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第 02 讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、
对称性
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）借助函数图像，会用符 从近几年高考命题来看，本节是高考
号语言表达函数的单调性、 2022年II卷第8题，5分 的一个重点，函数的单调性、奇偶
最大值、最小值，理解它们 2022年I卷第12题，5分 性、对称性、周期性是高考的必考内
的作用和实际意义． 2021年II卷第8题，5分 容，重点关注周期性、对称性、奇偶
（2）结合具体函数，了解奇 2021年甲卷第12题，5分 性结合在一起，与函数图像、函数零
偶性的概念和几何意义． 点和不等式相结合进行考查．
（3）结合三角函数，了解周
期性的概念和几何意义．1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数 的定义域为 ，区间 ：
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， 当 时，都有 ，那么就说 在区间
上是增函数．
如果对于 内的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说 在区间
上是减函数．
①属于定义域 内某个区间上；
②任意两个自变量 ， 且 ；
③都有 或 ；
④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数 在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数 在区间 上具有单调性， 称为函数 的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数
是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是
减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于 轴对
偶函数
称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 关于原点对
奇函数
称
，那么函数 就叫做奇函数
判断 与 的关系时，也可以使用如下结论：如果 或 ，则
函数 为偶函数；如果 或 ，则函数 为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ，
也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做 的最小正周
期.
【解题方法总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增(或减)函数，则在 和 的公共定义域上 为增(或减)函数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 .
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的
两个区间上单调性相同.
(5)若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记
， ，则 .
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的
函数，如 .
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶.
(7)复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．已知函数 的定义域是 ，若对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
则函数 一定是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数 ， ，总有 成立，
等价于对于任意两个不相等的实数 ，总有 .
所以函数 一定是增函数.
故选：C
例2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【解析】由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在
R上是增函数.
故选：A.
例3．下列函数中，满足“ ”的单调递增函数是
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】由于 ，所以指数函数 满足 ，且当 时单调递增，
时单调递减，所以 满足题意，故选D．
考点：幂函数、指数函数的单调性．
变式1．函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是 和 ．
故选：B.
变式2．（江苏省泰州市海陵区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数
．
(1)判断函数 的单调性，并利用定义证明；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 在 上递减，理由如下：
任取 ，且 ，则，
因为 ，且 ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 在 上递减；
（2）由（1）可知 在 上递减，
所以由 ，得
，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，证明：函数 是x的增函数 ．
【解析】证明：当 ，在伯努利不等式定理3中取 ， ，
则有 ，即 ，
则有 ，从 ，
即 .
所以当 时， 是x的增函数．
变式4．（2023·上海静安·高三校考期中）已知函数 ，且 .
(1)求 的值，并指出函数 的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数 在 上是增函数.
【解析】（1）因为 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，
此时 ，所以 为奇函数；（2）任取 ，则
，
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 即 ，
所以函数 在 上是增函数.
【解题总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域为 ，
令 ，则 开口向上，对称轴为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 在 上单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 .
故选：D.
例5．（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三下学期期末数学试题）函数 的单调递减
区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】由 ，得 ，
令 ，则 ，
在 上递增，在 上递减，
因为 在定义域内为增函数，
所以 的单调递减区间为 ，
故选：A
例6．（陕西省榆林市2022-2023学年高三下学期阶段性测试）函数 的单调递增区间为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意， ，解得，
又函数 在定义域内为单调增函数，
且函数 在 内为单调增函数
根据复合函数的单调性可知：
的单调增区间为
选项C正确，选项ABD错误.
故选：C.
【解题总结】
讨论复合函数 的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般
需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，
再用复合法则，复合法则如下：
1、若 ， 在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则 为增函数；
2、若 ， 在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则 为减函数．
列表如下：
增 增 增
增 减 减
减 增 减减 减 增
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（河南省2023届高三下学期仿真模拟考试数学试题）已知函数 为定义在R上的单调函数，且
，则 在 上的值域为______．
【答案】
【解析】因为 为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ， ，即 ，
因为函数 为增函数，且 ，所以 ，
．
易知 在 上为增函数，且 ， ，
则 在 上的值域为 ．
故答案为： .
