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第 2 课时 奇偶性、对称性与周期性
题型一 函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
(4)f(x)＝log (x＋)．
2
解 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称．
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，
所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝log [－x＋]
2
＝log (－x)
2
＝log (＋x)－1
2
＝－log (＋x)＝－f(x)，
2
故f(x)为奇函数．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 (1)下列函数是偶函数的是( )
A．f(x)＝x3－sin x
B．f(x)＝3x－
C．f(x)＝x2＋tan x
D．f(x)＝x·ln(－x)
答案 D
解析 由函数奇偶性定义知，A中函数为奇函数，B中函数为奇函数，C中函数为非奇非偶
函数，D中函数为偶函数．
(2)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(
)
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)g(x)|是奇函数
C．|f(x)|g(x)是偶函数
D．f(|x|)g(x)是奇函数
答案 C
解析 令F(x)＝f(x)g(x)，
1
∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，
1 1
∴F(x)为奇函数，故A错误；
1
令F(x)＝|f(x)g(x)|，
2
∴F(x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|
2
＝|f(x)g(x)|＝F(x)，
2
故F(x)为偶函数，故B错误；
2
令F(x)＝|f(x)|g(x)，
3
∴F(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)＝F(x)，
3 3
∴F(x)为偶函数，故C正确；
3
令F(x)＝f(|x|)g(x)，
4
∴F(－x)＝f(|－x|)g(－x)＝f(|x|)g(x)＝F(x)，
4 4
∴F(x)为偶函数，故D错误．
4
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求参数的值
例2 若函数f(x)＝x3为偶函数，则a的值为________．答案
解析 方法一 (定义法)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(－x)3＝x3·，
∴2a＝－＝1，
∴a＝.
方法二 (特值法)f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
又f(－1)＝－a＋2，f(1)＝a＋1，
∴－a＋2＝a＋1，∴a＝.
命题点2 利用奇偶性求解析式
例3 (2019·全国Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)等于( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
答案 D
解析 当x<0时，－x>0，
∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，
∴f(－x)＝e－x－1.
又∵f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.
命题点3 利用奇偶性求函数值
例4 已知函数f(x)＝ax3＋bx5＋2.若f(x)在区间[－t，t]上的最大值为M，最小值为m，则M＋
m＝________.
答案 4
解析 令g(x)＝ax3＋bx5，
则g(x)为奇函数，
当x∈[－t，t]时，g(x) ＋g(x) ＝0，
max min
又f(x)＝g(x)＋2，
∴M＝g(x) ＋2，m＝g(x) ＋2，
max min
∴M＋m＝g(x) ＋2＋g(x) ＋2＝4.
max min
思维升华 利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求
出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，
由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x＋b，则f(－
1)的值为( )
A．b＋3 B．－b－3 C．－2 D．2
答案 C
解析 ∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，
即20＋0＋b＝0，∴b＝－1，
∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋1＋b)＝－2.
(2)已知函数f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________.
答案 4
解析 令g(x)＝asin x＋btan x，
则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，
∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，
∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4.
题型三 函数的周期性、对称性
命题点1 函数的周期性
例5 (1)已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等
于( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 因为f(x＋2π)＝f(x)，所以f(x)的周期为2π.
所以f ＝f ＝f
＝f ，
又因为当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，
所以f ＝2sin ＝1.
(2)(2020·西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋
log x，则f(2 020)等于( )
2
A．5 B. C．2 D．－5答案 D
解析 ∵f(x)＝－f(x＋2)，
∴f(x)的周期为4，f(2 020)＝f(0)＝－f(2)＝－(22＋log 2)＝－5.
2
思维升华 函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
命题点2 函数的对称性
例6 (多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则
下列结论正确的是( )
A．f(x)的图象关于x＝2对称
B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(x)的最小正周期为4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
答案 ACD
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于x＝2对称，故A正确，B错误；
∵函数f(x)的图象关于x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝
4，故C正确；
∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．
思维升华 对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．
跟踪训练3 (1)设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋
1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.
答案 2 696
解析 ∵f(x＋3)＝f(x)，∴T＝3，
又x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，
∴f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＝1＋2＋1＝4，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝674×4＝2 696.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，
f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________.
答案 4
解析 ∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，
∴f(－x)＝f(x＋4)，
又f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
故f(x＋4)＝－f(x)，∴T＝8，
又∵2 022＝252×8＋6，
∴f(2 022)＝f(6)＝f(－2)＝－f(2)＝－(4－8)＝4.
