，
可得 ，可得函数 是周期为4的函数，
又因为当 时， ，
所以 .
故答案为： .
11．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知定义在区间 上的奇函数 满足： ，且当 时， ，则 ____________.
【答案】
因为 在区间 上是奇函数，
所以 ， ，
，得 ，
因为 ， ，
所以 的周期为 .
.
故答案为： .
12．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数 ， ，有下列 个命题：
①若 为偶函数，则 的图象自身关于直线 对称；
②函数 与 的图象关于直线 对称：
③若 为奇函数，且 ，则 的图象自身关于直线 对称；
④若 为奇函数，且 ，则 的图象自身关于直线 对称；
其中正确命题的序号为______.
【答案】①②③④
解：对于①，若 为偶函数，其函数图像关于 对称，故 图像向右平移1个单位
得 的图象，故 的图象自身关于直线 对称，正确；
对于②， 的图像向右平移1个单位，可得 的图像，将 的图像关于 轴对称得 的图像，
然后将其图像向右平移1个单位得 的图像，故 与 的图像关于直线 对称，故正确；
对于③，若 为奇函数，且 ，故 ，所以 的图象自身关
于直线 对称，故正确；
对于④，因为 为奇函数，且 ，故 ，所以 的图像自身关于
直线 对称，故正确.
故答案为：①②③④
三、解答题
13．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数 ．
(1)判断 的奇偶性，并加以证明；
(2)求函数的值域．
【答案】(1) 是奇函数；证明见解析(2)
(1)
由 得： ， 定义域为 ，关于原点对称；
，
， 为奇函数；
(2)
令 ，
且 ， ， 或 ，
或 ， 的值域为 .
14．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当
时， ，函数 在 轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)若关于 的方程 有 个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(1)
由图象知： ，即 ，解得： ， 当 时， ；
当 时， ， ，
为 上的偶函数， 当 时， ；综上所述： ；
(2)
为偶函数， 图象关于 轴对称，可得 图象如下图所示，
有 个不相等的实数根，等价于 与 有 个不同的交点，
由图象可知： ，即实数 的取值范围为 .
15．（2022·全国·高三专题练习）设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．
当 ， 时， ．
（1）求证： 是周期函数；
（2）当 ， 时，求 的解析式；
（3）计算 的值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
（1）证明： ， ．
是周期为4的周期函数．
（2）当 ， 时， ， ，由已知得 ，
又 是奇函数， ， ．
又当 ， 时， ， ， ．
又 是周期为4的周期函数，
．
从而求得 ， 时， ．
（3） ， （2） ， （1） ， （3） ．又 是周期为4的周期函数，
（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
．而 ，
所以 .
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
记 ．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）+f（1﹣x）＝1；
（3）求 的值．
【答案】（1）a＝4，（2）见解析，（3）1005.
解：（1）函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，
而函数y＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上单调递增或单调递减
∴a+a2＝20，得a＝4，或a＝﹣5（舍去）
∴a＝4，
（2）证明：
∴
1
（3）由（2）知， 1， ，
∴
＝1+1+1+…+1＝1005
