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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 08 讲 函数的奇偶性、周期性和对称性（精讲）
①函数的奇偶性及其应用
②函数的周期性
③函数的对称性
★④函数性质的综合应用
一、必备知识整合
一、函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
偶函数 关于 轴对称
，那么函数 就叫做偶函数
如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有
奇函数 关于原点对称
，那么函数 就叫做奇函数
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个 ， 也
在定义域内(即定义域关于原点对称)．
二、函数的对称性
(1)若函数 为偶函数，则函数 关于 对称．
(2)若函数 为奇函数，则函数 关于点 对称．
(3)若 ，则函数 关于 对称．
(4)若 ，则函数 关于点 对称．
三、函数的周期性
（1）周期函数：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的任何值时，都有
，那么就称函数 为周期函数，称 为这个函数的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做
的最小正周期.1.奇偶性技巧
（1）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
（2）对于运算函数有如下结论：
①奇 奇=奇；
②偶 偶=偶；
③奇 偶=非奇非偶；
④奇 奇=偶；
⑤奇 偶=奇；
⑥偶 偶=偶.
（3）常见奇偶性函数模型
奇函数：
①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：
①函数 ．
②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
2.周期性技巧3.函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
.
4.对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
二、考点分类精讲【题型一 函数的奇偶性及其应用】
1.判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：
(2)图象法：
(3)性质法：
在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.已知函数奇偶性可以解决的三个问题
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4)
【答案】(1)非奇非偶函数
(2)偶函数
(3)偶函数
(4)奇函数
【分析】由奇偶函数的定义判断（1）（2）（3），由奇函数的图象关于原点对称判断（4）.
【详解】（1）原函数的定义域为 ，关于原点不对称，
从而函数 为非奇非偶函数．
（2）由 得 ，即函数 的定义域是 ，
关于原点对称．又 ，
因此函数 是偶函数．
（3） 的定义域为 ，关于原点对称．
又 ， ，所以 既是奇函数又是偶函数．
（4）如图，作出函数 的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数 为奇函数．【典例2】已知 是定义在R上的偶函数，且当 时， .
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用偶函数的定义以及已知的解析式，求解即可；
（2）利用偶函数的定义将不等式变形，然后利用单调性求解不等式即可.
【详解】（1）当 时， ，
，
所以 ；
（2）当 时， ，
因此当 时，该函数单调递增，
因为 是定义在R上的偶函数，且当 时，该函数单调递增，
所以由 等价于 ，
所以 ，
因此 ，
即 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 .一、单选题
1．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间 上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可
得C错误.
【详解】A：因为 ，所以 不是奇函数，故A错误；
B：因为 的定义域为 ，
又 ，所以 是奇函数，
又 在 恒成立，
所以 在区间 上单调递减，故B正确；
C：由正切函数的定义域可得函数 在 上不连续，
所以 在区间 上不单调，故C错误；
D：因为 ，所以 不是奇函数，故D错误；
故选：B.
2．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）若 ， 函数 为奇函数，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】将 值代入函数 ，根据奇函数的定义式 是否成立来判断充分性；由奇函数的
定义式 来构造方程求参数 的值，从而判断必要性.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以此时 是奇函数，
所以p是q的充分条件.
若 是奇函数，则 ，
即 ，所以 ，即
所以p是q的不必要条件.
综上得：p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·河北保定·二模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
【详解】设 ，则 ，
所以 为奇函数，
设 ，可知 为偶函数，
所以 为奇函数，则B，C错误，
易知 ，所以A正确，D错误．
故选：A.
4．（2024·安徽淮北·二模）若函数 是偶函数（e是自然对数的底数），则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的定义，得出 ，利用对数的运算性质整理成
，分析即得.
【详解】依题意， ，即 ，
整理得： ，即 ，则有 ，
因 不恒为0，故必有 ，解得， .
故选：B.
5．（2024·云南贵州·二模）若函数 的定义域为 且图象关于 轴对称，在 上是增函数，且
，则不等式 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先分析不等式在 上的解，再根据对称性得出不等式在上 的解即可.
【详解】因为 在 上是增函数且 ，所以 在 范围内的解为 .
