文档内容
第3讲 函数的奇偶性及周期性
最新考纲 考向预测
以理解函数的奇偶性、会用函数的
1.结合具体函数，了解函数奇偶
奇偶性为主，常与函数的单调性、
性的含义.
命题 周期性与对称性交汇命题，加强函
2.会运用函数图象理解和研究函
趋势 数与方程思想、转化与化归思想的
数的奇偶性.
应用意识，题型以选择、填空题为
3.了解函数周期性、最小正周期
主，中等偏上难度.
的含义，会判断、应用简单函数的
核心
周期性. 数学抽象、逻辑推理
素养
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，如果对于函数f(x)的
定义域内任意一个x，都有
偶函数 关于 y 轴 对称
f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数f(x)就
叫做偶函数
如果对于函数f(x)的定义域
内任意一个x，都有 f ( － x ) ＝
奇函数 关于原点对称
－ f ( x )，那么函数f(x)就叫做
奇函数
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域
内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个
函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那
么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇
×偶＝奇．
2．函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
常见误区
1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是
函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，
而不能说存在x ，使f(－x )＝－f(x )．同样偶函数也是如此．
0 0 0
3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( )
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(
)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( )
(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．下列函数中为偶函数的是( )
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对
称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，
D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋
b的值是( )
A．－1 B．1C．－3 D．0
解析：选B.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a
－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B.
4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝
________．
解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，
所以f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝
________．
解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
函数的奇偶性
角度一 判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；
(2)f(x)＝ln ；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
【解】 (1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既
不是奇函数也不是偶函数．
(2)f(x)的定义域为(－2，2)，
f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，
所以函数f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
函数具有奇偶性包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先
考虑定义域．
(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价
关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝log (－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋
a
a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．
角度二 函数奇偶性的应用
(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则
当x＜0时，f(x)＝( )
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
(2)(2021·黑龙江哈尔滨师范大学附中月考)已知函数f(x)＝cos ＋－1，若f(a)
＝－，则f(－a)＝( )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 (1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋
1，选D.
优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.
(2)设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，
则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，
所以g(－a)＝－g(a)＝－，
即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.
【答案】 (1)D (2)D
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参
数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝( )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选C.由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此
时f(x)＝为奇函数．
2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(
)
A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)
C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)
解析：选B.因为f(x)是奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)．
对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．
对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，
所以y＝xf(x)是偶函数．
对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，
所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．
对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)
＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．
3．(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋
2g(x)＝ex，则( )
A．f(x)＝ B．g(x)＝
C．f(－2)0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．
解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.
又因为函数f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
答案：
函数的周期性
(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，
且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 B．1.5
C．2.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，
则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 (1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，
所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点
的横坐标分别为x ＝0，x ＝1.
1 2
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以
f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分
别为x ＝2，x ＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
3 4
【答案】 (1)C (2)D
函数周期性的判定与应用
(1)判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，
且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决
具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．
1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则
f(17)＝________．
解析： 因为f(x＋2)＝－，
所以f(x＋4)＝－＝f(x)，
所以函数y＝f(x)的周期T＝4.
f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，
f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．
所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．
又f(x)在R上是偶函数，
所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.
答案：6
[A级 基础练]
1．(多选)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x2 B．y＝|x－1|
C．y＝|x|－1 D．y＝2x
解析：选AC.选项A，C中的函数为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增；选项B，
D中的函数均为非奇非偶函数．所以排除选项B，D，故选AC.
2．函数f(x)＝x＋(x≠0)是( )
A．奇函数，且在(0，3)上是增函数
B．奇函数，且在(0，3)上是减函数
C．偶函数，且在(0，3)上是增函数
D．偶函数，且在(0，3)上是减函数
解析：选B.因为f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
所以函数f(x)＝x＋为奇函数．又f′(x)＝1－，在(0，3)上f′(x)<0恒成立，
所以f(x)在(0，3)上是减函数．
3．(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，
f(x)＝2x，当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x>时，f＝f，则f(5)＝( )
A． B．－
C．－2 D．2
解析：选B.因为当x>时，f＝f，所以f(x＋1)＝f(x)，所以f(5)＝f(1)．因为当－
1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)．又当x<0时，f(x)＝2x，所以f(5)＝
f(1)＝－f(－1)＝－2－1＝－，故选B.
4．设函数f(x)＝，则下列结论错误的是( )
A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数
C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数
解析：选D.因为f(x)＝，
则f(－x)＝＝－f(x)．
所以f(x)是奇函数．
因为f(|－x|)＝f(|x|)，
所以f(|x|)是偶函数，所以f(|x|)f(x)是奇函数．
5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的
取值范围为( )
A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：选D.因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的周期函
数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，
所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，
所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.
6．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝
________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝
(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，所以f(x)＝x2＋x－1.
答案：x2＋x－1
7．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a的值为________，且当x≥4时，f(x)的最
大值为________．解析：由f(x)为奇函数易知a＝2，
当x≥4时，f(x)＝在[4，＋∞)上单调递减，
所以当x＝4时，f(x) ＝.
max
答案：2
8．已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝
2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．
解析：方法一：因为f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)．
所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)．
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0，
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
方法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sin ，则结合该函数的图象易知数列
{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．
故 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝
12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
答案：2
9．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f＝－f成立．
(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)因为f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，
所以f(x＋3)＝f
＝－f
＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函数，且3是其一个周期．
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，
所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
10．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当
－1≤x≤0时，f(x)＝－x.
(1)判定f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式．
解：(1)因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，所以f(－x)＝f(x)．又f(x)的定义域为R，
所以f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，
则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
故f(x)＝
[B级 综合练]
11．对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇
函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，
所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，y＝f(x)不一
定是奇函数，如y＝|f(x)|＝x2，故选B.
12 ． 已 知 函 数 f(x) ＝ 如 果 对 任 意 的 n∈N ， 定 义 f (x) ＝
＋ n
，那么f (2)的值为( )
2 022
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.因为f (2)＝f(2)＝1，f (2)＝f(1)＝0，f (2)＝f(0)＝2，所以f (2)的值具
1 2 3 n
有周期性，且周期为3，所以f (2)＝f (2)＝f (2)＝2，故选C.
2 022 3×674 313．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积．
解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数．
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)
＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，
得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，
即f(1＋x)＝f(1－x)．
从而可知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如
图所示．
设当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S ＝4×
△OAB
＝4.
14．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)设x＜0，则－x＞0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是当x＜0时，
f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)可画出f(x)的图象，知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－
2]上单调递增．
结合f(x)的图象知所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
[C级 创新练]
15．若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：
(1)∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；
(2)∀x ，x ∈R，且x ≠x ，都有<0.
1 2 1 2
①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x.
以上三个函数中，“优美函数”的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减
函数．
对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3
既是奇函数，又在R上单调
递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函
数”．故选B.
16．(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)
＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( )
A．y＝sin xcos x B．y＝ln x＋ex
C．y＝2x D．y＝x2－2x
解析：选AB.由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sin xcos x
＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝ln x＋ex的值
域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2
－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所
述，A，B是“H函数”，故选AB.