例8．（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数 为偶函数，则函数 的
值域为___________.
【答案】
【解析】 函数 （ ）是偶函数，
，
，易得 ，
设 ，
则 ，当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： ．
例9．（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测）已知函数
且 ，若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 在 上的最大值为
__________.
【答案】
【解析】由题意得 ，所以 ，
因为切线与直线 垂直，而 的斜率为 ，
所以切线斜率为2，即 ，解得 ，
所以 ，且 ，
显然 是增函数，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，故 .
故答案为：
变式5．（新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考）若函数 在区间 上
的最大值为 ，则实数 _______.
【答案】3
【解析】∵函数 ，
由复合函数的单调性知，
当 时， 在 上单调递减，最大值为 ；
当 时， 在 上单调递增，最大值为 ，
即 ，显然 不合题意，故实数 .
故答案为：3
【解题总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，则函数
在 处有最大值 ．
2、如果函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，则函数
在 处有最小值 ．
3、若函数 在 上是严格单调函数，则函数 在 上一定有最大、最小值．
4、若函数 在区间 上是单调递增函数，则 的最大值是 ，最小值是 ．
5、若函数 在区间 上是单调递减函数，则 的最大值是 ，最小值是 ．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．已知函数 ，满足对任意的实数 ， 且 ，都有
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意的实数 ，都有 ,即 成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得： ，
解得 ，
故选：C
例11．（吉林省松原市2022-2023学年高三上学期第一次月考）若函数 （ 且
）在区间 内单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】函数 在区间 内有意义，
则 ，
设 则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递增，
则需使 ，对任意 恒成立 , 即 对任意 恒成立；
因为 时， 所以 与 矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当 时， 是减函数，
要使函数 在区间 内单调递增，
需使 在区间 内内单调递减，
则需使 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
因为 ，
所以 ，
又 ，所以 .
综上， 的取值范围是
故选：B
例12．（四川省广安市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数 在
上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，
在 中，函数单调递增，
∴ ，解得： ，
故选：C.
变式6．（江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数
在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 在 上是减函数，
当 时， 恒成立，
而函数 在区间 上不单调，因此 ，不符合题意，
当 时，函数 在 上单调递增，于是得函数 在区间 上单调递减，
因此 ，并且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
变式7．（天津市复兴中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数 在
上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】函数 的对称轴为 ，
因为函数 在 上具有单调性，所以 或 ，即 或 .
故选：C
【解题总结】
若已知函数的单调性，求参数 的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数 的不等式，
利用下面的结论求解．
1、若 在 上恒成立 在 上的最大值．
2、若 在 上恒成立 在 上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数 是 上的偶函数，对任意 ，
，且 都有 成立．若 ， ， ，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 是R上的偶函数，
所以函数 的对称轴为 ，
又因为对任意 ， ，且 都有 成立．
所以函数 在 上单调递增，
而 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
因为函数 的对称轴为 ，
所以 ，
而 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．故选：A．
例14．（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数
在区间 上是偶函数，在区间 上是单调函数，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】函数 在区间 上是单调函数，又 ，且 ，
故此函数在区间 上是减函数．
由已知条件及偶函数性质，知函数 在区间 上是增函数．
对于A， ，故 ，故A错误；
对于B， ，故 ，故B正确；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，故D正确．
故选:BD.
例15．（2023届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间
上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数 是奇函数，不符合；
函数 是偶函数，但是在 上单调递减，不符合；
函数 不是偶函数，不符合；
函数 既是偶函数又在区间 上单调递增，符合.
故选：D
【解题总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单
调区间(同增异减).