因为函数 在定义域 上图象关于 轴对称，所以 在 内的解为 ，所以不等式
在R内的解为 .
故选：C二、多选题
6．（2024·广东茂名·二模）已知函数 为 上的奇函数，且在R上单调递增.若 ，
则实数 的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【分析】先利用函数 是奇函数，将不等式 转变为 ，再利用函数
在 上单调递增，将不等式 转变为 ，求解即可.
【详解】因为函数 是奇函数，
则不等式 ，可变形为 ，
因为函数 在 上单调递增，
则不等式 成立，则 ，
解得 ，1，2符合题意，
故选：CD.
7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数 对任意实数 均满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．函数 在区间 上不单调
【答案】ACD
【分析】令 等价于 ，则 ，可推导出 ，进而可判断A，利用赋值法
可判断B,C；先算出满足 的 值，由此可得 ，即可判断D.【详解】对于A，令 等价于 ，则 ，
所以 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，
令 ，则 ，解得： ，
令 ， ，则 ，故B错误；
对于C，由 知， ，所以 ，故C正确；
对于D，令 ，所以 ，解得： ，
令 ，则 ，
所以 ，因为 ， ，
所以函数 在区间 上不单调，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
8．（2024·上海崇明·二模）已知函数 为奇函数，则 ．
【答案】 /
【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值.
【详解】令 ，则由题意 为奇函数，
所以当 时， ，此时 ，
故 ，所以 .
故答案为： .
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习） 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则
时， ．
【答案】
【分析】由 时，得到 ，从而 ，再利用 为定义在 上的奇函数求解.
【详解】解：当 时， ，
则 ，
因为 为定义在 上的奇函数，
所以 ．
故答案为：
10．（2024·云南·模拟预测）若 为奇函数，则 .
【答案】
【分析】
根据对数函数的性质令 ，求出函数的定义域，又奇函数的定义域关于原点对称得到方程，求出
的值，再代入检验.
【详解】
对于函数 ，
令 ，解得 或 ，所以函数 的定义域为 ，
又 为奇函数，所以 ，所以 ，
此时 ，定义域为 ，
且 ，满足 为奇函数.
故答案为：
11．（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，若 ，则 的取值
范围为 ．
【答案】
【分析】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可.
【详解】由条件知 ，令 ，
则 ，
易知 ，即 为奇函数，
又 ，
易知 在 时单调递减，
由复合函数的单调性及奇函数的性质得 在R上单调递减，
对于 ，
所以 .故答案为： .
四、解答题
12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在 区间上的函数 为奇函数．
(1)求函数 的解析式；
(2)判断并证明函数 在区间 上的单调性.
【答案】(1)
(2)函数 在区间 上为增函数,证明见解析.
【分析】（1）依题意函数图象必过原点，由此求出 值即得解析式；
（2）运用定义法的步骤证明函数单调性即可.
【详解】（1）由题意知： ，即得： ，故函数 的解析式为： .
（2）函数 在区间 上为增函数.理由如下：
任取 且 ，由 ，
因 ，故 ， ， ，即 ，
则 在区间 上为增函数.
13．（2024·山东济南·三模）已知函数 ，其中 且 ．
(1)若 是偶函数，求a的值；
(2)若 时， ，求a的取值范围．
【答案】(1)(2) 且 ．
【分析】（1）由题意， ，即可得解；
（2）分 ， 且 和 三种情况讨论，结合基本不等式和导数求解即可.
【详解】（1）由题意， ，即 ，
解得， 或 （舍），经检验 时， 是偶函数，
所以a的值为 ；
（2）当 时， ， 成立；
当 且 时， ， ，
又 已证，故此时符合题意；
当 时， ，
因为函数 都是增函数，
所以函数 在 上单调递增，且 ，
故存在 ，使得当 时， ，从而 单调递减，
所以，存在 ，使得 ，此时不合题意．
综上所述， 且 ．
【题型二 函数的周期性及其应用】函数周期性的判断与应用
【典例1】（单选题）（23-24高三上·福建三明·期中）若偶函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性与周期性计算即可.
