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§2.3 函数的奇偶性、周期性
考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性
质进行简单的应用．
知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
偶函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) 关于 y 轴 对称
＝ f ( x )，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
奇函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 f ( － x ) 关于原点对称
＝－ f ( x )，那么函数f(x)就叫做奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这
个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( × )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( × )
(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( × )
(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．( √ )教材改编题
1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
答案 A
解析 偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，
则由偶函数的图象关于y轴对称，则有f(x)在[1,2]上单调递增，
即有最小值为f(1)，最大值为f(2)．
对照选项，A正确．
2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.
答案 －6
解析 因为函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，
所以f(－2)＝－f(2)＝－(2＋4)＝－6.
3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.
答案 －1
解析 因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，
所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数y＝xsin x是偶函数
C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数y＝是奇函数
答案 BC
解析 对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；
对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)，
所以该函数为偶函数，所以B正确；
对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称，
且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，
所以函数为奇函数，所以C正确；
对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确．
思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
解析 选项A，f(x)g(x)＝(ex＋e－x)sin x，
f(－x)g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(ex＋e－x)sin x＝－f(x)g(x)，是奇函数，判断错误；
选项B，|f(x)|g(x)＝|sin x|(ex＋e－x)，
|f(－x)|g(－x)＝|sin(－x)|(e－x＋ex)＝|sin x|(ex＋e－x)＝|f(x)|g(x)，是偶函数，判断错误；
选项C，f(x)|g(x)|＝|ex＋e－x|sin x，
f(－x)|g(－x)|＝|e－x＋ex|sin(－x)
＝－|ex＋e－x|sin x＝－f(x)|g(x)|，是奇函数，判断正确；
选项D，|f(x)g(x)|＝|(ex＋e－x)sin x|，|f(－x)g(－x)|＝|(e－x＋ex)sin(－x)|
＝|(ex＋e－x)sin x|＝|f(x)g(x)|，是偶函数，判断错误．
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b等于( )
A．3 B. C．－ D．－
答案 B
解析 由已知得，当x>0时，－x<0，f(－x)＝－ax3＋b，
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即x3＋1＝－ax3＋b，
∴a＝－1，b＝1，
∴2a＋b＝2－1＋1＝.
(2)(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则
当x<0时，f(x)等于( )
A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1
C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1
答案 D解析 当x<0时，－x>0，因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－2－x＋x＋1.
命题点2 利用奇偶性解不等式
例3 函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0
的解集为( )
A．(－2,2)
B．(－∞，0)∪(0,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 D
解析 由于f(x)是定义域为R的奇函数，
所以f(0)＝0，
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，
所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(－x)＝－f(x)可得，＝＝>0，
由于x在分母位置，所以x≠0，
当x<0时，只需f(x)<0，由图象可知x<－2；
当x>0时，只需f(x)>0，由图象可知x>2；
综上，不等式的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性
转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于( )
A．1 B．3 C．4 D．5
答案 D
解析 根据题意f(a)＝sin a＋a3＋＋3＝1，
即sin a＋a3＋＝－2，
所以f(－a)＝sin(－a)＋(－a)3＋＋3
＝－＋3＝2＋3＝5.
(2)已知函数f(x)＝log (|x|＋1)，若f(log x)0，所以y＝2x3＋4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意；
对于B，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin x＝－f(x)，故为奇函数，
又y′＝1－cos x≥0，且y′不恒为0，
所以y＝x＋sin(－x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意；
对于C，定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝log |x|＝f(x)，故为偶函数，故C不满足题意；
2
对于D，定义域为R，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，为奇函数，
又y′＝2xln 2＋2－xln 2>0，所以y＝2x－2－x在(0,1)上单调递增，故D满足题意．
2．(2023·聊城模拟)已知函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“|f(x)|是偶函数”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，根据这一特征，若f(x)是
偶函数，则|f(x)|是偶函数，若f(x)是奇函数，|f(x)|也是偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“|
f(x)|是偶函数”的充分不必要条件．
3．(2022·河南名校联盟模拟)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当00，log 6<0，
0.2
因为f(－x)＝(－x)2＋log |－x|＝f(x)，
2
所以f(x)为偶函数，
所以只需判断2－0.2，lg π，－log 6的大小即可，
0.2
－log 6＝log >1,2－1<2－0.2<20＝1,01>2－0.2>lg π>0，
0.2
当x>0时，y＝x2，y＝log x都单调递增，
2
所以f(x)＝x2＋log |x|在(0，＋∞)上单调递增，
2
所以c＝f(log 6)＝f(－log 6)>a＝f(2－0.2)>b＝f(lg π)．
0.2 0.2
5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案 B
解析 f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个
单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
6．(多选)f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)
＝log (2－x)，则下列结论正确的是( )
2
A．函数f(x)的一个周期为4
B．f(2 022)＝1
C．当x∈[2,3]时，f(x)＝－log (4－x)
2
D．函数f(x)在[0,2 021]内有1 010个零点
答案 AC
解析 ∵f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数的周期为4，故A正确；
f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)＝－1，故B错误；
当x∈[2,3]时，x－2∈[0,1]，
则f(x)＝－f(x－2)＝－log [2－(x－2)]
2
＝－log (4－x)，故C正确；
2
易知f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2 019)＝f(2 021)＝0，
于是函数f(x)在[0,2 021]内有1 011个零点，故D错误．
7．写出一个定义域为R，周期为π的偶函数f(x)＝________.
答案 cos 2x(答案不唯一)
解析 y＝cos 2x满足定义域为R，最小正周期T＝＝π，且为偶函数，符合要求．8．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________．
答案 (，＋∞)
解析 因为f(x)＝ex－e－x，定义域为R，且f(－x)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故其为奇函数，
又y＝ex，y＝－e－x均为增函数，故f(x)为R上的增函数，
则原不等式等价于f(ln x)>f(1－ln x)，也即ln x>1－ln x，整理得ln x>，
解得x>，故不等式的解集为(，＋∞)．
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1
