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9.3双曲线（精练）
1（2023·四川成都·校联考二模）已知直线 是双曲线 的一条渐近线，且点
在双曲线 上，则双曲线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 ，则其渐近线方程为 ，
由题意可得： ，整理可得 ，
将 代入双曲线方程可得： ，解得 ， ，
所以双曲线 .
故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知F为双曲线 ： 的左焦点，P为 的右支上一点，则直线
PF的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知 ，设直线PF为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，消去 得
根据已知可得方程有一正根一负根，
，
解得 故选：D．
3．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）设A，B为双曲线 右支上的两点，若线段AB
的中点为 ，则直线AB的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
则有 ，两式相减，得 ，
因为线段AB的中点为 ，
所以 ，
因此由 ，
即直线AB的斜率为 ，方程为 ，
代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以线段AB存在，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：C
4．（2023·全国·专题练习）已知双曲线 与直线 相交于A、B两点，弦AB
的中点M的横坐标为 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则 ，由点差法得
．
∵ ，∴ ， ，∴ ，又 ，
∴ ，∴渐近线方程为 .
故选：A．
5．（2023秋·浙江宁波 ）过双曲线 内一点 且斜率为 的直线交双曲线于
两点，弦 恰好被 平分，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，且 ，
又因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即有 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .故选：C.
6．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，左、
右焦点分别为 ， ，过点 且斜率为 的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若 的周长为
36，则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，则双曲线方程为 ， ， ，
所以直线 为 ，设 ，
由 ，得 ，
则 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 的周长为36，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，得 ，所以双曲线方程为 ，
故选：D
7．（2024秋·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点
为 ，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】设该弦为 ， 设 ，
则有 ，两式相减，得 ，
因为双曲线C的一条弦的中点为 ，
所以 ，
因此由 ，
即这条弦所在直线的斜率为 ，方程为 ，
代入双曲线方程中，得 ，
因为 ，
所以该弦存在，
故选：D
8．（2023春·河北廊坊）（多选）已知双曲线 ，则（ ）
A．双曲线E的实轴长为24 B．双曲线E的焦距为26
C．双曲线E的渐近线的斜率为 D．双曲线E的渐近线的斜率为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BD
【解析】设双曲线E的焦距为 ，
因为 ， ，所以 ，
所以双曲线E的实轴长 ，焦距 ，故A错误，B正确；
渐近线的斜率为 ，故C错误，D正确．
故选：BD
9．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知 ，过点
可作直线 与曲线 交于 ， 两点，使 ，则曲线 可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意，根据选项可得，点 恰为四个曲线的焦点，
A中，抛物线 焦点弦弦长最小值为 ，故不存在弦长 ，所以A不正确；
B中，椭圆 中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为 ，
即 ，而 ，所以B正确；
C中，若 同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为 ，即 ，
因为 ，所以C正确；
D中，若 在异支上，则焦点弦弦长取值范围为 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以D正确.
故选：BCD.
10（2023春·湖北）（多选）过双曲线 的右焦点作直线 与该双曲线交于 、 两点，则
（ ）
A．存在四条直线 ，使
B．与该双曲线有相同渐近线且过点 的双曲线的标准方程为
C．若 、 都在该双曲线的右支上，则直线 斜率的取值范围是
D．存在直线 ，使弦 的中点为
【答案】BC
【解析】对于A，由于 ，所以右焦点为 ，设直线 方程为： .
联立 得： ， 恒成立.
所以 ， ，则 ， .
所以 .
所以 ，解得 ，所以只有两条，故A错误；
对于B，双曲线 的渐近线为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过点 的双曲线的标准方程为 ，故B正确；
对于C，若 、 都在该双曲线的右支上，则 ，
即 ，所以 ，解得 .故C正确；
对于D，假设存在直线 ，使弦 的中点为 ，
设直线的方程为 ，与 联立得：
， 恒成立.
所以 ，
所以 ，所以直线方程为 ，但是由于 不在直线上，
故不存在这样的直线 ，故D错误.
故选：BC.
10．（2022秋·山东青岛）（多选）已知双曲线 ，点 ， 在 上， 的中点为 ，则
（ ）
A． 的渐近线方程为 B． 的右焦点为
C． 与圆 没有交点 D．直线 的方程为
【答案】CD
【解析】对于AB，由双曲线 可得 ，
所以渐近线方程为 ，右焦点为 ，故AB不正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，联立 消 可得 ，代入 ，解得 无实数根，
所以 与圆 没有交点，故正确；
对于D，设 ，则 ， ，
两式相减，得 ，
因为 的中点为 ，所以等式可得 ，
易得直线 的斜率存在，故可得 ，
则直线为 即 ，
联立双曲线 的方程和直线 ，消去x，可得 ，
此时 ，则直线与双曲线有两个交点，符合题意，
故直线l的方程为 ，故正确.