【详解】由已知可得 ，
即 是函数 的一个周期，
所以 .
故选：C
一、单选题
1．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当
时， ，则 （ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】先得到函数的周期，从而得到 ，代入求解即可.
【详解】因为 ，所以 的周期为12，
因为 ，所以 ，
因为当 时， ，
故 .
故选：D
2．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知函数 满足：对任意 ，有 ，当 时，
，则 （ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】B
【分析】根据函数的周期性即可求得答案.
【详解】解：由题意得：
所以函数 的最小正周期为
故
由当 时， 可知：
故选：B
3．（2024·陕西渭南·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，当
时， ，则 （ ）A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数 是以 为周期的周期函数，且为奇函数，再根据函数的周期性可得
代入已知解析式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
因为 ，所以函数 是奇函数，
因为 ，
所以
.
故选：D.
4．（2024·陕西铜川·三模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，若 ，
则（ ）
A． B．
C．函数 的周期为2 D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数奇偶性与周期性的定义即可判断AC，再由函数 的周期为4，代入计算，
即可判断BD
【详解】 为奇函数， ，又 为偶函数， ，故A项错误.
即 函数 的周期为4，
即C项错误.
由 ，令 ，得 ，
即B项错误.
又 ，
所以D项正确.
故选：D
5．（2024·辽宁沈阳·三模）已知 是定义在 上的函数，且 为偶函数， 是奇函数，
当 时， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质得到 ，再由奇函数的性质得到 ，从而推导出
，再由所给解析式及周期性计算可得.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
即 ，
所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，所以 是以 为周期的周期函数，
又当 时， ，所以 ，
则 ，
所以 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值.
二、多选题
6．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）函数 和 的定义域为 ，若 的最小正周期为
的最小正周期为 ，则（ ）
A． 为周期函数 B． 为周期函数
C． 为周期函数 D． 为周期函数
【答案】CD
【分析】由周期函数的定义逐一验算每个选项即可得解.
【详解】当 是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数， 和 可能不为周期
函数，故AB选项错误，
但 的周期均为 ，
因此 和 均有为 的周期，CD选项正确.
故选：CD.
7．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数 的定义域为R， ，，则（ ）
A． B．函数 是奇函数 C． D． 的一个周期为
3
【答案】AC
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
【详解】令 ，则 ，所以 ，A选项正确；
令 ，则 ，即 ，所以 是偶函数，B选项错误；
，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ， ，C选项正确；
令 ，则 ，
所以 ， ，所以 ， 的一个周期为
6，D选项错误.
故选：AC．
三、填空题
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）的定义域为R，且对于x∈R，恒有f（x＋1）＝－f（x），
则函数f（x）的周期为 ．
【答案】2
【分析】利用已知条件进行代换即可得到答案.
【详解】已知 ，用 替换式子中的 可得 ，由周期定义可得
函数的周期为2，故答案为：2
9．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）设奇函数 满足 ，当 时，
， .
【答案】 /
【分析】利用函数的周期性和奇偶性求函数值.
【详解】因为 ，所以 ，
则有 ，
所以函数 是以4为周期的周期函数，且 为奇函数，
所以 ，
故答案为: .
10．（23-24 高三下·湖南岳阳·开学考试）已知定义在 上的偶函数 满足 ，
，则 等于 ．
【答案】
【分析】
由 满足 ，利用函数的奇偶性，求得函数 是以 为周期的周期函数，进而可求
的值．
【详解】由题意，函数 满足 ，即 ，
， ，
又由函数 是 上的偶函数，即 ，所以 ，即 ， 取 得 ，
所以函数 是以 为周期的周期函数，
则 .
故答案为： .
【题型三 函数的对称性及其应用】
函数图象的对称性的判断与应用
【典例1】（单选题）（2024·四川内江·三模）已知函数 的定义域为R，对任意实数x都有
成立，且函数 为偶函数， ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
【答案】B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由 ，即 的一个周期为4，
由 为偶函数可知 关于 轴对称，即 ，
又 可知 ，
所以 ，显然 ，
所以 .
