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第8讲 函数的图象
最新考纲 考向预测
函数图象的辨析；函数图象和
1.在实际情境中，会根据不同的需要选
命题 函数性质的综合应用；利用图
择图象法、列表法、解析式法表示函数．
趋势 象解方程或不等式，题型以选
2．会运用函数图象理解和研究函数的
择题为主，中档难度.
性质，解决方程解的个数与不等式解集
核心
的问题. 直观想象
素养
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是：列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、
单调性、周期性、对称性等)．
其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，
描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)――→y＝ － f ( x )．
②y＝f(x)――→y＝ f ( － x ) ．
③y＝f(x)――→y＝ － f ( － x )．
④y＝ax(a＞0且a≠1)――→y＝log x ( x ＞ 0) ．
a
(3)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝ | f ( x ) | ；
②y＝f(x)――――――――――→y＝ f ( | x |) ．
(4)伸缩变换①y＝f(x)
→
y＝ f ( ax ) ．
②y＝f(x)
→
y＝ af ( x ) ．
常用结论
1．函数图象平移变换的八字方针
(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．
(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．
2．函数图象自身的轴对称
(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－
x)＝f(2a＋x)．
(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象
关于直线x＝对称．
3．函数图象自身的中心对称
(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－
x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．
(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝
2b－f(2a－x)．
4．两个函数图象之间的对称关系
(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对
称轴方程)；
(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．
常见误区
1．函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言，如从f(－2x)的图象到f(－2x
＋1)的图象是向右平移个单位长度，其中是把x变成x－.
2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数
y＝f(x＋1)＋1的图象．( )
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( )
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
2．函数f(x)＝x＋的图象关于( )
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：选C.函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数
f(x)为奇函数，关于原点对称．
3．下列图象是函数y＝的图象的是( )
解析：选C.其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部
分组成．
4．(易错题)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________
的图象．
解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.
答案：y＝f(－x＋1)
5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只
有一个解，则a>0.
答案：(0，＋∞)作函数的图象
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|lg x|；
(2)y＝2x＋2；
(3)y＝x2－2|x|－1.
【解】 (1)y＝
图象如图①所示．
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位，图象如图②所示．
(3)y＝图象如图③所示．
函数图象的画法
[提醒] (1)画函数的图象一定要注意定义域．
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要
先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|x－2|(x＋1)；
(2)y＝.
解：(1)当x≥2，即x－2≥0时，
y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝－；
当x<2，即x－2<0时，
y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－＋.所以y＝
这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图)．
(2)作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，加上y＝的图象中x>0部分
关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图中实线部分．
函数图象的辨识
(1)(2020·高考浙江卷)函数y＝xcos x＋sin x在区间[－π，π]上的图象可
能是( )
(2)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝－1 D．f(x)＝x－
【解析】 (1)令f(x)＝xcos x＋sin x，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－
xcos x－sin x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故
选A.
(2)由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则
x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D，故选A.
【答案】 (1)A (2)A(1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象上下位置
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(2)抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特征点、特殊值的计算，分析解决问题．
1．(2020·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)＝g(x)＝－f(－x)，则函
数g(x)的图象大致是( )
解析：选D.先画出函数f(x)＝的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与－f(－x)
的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)
所示．故选D.
2.图中的阴影部分由底为 1，高为1的等腰三角形及高为
2和3的两矩形所构成．设函数 S＝S(a)(a≥0)是图中阴影部分
介于平行线y＝0及y＝a之间的那一部分的面积，则函数S(a)
的图象大致为( )解析：选C.根据图形可知在[0，1]上面积增长的速度变慢，在图象上反映出切
线的斜率在变小，可排除A，B；在[1，2]上面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长
速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积增长速度，可排除D，故
选C.
3.函数f(x)＝的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a＞0，b＞0，c＜0
B．a＜0，b＞0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
解析：选C.由f(x)＝及图象可知，x≠－c，－c＞0，则c＜0；当x＝0时，f(0)＝
＞0，所以b＞0；当y＝0时，ax＋b＝0，所以x＝－＞0，所以a＜0.故a＜0，b＞0，c
＜0.故选C.
函数图象的应用
角度一 研究函数的性质
(多选)(2021·福建厦门双十中学月考)对任意两个实数a，b，定义min{a，
b}＝若f(x)＝2－x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是(
)
A．函数F(x)是偶函数
B．方程F(x)＝0有三个解
C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增
D．函数F(x)有4个单调区间
【解析】 根据函数f(x)＝2－x2与g(x)＝x2，画出函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的图象，如图．由图象可知，函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}关于y轴对称，
所以A项正确；函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个
解，所以B项正确；函数F(x)在(－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在
[0，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，所以C项错误，D项正确．
【答案】 ABD
对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研
究：
(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
角度二 解不等式
(2020·高考北京卷)已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是(
)
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．由
图象得交点坐标为(0，1)和(1，2)．
又f(x)>0等价于2x>x＋1，
结合图象，可得x<0或x>1.
故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.
【答案】 D
利用函数的图象研究不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为
两函数图象的上下关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形
结合法求解．
角度三 求参数的取值范围
(2021·唐山月考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有
两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．
【解析】 先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直
线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过点A时斜率为，故当f(x)＝g(x)有两个不
相等的实根时，k的取值范围为.