故选：CD
11．（2023秋·山西忻州·高三校联考开学考试）已知双曲线E： 的左、右焦点分别
为 ， ，点M在双曲线E上， 为直角三角形，O为坐标原点，作 ，垂足为N，若
，则双曲线E的离心率为 .
【答案】
【解析】依题意， 为直角三角形，显然 ，否则 与 重合，
若 ，由 ，得 ，则 为 的中点，与 矛盾，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】于是 ，即 轴，令双曲线半焦距为c，由 ，得 ，
因此 ， ，由 ，得 ，
显然有 ，则 ，即 ，整理得 ，
则 ，而 ，解得 ，
所以双曲线E的离心率为 .
故答案为：
12．（2023秋·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）已知双曲线 的左、
右焦点分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支相交于A，B两点， ，且
的周长为10，则双曲线C的焦距为 ．
【答案】 /
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】
设 ， ， ，
根据双曲线的定义可知： ，
可得 ，
有 ，解得 ，
在 和 中，由余弦定理有
，
解得 ，
可得双曲线的焦距为 ．
故答案为： .
13．（2023·全国·课堂例题）如图，已知 ， 为双曲线 的焦点，过 作垂直于x
轴的直线交双曲线于点P，且 ，则双曲线的渐近线方程为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】
【解析】设 ， ，则 ，解得 ，
∴ .
在 中， ，则 ①.
由双曲线的定义，得 ②.
由①②得 .
∵ ，
∴ ，即 .
∴ .
∴双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
14．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考三模）已知双曲线C： 的左、右焦点分别
为 ， ，点M，N分别为C的渐近线和左支上的动点，且 的最小值恰为C的实轴长的2倍，
则C的离心率为 .
【答案】
【解析】由双曲线的定义得 ，所以 ，
于是 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图：当M、N、 三点共线，且 与点M所在的渐近线垂直时，
取得最小值，其最小值就是 到渐近线的距离d，
又C的渐近线方程为 ，所以 ，故 的最小值为b，
从而 的最小值为 ，由题设知 ，所以 ，
所以 .
故答案为：
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知双曲线 的右焦点为 ，
点 坐标为 ，点 为双曲线左支上的动点，且 的周长不小于18，则双曲线 的离心率的取值范
围为 .
【答案】
【解析】由右焦点为 ，点A坐标为 ，可得 .
因为 的周长不小于18，所以 的最小值不小于13.
设 为双曲线的左焦点，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
当 三点共线时， 取最小值 ,即 ，
所以 ,即 .
因为 ,所以 .
又 ,所以 .
故答案为: .
16．（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知双曲线 的一个焦点为 ，点 到双曲线 的一条渐
近线 的距离为1，则双曲线 的标准方程是 .
【答案】 或
【解析】点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
当焦点在 轴上时，设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，即 ，则 ，
所以此时双曲线 的标准方程为 ；
当焦点在 轴上时，设双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点 到双曲线 的一条渐近线 的距离为1，即 ，则 ，
所以此时双曲线 的标准方程为 .
综上，双曲线 的标准方程为 或 .
故答案为： 或
17．（2023秋·课时练习）直线 与双曲线 有且只有一个公共点，则实数 ．
【答案】 或
【解析】由 消去y，整理得 ，
当 时，由 得 ；
又注意到直线 恒过点 ，且渐近线的斜率为 时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为： 或
18．（2023北京）设P是双曲线 的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则|PA|＋|PF|的最小值为 ；|PB|＋|PF|的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】如图：
设双曲线的另一焦点为 ，则有 ， ，连接 ，易知点 在双曲线内，点B在双曲线外，
则 ； .
故答案为： ； .
19．（2023秋·陕西宝鸡）设动点 与点 之间的距离和点 到直线 的距离的比值
为 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若 为坐标原点，直线 交曲线 于 两点，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：由动点 与点 之间的距离和到直线 ： 的距离的比值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，整理得 ，
即曲线 的方程为 .
（2）解：联立方程组 ，整理得 ，
设 ， ，可得 ， ，
所以 ，
又由点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
20．（2022秋·江西南昌）已知双曲线C经过点 ，且渐近线方程为 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)点A为双曲线C的左顶点，过点 作直线交双曲线C于M、N两点，试问，直线AM与直线AN
的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)为定值 .