我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用
y＝f(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、
奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体．
例1 若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，则f(log x)的定义域为________．
2
答案 [，4]
解析 对于函数y＝f(2x)，－1≤x≤1，
∴2－1≤2x≤2.
则对于函数y＝f(log x)，2－1≤log x≤2，
2 2
∴≤x≤4.
故y＝f(log x)的定义域为[，4]．
2
例2 已知函数f(x)对任意正实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)求证：f ＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．
(1)解 令a＝1，b＝1，
得f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0，
令a＝b＝－1，
∴f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝0.
(2)证明 令a＝，b＝x，
得f(1)＝f ＋f(x)＝0，
∴f ＝－f(x)．(3)解 令a＝b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，
令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，
令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
例3 已知函数y＝f(x)的定义域为R，并且满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f ＝1，且当x>0时，
f(x)>0.
(1)求f(0)的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)＋f(2＋x)<2.
解 (1)令x＝y＝0，
则f(0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，证明如下：
令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，
故函数f(x)是R上的奇函数．
(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：
任取x，x∈R，x0，
1 2 1 2 2 1
∴f(x)－f(x)＝f(x－x＋x)－f(x)
2 1 2 1 1 1
＝f(x－x)＋f(x)－f(x)
2 1 1 1
＝f(x－x)>0，
2 1
∴f(x)f(3) B．f(2)＝f(6)
C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6)
答案 BCD
解析 ∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．
7．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．
答案
解析 f(x)＝ax2＋bx为偶函数，则b＝0，
又定义域[a－1,2a]关于原点对称，
则a－1＋2a＝0，
∴a＝，∴a＋b＝.
8．(2021·咸阳模拟)已知函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
答案 －1
解析 由题意，得f(－x)＝－f(x)，
则f(－1)＝－f(1)，即1＋a＝－a－1，得a＝－1(经检验符合题意)．
9．已知函数f(x)对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，则f(26)＝
________.
答案 1
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x)的周期为4，
∴f(26)＝f(2)．
∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝1，即f(26)＝1.
10．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围
为________．
答案
解析 易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0 f(mx－2)<－f(x)＝
f(－x)，此时应有mx－2<－x mx＋x－2<0对所有m∈[－2,2]恒成立． ⇒
⇒令g(m)＝xm＋x－2，此时只需即可，
解得－20，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1－e2的x的取值范围是( )
A．(－2，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案 B
解析 ∵f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(0)＝1－a＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝ex－e－x，
∴f(x)为R上的增函数，
又f(－2)＝e－2－e2＝－e2，
∴原不等式可化为f(x－1)>f(－2)，
∴x－1>－2，即x>－1.
14．已知函数f(x)对任意实数x满足f(－x)＋f(x)＝2，若函数y＝f(x)的图象与y＝x＋1有三个
交点(x，y)，(x，y)，(x，y)，则y＋y＋y＝________.
1 1 2 2 3 3 1 2 3
答案 3
解析 因为f(－x)＋f(x)＝2，
则f(x)的图象关于点(0,1)对称，
又直线y＝x＋1也关于点(0,1)对称，
因为y＝f(x)与y＝x＋1有三个交点，
则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，
则y＋y＋y＝2＋1＝3.
1 2 3
15．(多选)已知f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(
)
A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(4)＝0
C．f(x＋8)＝f(x)
D．若f(5)＝－1，则f(2 021)＝－1
答案 BCD
解析 根据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(－x)＝－f(x)，
又由函数f(x＋2)为偶函数，
则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则有f(－x)＝f(4＋x)，
则有f(x＋4)＝－f(x)，
即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
则函数f(x)是周期为8的周期函数；
据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；
对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
则f(4)＝0，B正确；
对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；
对于D，若f(5)＝－1，则f(2 021)＝f(5＋2 016)＝f(5)＝－1，D正确．
16．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x，x∈D，有f(x·x)＝f(x)＋f(x)．
1 2 1 2 1 2
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围．
解 (1)因为对于任意x，x∈D，有f(x·x)＝f(x)＋f(x)，
1 2 1 2 1 2
所以令x＝x＝1，得f(1)＝2f(1)，
1 2
所以f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
f(x)的定义域关于原点对称，
令x＝x＝－1，
1 2
有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝f(1)＝0.
令x＝－1，x＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
1 2
所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
由(2)知f(x)是偶函数，
所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)