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单
调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注
意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明例16．利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3) ；
(4) ；
(5) .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数；
（2）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故 为偶函数；（3）先作出 的图象，保留 图象中x≥0的部分，
再作出 的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得 的图象，如图实线部分．
由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数 的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数 的图象，如图，
由图知 的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图，由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
例17．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，函数 的定义域为R，且满足 ，所以其为偶函数，
在 上单调递减，在 上单调递减，故A不符合题意；
对于B，设 ，函数 的定义域为R，
且满足 ，所以函数 为偶函数，
当 时， 为单调递增函数，故B符合题意；
对于C，函数 的定义域为 ，不关于原点对称，
所以函数 为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于D，设 ，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且满足 ，所以函数 为奇函数，
又函数 在 上单调递减，故D不符合题意.
故选：B.
例18．（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数
的定义域都为R，且 是奇函数， 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
【答案】CD
【解析】因为函数 的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，因为 是奇函数， 是偶函数，
所以 ，
对于A，因为 ，
所以函数 是奇函数，故A错误；
对于B，因为 ，
所以函数 是偶函数，故B错误；
对于C，因为 ，
所以函数 是奇函数，故C正确；
对于D，因为 ，
所以函数 是偶函数，故D正确.
故选：CD.
变式8．（北京市海淀区2023届高三二模数学试题）下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递增的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A, 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，
对于B， 的定义域为 ，定义域关于原点对称，又 ，所以
为奇函数，但在 单调递减，故B错误，
对于C， 的定义域为 ,关于原点对称，又 ，故 为偶函数，故C错误，
对于D， 由正切函数的性质可知 为奇函数，且在 单调递增，故D正确，
故选：D
【解题总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高三下学期第二次联考）已知函数
是偶函数，则 ______．
【答案】-1
【解析】 定义域为R，由 得： ，
因为 ，所以 ，故 .
故答案为：-1
例20．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试）若函数 是偶函数，
则 __________．
【答案】1
【解析】∵ 为偶函数，定义域为 ，
∴对任意的实数 都有 ，
即 ，
∴ ，
由题意得上式对任意的实数 恒成立，
∴ ，解得 ,所以
故答案为：1
例21．（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数 ，若 是
偶函数，则 ______．
【答案】
【解析】因为 是偶函数，
所以 ，
，
即 ，
解得 .
故答案为： .
变式9．若函数 为偶函数，则 __________.
【答案】2
【解析】∵函数 为偶函数
∴
即
又∵ ∴
故答案为：
【解题总结】利用函数的奇偶性的定义转化为 ，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、
填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023年高三数学押题卷五）已知函数 是奇函数，函数 是偶函数．若
，则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【解析】由函数 是奇函数，函数 是偶函数， ，
故 ，即 ，
将该式和 相减可得 ，
则 ，
故选：C
例23．（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）已知奇函数 则 __________．
【答案】
【解析】当 时， ， ，
则 ．
故答案为： .
例24．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则函数 的解析式为
_________．
【答案】
【解析】由于函数 是 上的奇函数，则 .
当 时， ，
设 ，则 ，则 ，
所以 .综上所述， .
故答案为：
变式10．设函数 与 的定义域是 ，函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，
所以 ， ，
因为 ①，
则 ②，
所以①+②得 ，
所以 ．
故选：A．
【解题总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于 的方程，从而可得
的解析式.
题型九：已知 奇函数+M
例25．（宁夏银川一中、昆明一中2023届高三联合二模考试数学试题）已知函数 ，
若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 .故选：C.
例26．（河南省济洛平许2023届高三第四次质量检测数学试题）已知 在R上单调递增，且为奇函
数.若正实数a，b满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 为奇函数，所以 ，
由 得 ，
由于 所以 ，
当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，
故选：A
例27．（重庆市巴蜀中学2023届高三高考适应性月考数学试题）已知函数
在区间 的最大值是M，最小值是m，则 的值等于( )
A．0 B．10 C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
∴f(x)和g(x)在 上单调性相同，
∴设g(x)在 上有最大值 ，有最小值 .
∵ ，
∴ ，
∴g(x)在 上为奇函数，∴ ，
∴ ，∴ ，
.
故选：C.
变式11．（福建省福州格致中学2022-2023学年高三下学期期中考数学试题）已知函数，若 ，则 （ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．无法确定
【答案】C
【解析】设 ，显然定义域为 ，
又 ，
则 ，所以 是 上的奇函数；
又 也是 上的奇函数，所以 也是 上的奇函数，
因此 ，则 .