【解析】（1）由渐近线方程为 ，可设双曲线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】将点 代入双曲线方程中可得 ，
故双曲线方程为
（2）由题意可知：直线 有斜率，设其方程为 ，
联立直线与双曲线方程 ，
设 ,则 ，
由于 ,则 ，
将 代入可得
由于点 在直线 上，所以 ，此时 ，只需要
，即可 ，因此 ,故直线AM与直线AN的斜率之和为定值 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2023秋·广东揭阳·高三校考开学考试）已知双曲线 为坐标原点， 为
双曲线 的两个焦点，点 为双曲线上一点，若 ，则双曲线 的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 为双曲线的下焦点， 为双曲线的上焦点，
如图所示，过点 作 于点 .
因为 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
所以 ，所以 ，
故 ，得 .
因为 ，所以 ，故点 ，
将 代入双曲线 中，
即 ，化简得 ，
，
解得 或 （舍去），故B项正确.
故选：B.
2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线 的上下焦点分别为 ，点 在
的下支上，过点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，若 恒成立，则 的离心率的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过点 作渐近线的垂线，垂足为 ，
设 ，则点 到渐近线 的距离 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由双曲线的定义可得 ，故 ，
所以 ，即 的最小值为 ，
因为 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立，
所以， ，即 ，即 ，
所以， ，即 ，解得 .
故选：A.
3．（2023·安徽安庆）过双曲线 ： 的右焦点 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为
，且与另一条渐近线交于点 ，若 ，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图①，当 时，设 ，则 ，设 ，双曲线的渐近线方程为 ，
所以 ，在 中， ，设
， ， ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ， ， ， ，
则 ，则 ，且
即 ，解得 ，所以
如图②，当 时，设 ， ，设 ，则 ， ，
在 中， ，
设 ， ， ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ， ， ， ，
则 ， ， ，所以
，则 ，所以
，即 ，解得 ，所以 .
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
5．（2023·湖北·模拟预测）已知双曲线 ， ，过点 可做2条直线与左支只有一
个交点，与右支不相交，同时可以做2条直线与右支只有一个交点，与左支不相交，则双曲线离心率的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设双曲线的两条渐近线分别为 ，
由已知易知 ，若 在双曲线内部（如 位置），显然作任何直线均与双曲线右支有交点，无法满
足题意；
若 在双曲线与渐近线 之间（如 位置），过P所作直线若与双曲线左支相交则必与右支也相交，也无
法满足题意；
故P只能在双曲线的渐近线 上方，此时过P可做唯一一条与右支相切的直线，也可以作一条与渐近线
平行的直线，该两条直线均与左支无交点；
同理也可作出唯一一条与左支相切的直线，及一条与渐近线 平行的直线符合要求；
即 ，
故 ，
故选：B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线 ，要使直线 与
曲线 有四个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得： ，即 ，即曲线 上的点 为圆 上或圆
外的点，
由 得： 或 ，
由 得： 或 或 或 ，
由此可得曲线 的图象如下图所示，
由图象可知：当 时，直线 与曲线 有四个不同交点；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】实数 的取值范围为 .
故选：B.
7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）已知 是双曲线 上关于原点对称的两点，
过点 作 轴于点 ， 交双曲线于点 ．设直线 的斜率为 ．则下列说法错误的是（ ）
A． 的取值范围是 且
B．直线 的斜率为
C．直线 的斜率为
D．直线 与直线 的斜率之和的最小值为
【答案】D
【解析】
对于A， 是双曲线上关于原点对称的两点， 直线 与双曲线两支各有一个交点，
直线 的斜率 在两条渐近线斜率之间，即 ，
由题意知： 不重合， ， 的取值范围为 且 ，A正确；
对于B，设 ，则 ， ，
， ，B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C，设 ，则 ，又 ，
，
由B知： ， ，C正确；
对于D， ，
，即 不成立， ，D错误.
故选：D.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 上的点到焦点的最小距离为 ，且
与直线 无交点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线 上一点 ，设点双曲线 的右焦点为 ，
若 取最小值，则点 在双曲线 的右支上，则 ，
则
，
当且仅当 时，等号成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 可得 ，
因为 与直线 无交点，则 ，
即 ，因为 ，解得 .
故选：B.