故选：B
一、单选题
1．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
（ ）
A．函数 的图象关于点 对称 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 的图象关于直线 对称 D．函数 的图象关于点 对称
【答案】D
【分析】根据求导公式和求导法则可得 ，结合抽象函数的对称性即可求解.
【详解】由 ，可知函数 的图象关于直线 对称；
对 求导，得 ，
则函数 的图象关于点 对称，所以ABC错误，D正确.
故选：D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 的图象关于点 对称，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】特殊值法：由图象关于点 对称可得 代入计算求解，然后检验即可.
【详解】解： 的图象关于点 对称，
，即 ，解得 ，
经检验知 的图象关于点 对称，
故选：C.
3．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ）满足 ，若函数 与 图
象的交点横坐标分别为 ， ，…， ，则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】依题意可得 ，即可得到函数的图象关于 对称，再根据对称性计算可得结
论.
【详解】因为 ，所以 ，
所以函数的图象关于 对称，又函数 关于 对称，
则 与 的交点应为偶数个，且关于 对称，
所以 .
故选：B.
4．（2024·江西·二模）已知定义在 上的函数 满足 且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据题意，可得 关于 对称，进一步求得 ，结合条件求得 ，可求得 .
【详解】由 ，可知 关于 对称，又 ，则 ，
又 ，则 ，
， .
故选：A.
二、多选题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 单调递增
B．函数 值域为
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求
解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义， 与 的关系，即可判断CD.
【详解】 ，
函数 ， ，则 ，
又内层函数 在 上单调递增，外层函数 在 上单调递增，
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 单调递增，故A正确；因为 ，所以 ，则 ，所以函数 的值域为 ，故B正确；
， ，所以函数 关于点 对称，故C错误，D
正确.
故选：ABD
6．（2024·全国·三模）已知函数 定义域为 且不恒为零，若函数 的图象关于直线
对称， 的图象关于点 对称，则（ ）
A．
B．
C． 是 图象的一条对称轴
D． 是 图象的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】由条件证明直线 为函数 的对称轴，点 为函数 的对称中心，结合函数的周期
定义证明 为周期函数，由此判断A，再证明 ，结合周期性判断B，证明 为函数的对称轴，
结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D.
【详解】因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 的图象关于直线 对称.
因为 的图象关于点 对称，所以 ，即 ，
所以 的图象关于点 对称.
所以 .
令 ，得 .
由 ， 可得 ，
故 即 ，
所以 ，
所以函数 的周期 ，
所以 ，又 不恒为零，
所以 错误，A错误，
，B正确；
因为 的图象关于直线 对称， 的图象关于点 对称，
所以 ，
所以 为函数 的对称轴，
结合周期性可得， ， 为函数 的图象的对称轴，
所以 是函数 图象的一条对称轴，C正确；
因为 ， ，
所以 ，所以原点为函数 的一个对称中心，
结合函数周期性可得点 ， ，为函数 图象的对称中心，
所以点 是函数 图象的一个对称中心，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）
＝ ．
【答案】ln （4－x）
【分析】利用对称的定义求解即可.
【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，
y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即 ,
故答案为：
8．（2024·四川成都·模拟预测）函数 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】利用 和 的关系求解即可.
【详解】 ，
，
.
故答案为：
9．（2024·山西临汾·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，则 ．
【答案】
【分析】令 求 ，令 求 ，令 得 ，通过迭代求周期，
然后可解.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，得 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
所以
所以 ，所以 ，即 ，
是以6为周期的周期函数，
所以 ，
故答案为： .
【题型四 ★④函数性质的综合应用】
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，
将所求函数值的自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解．
(2)解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，
再判断函数图象的对称轴或对称中心；也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性．总
之，要充分利用已知条件进行适当转化．
(3)单调性、奇偶性、周期性是函数的三大特征．对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现
的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期
性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【典例1】（单选题）（2023·西藏昌都·模拟预测）已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足
．若 ，则 等于（ ）
A．－50 B．50 C． D．2
【答案】D
【分析】运用函数奇偶性、对称性可得函数周期为4，运用赋值法可得 、 、 的值进而运用周
期性可求得结果.