故选：C.
【解题总结】
已知 奇函数+M， ，则
（1）
（2）
题型十：函数的对称性与周期性
例28．（多选题）（2023·山东烟台·统考二模）定义在 上的函数 满足 ，
是偶函数， ，则（ ）
A． 是奇函数 B．
C． 的图象关于直线 对称 D．
【答案】ABD
【解析】对于选项 ，∵ 是偶函数，∴ ，
∴函数 关于直线 对称，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ 是奇函数，则 正确；
对于选项 ，∵ ，∴ ，∴ ,
∴ 的周期为 ，∴ ，则 正确；
对于选项 ，若 的图象关于直线 对称，则 ，
但是 ， ，即 ，这与假设条件矛盾，则选项 错误；
对于选项 ，将 代入 ，得 ，将 ，代入 ，得 ，
同理可知 ，
又∵ 的周期为 ，∴ 正奇数项的周期为 ，
∴
，则 正确.
故选：ABD.
例29．（多选题）（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 和 的导函数分别
是 和 ，若 ， ，且 是奇函数，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． 的图像关于点 对称
C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 是奇函数，所以 ．因为 ，所以 ，所以
，则 正确；
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 的图像关于点 对称，则B正确；
因为 ，所以 ，
所以 （ 为常数），所以 （ 为常数）．
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，所以 ，则 ．
因为 是奇函数，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
即 是周期为4的周期函数．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 是周期为4的周期函数．
因为 ，所以 ， ，所以 ， ，，则
， ，
故 ， ，即C错误，D正确.
故选：ABD.
例30．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为 ，导函数分别为
， ，若 ， ，且 ，则（ ）
A．4为函数 的一个周期 B．函数 的图象关于点 对称
C． D．
【答案】ABC
【解析】由 得 ，
由 求导得 ，
又 得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以4为函数 的一个周期，A正确；
，故 ，
因此 ，
故函数 的图象关于点 对称，B正确，
在 中，令
由 得 为常数，故 ，
由函数 的图象关于点 对称，
，
因此 ，
所以 由于 的周期为4，所以 的周期也为4，
由于 ，所以 ， ，
所以 ，故C正确，由于
,故D错误，
故选:ABC
变式12．（多选题）（2023·山东滨州·统考二模）函数 在区间 上的图象是一条连续不断
的曲线，且满足 ，函数 的图象关于点 对称，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B．8是 的一个周期
C． 一定存在零点 D．
【答案】ACD
【解析】对于A,由于 的图象关于点 对称，所以 ，故
，所以 的图象关于点 对称，故A正确，
由 得 ，令
所以 ，故 为偶函数，又 的图象关于点 对称，所以 ，又
，从而
，
所以 的图象关于 对称，
对于C,在 中,令 ，所以
，由于 在区间 上的图象是一
条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得 在 有零点，故C正确
对于D,由于 的图象关于 对称以及 得
，又 ，所以 ，所以
是周期为8的周期函数， ，故D正确，
对于B， ，所以8不是 的周期，
故选：ACD
【解题总结】
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 .
题型十一：类周期函数
例31．（2023·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）定义域为 的函数 满足
， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则
∵ ，∴
即
∵ 时， 恒成立，∴只需 .
当 时， 最小值为 （当 时）；
当 时， 最小值为 （当 时），
∴
所以只需 ，解得： 或
∴实数 的取值范围是
故选：D
例32．（2023·江西南昌·高三校考期中）已知定义在 上的函数 满足 ，且当
时， .设 在 上的最大值为 （ ），且数列 的前 项的和
为 .若对于任意正整数 不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知先求出 ，即 ，进一步可得 ，再将所求问题转化为
对于任意正整数 恒成立，设 ，只需找到数列 的最大值即可.当 时，则
， ，
所以， ，显然当 时，
，故 ， ，若对于任意正整数 不等式
恒成立，即 对于任意正整数 恒成立，即 对于任
意正整数 恒成立，设 ， ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，考虑到 ，故有当 时， 单调递增，
当 时，有 单调递减，故数列 的最大值为 ，
所以 .