9．（2023秋·江西·高三统考开学考试）（多选）已知 、 是双曲线 的左、右
焦点，以 为圆心， 为半径的圆与 的一条渐近线切于点 ，过 的直线 与 交于 、 两个不同的
点，若 的离心率 ，则（ ）
A．
B． 的最小值为
C．若 ，则
D．若 、 同在 的左支上，则直线 的斜率
【答案】ACD
【解析】对于A选项，设双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，
则 到直线 的距离为 ，
因为以 为圆心的圆与 相切于点 ，所以 ，
因为 ，即 ，则 ，又 ，即 ，所以 ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 中， ，
在 中， ， ，
，
所以 ，故A正确；
对于B选项，当直线 的斜率为 时， 、 两点分别为双曲线的顶点，则 ，
又因为 ，即 的最小值不可能为 ，故B错误；
对于C选项，因为 ，又 ，且 ，所以 在 的右支上，
所以 ，所以 ，故C正确；
对于D选项，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，
联立 ，可得 ，
因为直线 与双曲线 交于右支的两点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以， ，解得 或 ，D对.
故选：ACD.
10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）（多选）已知双曲线C： 的左、右焦
点分别为 ， ，过 作直线 的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且 ，过P作C的切线
交直线 于点Q，则（ ）
A．C的离心率为 B．C的离心率为
C．△OPQ的面积为 D．△OPQ的面积为
【答案】AC
【解析】直线 和直线 ，是双曲线C： 的两条渐近线，
设 ，则有 ，
又 垂直于渐近线 ，渐近线方程为 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，而 ， ，
，
在 中， ，由正弦定理： ，
， ， ，
，A选项正确；
双曲线C的方程为： ，渐近线为 ，
过 点的切线 与双曲线切于点 ，则有 ，
又 ， 均在双曲线的渐近线上，故设 ，
又 ， ，
，
当点 为切点时，由 ，切线斜率存在，
设切线方程为 ，代入双曲线方程，
得
令 ，得 ，解得 ，
过 点的切线方程为 ，
切线方程代入 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】切线方程代入 ，解得 ，
，
，则C选项正确.
故选：AC
11．（2023春·黑龙江大庆）（多选）设双曲线 的右焦点为 ，若直线
与 的右支交于 两点，且 为 的重心，则（ ）
A． 的离心率的取值范围为
B． 的离心率的取值范围为
C．直线 斜率的取值范围为
D．直线 斜率的取值范围为
【答案】AC
【解析】设 为 的中点，根据重心性质可得 ，
因为 ，则 ，
因为直线 与 的右支交于 两点，所以点 在双曲线右支内部，
故有 ，解得 ，
当直线 斜率不存在时， 的中点 在 轴上，
故 三点不共线，不符合题意舍，
设直线 斜率为 ，设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ， ，
因为 在双曲线上，所以 ，
两式相减可得： ，
即 ，
即有 成立，
即有 ，因为 不共线，
即 ，即 ，即 ，
所以 的离心率的取值范围为 ，
因为
，
因为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故选：AC
12．（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设 分别是双曲线 的左、
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】右焦点， 为坐标原点，第一象限内的点 在 的右支上，且 ，则 的内
心坐标为 ．
【答案】 /
【解析】由题意知， ， ，所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
过 作 交 延长线于点H，如图所示，
所以 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以点P轨迹方程为 （ 且 ），
，则 ，
所以 ， ，
设 的内心为G，内切圆分别与 、 、 相切于点M、N、E，则设 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，如图所示，
由双曲线的定义知， ，即 ，①
又因为 ，②
所以由①②得： ， ，
所以 ，即 ，
所以设 ，
由等面积法 可得 ，
即 ，解得 ，即
所以 的内心坐标为 .
故答案为： .
13．（2023秋·江苏南通·高三统考阶段练习）过点 能作双曲线 的两条切线，则该双曲线离
心率 的取值范围为 .
【答案】
【解析】当过点 的直线的斜率不存在时，直线的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得 ，故直线 与双曲线 相交，不合乎题意；
当过点 的直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
联立 可得 ，
因为过点 能作双曲线 的两条切线，
则 ，可得 ，
由题意可知，关于 的二次方程 有两个不等的实数根，
所以， ，可得 ，
又因为 ，即 ，因此，关于 的方程 没有 的实根，
所以， 且 ，解得 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
综上所述，该双曲线的离心率的取值范围是 .
故答案为： .
14．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线 交
于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的取值范围是 .
