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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 08 讲 函数的奇偶性、周期性和对称性（精讲）
①函数的奇偶性及其应用
②函数的周期性
③函数的对称性
★④函数性质的综合应用
一、必备知识整合
一、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ， 也
在定义域内(即定义域关于原点对称)．
二、函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
三、函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的最小正周期.1.奇偶性技巧
（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：
①奇 奇=奇；
②偶 偶=偶；
③奇 偶=非奇非偶；
④奇 奇=偶；
⑤奇 偶=奇；
⑥偶 偶=偶.
（3）常见奇偶性函数模型
奇函数：
①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：
①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
2.周期性技巧3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
4.对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
二、考点分类精讲【题型一 函数的奇偶性及其应用】
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.已知函数奇偶性可以解决的三个问题
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4)
【典例2】已知 是定义在R上的偶函数，且当 时， .
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
一、单选题
1．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）若 ， 函数 为奇函数，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河北保定·二模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．4．（2024·安徽淮北·二模）若函数 是偶函数（e是自然对数的底数），则实数 的值
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上是增函数，且
，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，
则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 对任意实数 均满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．函数 在区间 上不单调
三、填空题
8．（2024·上海崇明·二模）已知函数 为奇函数，则 ．
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习） 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则
时， ．10．（2024·云南·模拟预测）若 为奇函数，则 .
11．（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，若 ，则 的取值
范围为 ．
四、解答题
12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 区间上的函数 为奇函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)判断并证明函数 在区间 上的单调性.
13．（2024·山东济南·三模）已知函数 ，其中 且 ．
(1)若 是偶函数，求a的值；
(2)若 时， ，求a的取值范围．
【题型二 函数的周期性及其应用】
函数周期性的判断与应用
【典例1】（单选题）（23-24高三上·福建三明·期中）若偶函数 满足 ，当时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数 满足：对任意 ，有 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．1 D．0
3．（2024·陕西渭南·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，若 ，
则（ ）
A． B．
C．函数 的周期为2 D．
5．（2024·辽宁沈阳·三模）已知 是定义在 上的函数，且 为偶函数， 是奇函数，当 时， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
6．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）函数 和 的定义域为 ，若 的最小正周期为
的最小正周期为 ，则（ ）
A． 为周期函数 B． 为周期函数
C． 为周期函数 D． 为周期函数
7．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，
，则（ ）
A． B．函数 是奇函数 C． D． 的一个周期为
3
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），
则函数f（x）的周期为 ．
9．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）设奇函数 满足 ，当 时，
， .
10．（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）已知定义在 上的偶函数 满足 ，，则 等于 ．
【题型三 函数的对称性及其应用】
函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】（单选题）（2024·四川内江·三模）已知函数 的定义域为R，对任意实数x都有
成立，且函数 为偶函数， ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
一、单选题
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的图象关于点 对称
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．23．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ）满足 ，若函数 与 图
象的交点横坐标分别为 ， ，…， ，则 （ ）
A． B． C． D．0
4．（2024·江西·二模）已知定义在 上的函数 满足 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 单调递增
B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
6．（2024·全国·三模）已知函数 定义域为 且不恒为零，若函数 的图象关于直线
对称， 的图象关于点 对称，则（ ）
A．
B．C． 是 图象的一条对称轴
D． 是 图象的一个对称中心
三、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）
＝ ．
8．（2024·四川成都·模拟预测）函数 ，若 ，则 .
9．（2024·山西临汾·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则 ．
【题型四 ★④函数性质的综合应用】
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，
将所求函数值的自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解．
(2)解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，
再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性．总
之，要充分利用已知条件进行适当转化．
(3)单调性、奇偶性、周期性是函数的三大特征．对于函数性质结合的题目，函数的周期性有
时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现
的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期
性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【典例1】（单选题）（2023·西藏昌都·模拟预测）已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足
．若 ，则 等于（ ）
A．－50 B．50 C． D．2一、单选题
1．（2023·陕西西安·三模）已知 是定义域为 的奇函数，若 的最小正周期为1，则
下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③ 的一个对称中心为 ④ 的一条对称轴为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）定义在R上的函数于 满足 是偶函数，且于
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足： 的图象是连续不断的
且 为偶函数.若 有 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东广州·一模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数，若
，则 （ ）
A．116 B．115 C．114 D．113
5．（2023·四川绵阳·一模）若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．（2024·山东临沂·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且 ，则（ ）
A． 的最小正周期为4 B．
C．函数 是奇函数 D．
7．（2024·河南开封·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则（ ）
A． B．
C． 是周期函数 D． 的解析式可能为
8．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数 的导函数分别为 ，且
， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．三、填空题
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数，其图象关于点
对称.当 时， ，则 .
10．（23-24高三上·福建·期中）已知定义域为 的函数 同时具有下列三个性质，则
.（写出一个满足条件的函数即可）
① ；
② ；
③ .
11．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）函数 的定义域为R，且 ， ，
若函数 的图象关于 对称，且 ，则 ．
12．（22-23高三·全国·对口高考）设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，
则 ．
13．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）定义在R上的函数 满足 ，
且 在 上是增函数，给出下列几个命题：
① 是周期函数；
② 的图象关于直线x＝1对称；
③ 在 上是减函数；
④ ．
其中正确命题的序号是 （请把正确命题的序号全部写出来）．
14．（23-24高三上·山西朔州·开学考试）函数 , 的定义域为 ， 的导函数 的定义域为
，若 ， ， ， ，则 的值为.