【详解】因为 图象关于原点对称，
所以 且
又因为 ，①
所以 ，
所以 ， ②
所以 ，
所以 ，③
即 的周期为4，
将 代入①得： ，
将 代入②得： ，
又因为 ，
所以 ，
将 代入③得： ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
一、单选题
1．（2023·陕西西安·三模）已知 是定义域为 的奇函数，若 的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③ 的一个对称中心为 ④ 的一条对称轴为
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据条件得出周期，结合周期性、对称性可得答案.
【详解】因为 的最小正周期为1，所以 ；
即 ，所以2是 的周期；
因为 为奇函数，所以 ，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为 ，所以 的一个对称中心为 ，③正确；
通过题目条件无法得出 的一条对称轴为 ，④不正确；
故选：B
2．（22-23高三上·辽宁·阶段练习）定义在R上的函数于 满足 是偶函数，且于
，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据条件 可判断 是周期为6的周期函数，进而根据周期以及奇偶
性即可求解.
【详解】由 得 ，所以 ，即，所以 是周期为6的周期函数，进而 ，因为 是偶
函数，所以 ，又 ，所以 ．
故选：C
3．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）已知定义在 上的奇函数 满足： 的图象是连续不断的
且 为偶函数.若 有 ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和对称性得到函数的周期，然后利用函数的单调性即可求解.
【详解】∵ 为偶函数，
∴ 且 的图象关于 对称，
∵ 为奇函数，∴ 的图象关于 对称，
∴ 为周期函数， ，
∵ 有 ，∴ 在 上单调性递减，
∴由 的图象的连续性以及单调性、对称性可得其草图如上所示：
∵ ， ， ，∴ ，
故选：D.
4．（2023·广东广州·一模）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数，若
，则 （ ）
A．116 B．115 C．114 D．113
【答案】C
【分析】
由 可得函数 的周期为 ，
再结合 为偶函数，可得 也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.
【详解】由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
所以函数 的周期为 ，
又 为偶函数，
则 ，
所以 ，
所以函数 也为偶函数，
又 ，
所以 ， ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ，
又 ， ，
，
所以
故选： .
5．（2023·四川绵阳·一模）若函数 的定义域为 ，且 偶函数， 关于点 成中心
对称，则下列说法正确的个数为（ ）
① 的一个周期为2 ②
③ 的一条对称轴为 ④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由题意，根据函数的对称性，可得 ， ，且 ，根
据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，
可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得 ，
，可判④的正误.
【详解】因为 偶函数，所以 ，则 ，即函数 关于直线
成轴对称，
因为函数 的图象是由函数 的图象向左平移 个单位，所以函数 关于点 成中心对称，则 ，且 ，
对于①， ，
，则函数 的周期 ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③， ，故③正确；
对于④， ，则 ，
，则 ，
由 ，则
，故
④正确.
故选：C.
二、多选题
6．（2024·山东临沂·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，
，且 ，则（ ）
A． 的最小正周期为4 B．
C．函数 是奇函数 D．【答案】AB
【分析】据题意，通过赋值得到 ， ，即可判断A；
令 ，可求出 ，由周期性可判断B；令 ，得到 ，由周期性 ，
可证明 是奇函数，假设函数 是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为 ，
所以 ， ，
所以 ，故 的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为 ，
令 ，则 ，
所以 ，
由A可知， ，故B正确；
对于C， 因为 ，①
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，②
由①②，所以 ，即 ，故 为奇函数，
若函数 是奇函数，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为 为奇函数，且 ，所以 ，
又因为 的最小正周期为4，所以 ，
因为
所以 ， ，
所以 ，
，
以此类推，
所以 ，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数 ，
（1）若 ，则函数 的周期为 ；
（2）若 ，则函数 的周期为 ；（3）若 ，则函数 的周期为 ；
（4）若 ，则函数 的周期为 ；
（5）若 ，则函数 的周期为 .
7．（2024·河南开封·三模）已知函数 的定义域为 ，且 ， ，
则（ ）
A． B．
C． 是周期函数 D． 的解析式可能为
【答案】ABC
【分析】利用赋值法求 判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得
，化简得 ，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B.