故选：C.
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为 的函数 满足 ，当 时，
，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 时， ，
所以 ,
因为函数 满足 ，
所以 ，
所以 ， ，又因为 ， 恒成立，
故 ，
解不等式可得 或 .
变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．若函数 有4个零点，则实数 的取值范围为
B．关于 的方程 有 个不同的解
C．对于实数 ，不等式 恒成立
D．当 时，函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
【答案】ABD
【解析】∵ ，则 在 的图象是将 的图象沿 轴方
向伸长为原来的3倍、沿 轴方向缩短为原来的一半
∴
则 在 上单调递增，在 上单调递减
∴ 在 上的最大值为 ，最小值为 ，即 在
上的值域为
对于A，令 ，即 ，则 与 有四个交点
作出 时 的图象，如图1： 分别与 连线的斜率为
结合图象可得：实数 的取值范围为 ，A正确；对于B，令 ，则
∴方程的根的个数即为 与 的交点个数
当 时， 的最大值为
∴ 与 有且仅有一个交点，
当 时，则有：
①当 时， 在 上的最大值为 ，则 与 在
内有两个交点
∴当 ， 与 有 交点
②当 ，则 在 上的最大值为
∴ 与 有且仅有一个交点
③当 时， 在 上的最大值为 ，则 与 在
内没有交点
∴当 ， 与 没有交点
∴当 ， 与 的交点个数为
当 时，也成立
∴关于 的方程 有 个不同的解，B正确
对于 ，因为图象过点 ，令 ，则 ，C错误
对于D，由题意可得：当 时，函数 的图象与 轴围成的图形为三角形，其底边长为 ，高为
∴当 时，函数 的图象与 轴围成的图形的面积为
故选：ABD.
【解题总结】
1、类周期函数
若 满足： 或 ，则 横坐标每增加 个单位，则函数值
扩大 倍．此函数称为周期为 的类周期函数．
y y
k2
y0 k2
y0
k
y0 k
y0
y
0 y
0
x
-m O m 2m 3m x
O 1 m m2 m3
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
若函数 满足 或 ，则 横坐标每扩大 倍，则函数值扩大 倍．
此函数称为倍增函数．
注意当 时，构成一系列平行的分段函数， ．
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例34．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在 上的函数 ， 满
足：① ；② 为奇函数；③ ， ；④任意的 ， ，
.
（1）判断并证明函数 的奇偶性；
（2）判断并证明函数 在 上的单调性.
【解析】（1）依题意， .
∴∴ ，
又因为 的定义域为 ，所以函数 为偶函数.
（2）由④知，
，
∵ ， ， ，∴ ，
∴
即 在 上单调递增.
例35．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数 定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 为奇函数
C． 在 上是减函数 D．方程 仅有6个实数解
【答案】C
【解析】由题设 ，则 关于 对称，即 ，
，则 关于 对称，即 ，
所以 ，则 ，故 ，
所以 ，即 ，故 ，
所以 的周期为8，
，A正确；
由周期性知： ，故 为奇函数，B正确；
由题意， 在 与 上单调性相同，而 上 递增，
关于 对称知： 上 递增，故 上 递增，
所以 在 上是增函数，C错误；
的根等价于 与 交点横坐标，根据 、对数函数性质得： ， ，
所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.
故选：C
例36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意 ，且
，有 ，若 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知 是定义在 上的偶函数，则 ，
又对任意 ，且 ，都有 ，
所以函数 在 上单调递增，则函数 在 上单调递减，又 ，所以
，
根据函数 的单调性可知： 等价为 或 ，
即 或 ，解得 或 ，
即不等式的解集为 .
故选： .