【答案】
【引申探究】 (变条件)若f(x)>g(x)恒成立，则实数k的取值范围是________．
解析：如图作出函数f(x)的图象，
当－1≤k<时，
直线y＝kx的图象恒在函数y＝f(x)的下方．
答案：
当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两
个函数，再根据题设条件和图象确定参数的取值范围．
1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1)D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
解析：选C.将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝
画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图
象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在区间(－1，1)上单调递
减．
2．函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增
f(3)＝0，若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．
解析：函数f(x)的图象大致如图所示．
因为f(x)为奇函数，且x·[f(x)－f(－x)]<0，
所以2xf(x)<0.
由图可知，不等式的解集为(－3，0)∪(0，3)．
答案：(－3，0)∪(0，3)
[A级 基础练]
1．若函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，则( )
A．a>1，b>1 B．a>1，01 D．00且a≠1)的图象
a
可能是( )
解析：选AC.函数y＝a－x与y＝log (a>0且a≠1)的单调性相反，所以排除B，
a
D项；当a>1时，可能的图象是C项；当00
在(－1，3)上的解集为( )
A．(1，3) B．(－1，1)
C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)解析：选C.作出函数f(x)的图象如图所示．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0得x∈(－1，0)；当x∈(0，1)时，由xf(x)>0得
x∈∅；当∈(1，3)时，由xf(x)>0得x∈(1，3)．所以x∈(－1，0)∪(1，3)．
6．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，
2)，(3，1)，则f＝________．
解析：由题图知f(3)＝1，所以＝1.所以f＝f(1)＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a
的取值范围是________．
解析：问题等价于函数y＝f(x)的图象与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，
如图，结合函数图象可知a>1.
答案：(1，＋∞)
8．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－x.若f(a)<4＋
f(－a)，则实数a的取值范围是________．
解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
所以f(a)<4＋f(－a)可转化为f(a)<2，
作出f(x)的图象，如图：
由图易知a<2.答案：(－∞，2)
9．作出下列函数的图象．
(1)y＝；
(2)y＝|log (x＋1)|.
2
解：(1)因为y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度，即得y＝的图象，如图所示．
(2)利用函数y＝log x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
2
10．作出函数y＝log |x＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的
2
图象可由函数y＝log x的图象经过怎样的变换而得到．
2
解：作出函数y＝log x的图象，将其关于y轴对称得到函数y
2
＝log |x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数 y＝
2
log |x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log |x＋1|的单调递
2 2
减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．
[B级 综合练]
11.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中
点，当点P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与△APM的面
积y的函数y＝f(x)的图象的形状大致是( )
解析：选A.y＝f(x)
＝画出分段函数的大致图象，如图所示．故选A.
12．(多选)函数f(x)＝的图象可能是( )解析：选ABC.函数表达式中含有参数a，要对参数进行分类讨论．若a＝0，则
f(x)＝＝，选项C符合；f′(x)＝，当a<0时，f′(x)<0恒成立，故f(x)在(－∞，－)，
(－，)，(，＋∞)上单调递减，A项符合；当a>0时，f′(x)＝0，解得x＝±，当f′(x)>0，
即x∈(－，)时，f(x)单调递增，当f′(x)<0，即x∈(－∞，－)，(，＋∞)时，f(x)单调递减，
B项符合；不可能出现D项的情形，故选ABC.
13．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.
(1)求实数m的值；
(2)作出函数f(x)的图象；
(3)若方程f(x)＝a只有一个实数根，求a的取值范围．
解：(1)因为f(4)＝0，所以4|m－4|＝0，即m＝4.
(2)f(x)＝x|x－4|
＝
f(x)的图象如图所示．
(3)由f(x)的图象可知，当a>4或a<0时，f(x)的图象与直线y＝a只有一个交点
即方程f(x)＝a只有一个实数根，即a的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．
14．已知函数f(x)＝2x，x∈R.
(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如
图所示，
由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有
一个交点，原方程有一个解；
当00)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝－在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，
应有m≤0，
即m的取值范围为(－∞，0]．
[C级 创新练]
15．(多选)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点
定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石．布劳威尔不动点
定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L·E·J·Brouwer)，简单讲就是对于满足
一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x ，使得f(x )＝x ，那么我们称该函数为
0 0 0
“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x
B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝
D．f(x)＝ln x－1
解析：选BC.根据定义可知，若f(x)为“不动点”函数，则f(x)＝x有解，对于
A，令2x＋x＝x，得2x＝0，此方程无解，所以f(x)＝2x＋x不是“不动点”函数；对
于B，令x2－x－3＝x，解得x＝3或x＝－1，所以f(x)＝x2－x－3是“不动点”函
数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，解得x＝－或x＝1，所以f(x)＝是“不动
点”函数；对于D，令ln x－1＝x，得ln x－x－1＝0，设g(x)＝ln x－x－1，则g′(x)
＝－1＝，所以当0＜x＜1时，g′(x)＞0，当x＞1时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在
(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x) ＝g(1)＝－2，所以方程ln
max
x－x－1＝0无解，所以f(x)＝ln x－1不是“不动点”函数．故选BC.
16．(多选)给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最
近的整数，记作{x}，即{x}＝m.则下列关于函数f(x)＝x－{x}的四个命题中是真命
题的有( )
A．函数y＝f(x)的定义域是R，值域是
B．函数y＝f(x)是偶函数
C．函数y＝f(x)是奇函数
D．函数y＝f(x)在上单调递增
解析：选AD.化简函数解析式可得，
f(x)＝x－{x}＝画出该函数的图象，如图所示，由图象可知A，D正确．