【详解】由 ，
令 ， ，有 ，可得 ,故A正确；
令 ，则 ，则 ，
函数 是偶函数， 而 为奇函数，故D错误，
，令 ，
则 ，
所以 ，
则 ，
，
所以 ，则 周期为6，C正确．由于 为偶函数且周期为6，故 ，B正确，
故选：ABC
8．（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数 的导函数分别为 ，且
， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B．
C． 的周期为4 D．
【答案】ACD
【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得 、
，通过合理赋值即可判断BCD.
【详解】由 ，得 ①，
②，得 ③，
由①②③，得 ，所以函数 图象关于直线 对称，故A正确；
由 ，得 ，令 ，得 ；
由 ，得 ，
令 ，得 ，
∴ ④，
又 ⑤，令 ，得 ，故B错误；
④⑤两式相加，得 ，得 ，
所以 ，即函数 的周期为4，故C正确；
由 ，令 ，得 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式 、
和 是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都
是解题的思路.三、填空题
9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且 为偶函数，其图象关于点
对称.当 时， ，则 .
【答案】8
【分析】根据对称性得到 ，接和偶函数的定义进行联合分析，得到函数的周期性，进而
求值.
【详解】由已知 ，且 ，
，
即函数 是以24为周期的周期函数，
故 .
故答案为：8.
10．（23-24高三上·福建·期中）已知定义域为 的函数 同时具有下列三个性质，则
.（写出一个满足条件的函数即可）
① ；
② ；
③ .
【答案】 （答案不唯一，形如 即可）
【分析】利用函数的性质写出一个满足条件的函数即可.
【详解】由②可知函数 为奇函数，由③可知函数 为单调递减函数，
不妨设函数 ，
则 符合题意.
可取 .故答案为： .
11．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）函数 的定义域为R，且 ， ，
若函数 的图象关于 对称，且 ，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，得到 为偶函数，进而求得 ，得到 ，得出函数 是周
期为 的周期函数，结合 ，即可求解.
【详解】由 ，
令 ，代入上式可得 ，即 ，
又函数 的图象关于 对称，可得 的图象关于 轴对称，
即函数 为偶函数，所以 ，
联立 ，可得 ，
所以 恒成立，所以函数 是周期为 的周期函数，
因为 ，所以 .
故答案为： .
12．（22-23高三·全国·对口高考）设 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，
则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可得出 的值，根据函数对称性可得出 的值，推导出函数 为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得 的值.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，且 的图象关于直线 对称，
则对任意的 ， ， ，则 ，
所以， ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，且 ，
因此， .故答案为： .
13．（22-23高三上·河南洛阳·阶段练习）定义在R上的函数 满足 ，
且 在 上是增函数，给出下列几个命题：
① 是周期函数；
② 的图象关于直线x＝1对称；
③ 在 上是减函数；
④ ．
其中正确命题的序号是 （请把正确命题的序号全部写出来）．
【答案】①②③④
【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐一判断各个命题作答.
【详解】依题意， ， ，取 得： ，
，取 ，则有 ，即函数 是R上的奇函数，
由 得： ，因此函数 以4为周期的周期函数，①正确；
，因此 的图象关于直线x＝1对称，②正确；
因 在 上是增函数，则 在 上是增函数，于是得 在 上是减函数，③正确；
由 得： ，④正确.
故答案为：①②③④
14．（23-24高三上·山西朔州·开学考试）函数 , 的定义域为 ， 的导函数 的定义域为，若 ， ， ， ，则 的值为
.
【答案】
【分析】令 ，得到 ，结合条件得到 ，从而得出
关于直线 对称，再结果合条件 ， ，得到 ，
所以函数 周期为8，再结合条件得到 ，从而得出 ，即可求出
结果.
【详解】令 ，则 ，
又 ，所以 为常数函数，
又 ，所以 ，故 关于直线 对称，
又因为 ， ，
所以 ，故 ，所以 ，
得到 ，所以函数 周期为8，
又 ，故有 ，即有 ，
又由 ，得到 ，
故 ，
所以
，
因为 ，所以 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 .故答案为： .