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】记 ，若直线 与 轴重合，此时， ；
若直线 轴时，将 代入双曲线方程可得 ，此时 ，
当 时，则 ，此时， ；当 ，可得 ，则 ，
所以，双曲线 的实轴长和通径长不可能同时为 ；
当直线 与 轴不重合时，记 ，则点 ，
设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
所以，
，即 ，
所以，关于 的方程 由四个不等的实数解.
当 时，即当 时，可得 ，
可得 ，整理可得 ，因为 ，解得 ；
当 时，即当 ，可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可得 ，整理可得 ，可得 .
综上所述， .
故答案为： .
15．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知双曲线 的左、右顶
点分别为 、 ， 为双曲线上异于 、 的任意一点，直线 、 的斜率乘积为 ．双曲线 的焦点
到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设不同于顶点的两点 、 在双曲线 的右支上，直线 、 在 轴上的截距之比为 ．试问直
线 是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，定点坐标为
【解析】（1）设 ，
由 可得 ，又 ，
，
又焦点到其一条渐近线 的距离为 ，解得： ．
所以双曲线 的方程： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设直线 的方程为 ，如图，
由 得 ，
，
，直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
直线 ，则直线 在 轴上的截距为 ，
由题得： ，又 ，
所以 ．
所以 ，则 ，
，
，
，化简得： 或 ．
若 ，直线 过顶点，舍去． ．
则直线 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 过定点 ．
16．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线 的左右焦点分
别为 ，点 在双曲线上，若 ，且双曲线焦距为4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)如果 为双曲线 右支上的动点，在 轴负半轴上是否存在定点 使得 ？若存在，
求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，坐标为
【解析】（1）因为点 在双曲线上，
所以由双曲线的定义可得 ①，
又双曲线焦距即 ，且 ③，
①②③联立解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）假设存在点 满足题设条件，由题目可知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 为双曲线 右支上一点，
当 时， ，因为 ，
所以 ，于是 ，所以 ，即 ，
当 时， ， ，
因为 ，所以 ，
将 代入并整理得 ，
所以 ，解得 ，即 ，
综上，满足条件的点 存在，其坐标为 .
17．（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线 ： 的焦距为 ，且焦
点到近线的距离为1.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点， 为坐标原点，
证明： 的面积为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意得 ， ，一条渐近线为 ，即 ，右焦点为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ， ，所以 ，
所以 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，若动直线 与双曲线 恰有1个公共点，则直线 经过双曲线的顶点，不妨
设 ，又渐近线方程为 ，
将 代入 ，得 ，将 代入 ，得 ，
则 ， .
当直线 的斜率存在，设直线 ，且 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
因为动直线 与双曲线 恰有1个公共点，
所以 ，得 ，
设动直线 与 的交点为 ，与 的交点为 ，
联立 ，得 ，同理得 ，
则
因为原点 到直线 的距离 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 ，即 ，
故 的面积为定值，且定值为 .
18．（2023春·上海闵行）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 ： ．
(1)求出双曲线 的渐近线方程；
(2)过 的左顶点引 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
(3)设斜率为1的直线l交 于P，Q两点，若l与圆 相切，求证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见详解
【解析】（1）由双曲线 ： ，即 ，
可知 ，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为 ，即 .
（2）由（1）可知： 的左顶点为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】不妨令过 且与渐近线的平行的直线方程为 ，
联立方程 ，解答 ，
即直线 与 的交点坐标为 ，
所以围成的三角形的面积 .
（3）圆 的圆心为 ，半径 ，
设直线l的方程为 ，即 ，且 ，
则 ，可得 ，即 ，
联立方程 ，消去y可得 ，
可得 ，且 ，
又因为 ，
则 ，
所以 ，即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】19．（2023·全国·课堂例题）设F是双曲线 ： 的左焦点，经过F的直线与 相交于M，N两点．
(1)若M，N都在双曲线的左支上，求 面积的最小值．
(2)是否存在x轴上一点P，使得 为定值?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在这样的定点
【解析】（1）设直线MN的方程为 ， ， ．
由 可得 ，
由根与系数的关系可知 ， ①．
此时 ．
原点O到直线MN的距离为 ，
此时 ．
由M，N都在双曲线的左支上知 ， ，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
由于 ，所以当 ，即 时，此时取最大值，则 ，
当 ，即 时，等号成立．
（2）假设存在这样的定点 ．
当直线的斜率不为0时，由（1）知
②．
将①代入②可得 ，
此时要想 为定值，则 ，得 ，从而 ．
即存在这样的定点 满足题意．
当直线的斜率为0时，易知 ，若 ，则 ，满足题意.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，存在 满足题意．
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