变式14．（四川省遂宁市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）定义在 上的函数 ，对任意
，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数 满足条件①②，若存在，求出 的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明： 为奇函数；
【解析】解析：假设存在一次函数 ，设
则 ，
，所以 ， .，故满足条件的一次函数为：
（2）定义在 上的函数 对任意的 ，
都有 成立，
令 ，则 ，得
令 ，则
所以 ，即 ，于是
∴ 为奇函数.
变式15．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在 上的函数 ，
满足：
① ；
②任意的 ， ， .
（1）求 的值；
（2）判断并证明函数 的奇偶性.
【解析】（1）依题意， .
（2）由（1）知 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又因为 的定义域为 ，
所以函数 为偶函数.
变式16．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）已知函数 对任意 都有
，若 的图象关于直线 对称，且对任意的 ， ，且 ，
都有 ，则下列结论正确的是（ ）．
A． 是偶函数 B． 的周期
C． D． 在 单调递减
【答案】ABC
【解析】由 的图象关于直线 对称，则 ，
即 ，故 是偶函数，A正确；由 ，令 ，可得 ，则 ，
则 的周期 ，B正确；
，故C正确；
又 在 递增，则 递减，由周期 ，则 在 单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【解题总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若 ，则 (正比例函数)
(2)若 ，则 (指数函数)
(3)若 ，则 (对数函数)
(4)若 ，则 (幂函数)
(5)若 ，则 (一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例37．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学试题）已知定义在 上的函数 在 上单调递
减，且 为偶函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵函数 为偶函数，∴ ，即 ，
∴函数 的图象关于直线 对称，
又∵函数 定义域为 ，在区间 上单调递减，
∴函数 在区间 上单调递增，
∴由 得， ，解得 .
故选：D.例38．（北京市西城区第五十六中学2023届高三数学一模试题）已知函数 ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 得 ，即函数 的定义域为 ．
因为 ，
所以 为 上的偶函数，
当 时， ，
因为函数 在 上单调递减,所以 在 上单调递减，
又 都是在 上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数 在 上单调递减，
又因为函数 为偶函数，所以函数 在 上单调递增，
又 ，所以 ，可得 ，
所以 ，且 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
例39．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】因为 为偶函数，则 ，等式两边求导可得 ，①
因为函数 为偶函数，则 ，②
联立①②可得 ，
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，即函数 在 上为增函数，
故当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
所以， ，整理可得 ，解得 .
故选：B.
变式17．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， ，
且 在 上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 是定义在 上的奇函数， ，且 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
所以原不等式的解集为 .
故选：A.
变式18．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数 ，则使不等式
成立的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由题意可知： 的定义域为 或 ，关于原点对称，
由 得 ，故 为偶函数，
当 时， ，由于函数 ， 均为 单调递增函数，
在 单调递增，因此 为 上的单调递增函数，所以不等式 等价于
，解得 ,
故选：C
变式19．（2023·四川成都·校考三模）已知函数 ,则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数 ，
所以 ，令 ，
可得
令 且 ，
可得 在 上恒成立，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又由 ，
所以函数 为偶函数，则在 上单调递减，
又由 ，即 ，即 ，
整理得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B.
变式20．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ，则关于 的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． ∪ D． ∪
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
所以函数 为奇函数，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数 在 上单调递增，
所以 可化为 ，即 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
变式21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数 ，若
，则实数 范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，令 ，则 ，
又由 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，则 ，则 在 上单调递减，
又由 ，故函数 为奇函数，
由 可化为 ，故 ，即
，
又 在 上单调递减，则 ，解得 ，即 .
故选：C．变式22．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，若对任
意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
当当x<0时，f（x）＝ x2，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）＝f（ x），
∴f（x+a）≥f（ x）恒成立，
则x+a 恒成立，
即a≥﹣x 恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（ ）max （a+2），
即a （a+2），
解得a ，
即实数a的取值范围是故答案为 ．
故选：
【解题总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和
比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称
轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知
，解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，
所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，可得 ，
因为函数 为奇函数，则 ，所以， ，
所以， ，即 ，
故函数 是以 为周期的周期函数，
因为函数 为奇函数，则 ，
故 ，其它三个选项未知.
故选：B.
