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专题 15 周期性、单调性、奇偶性、对称性的灵活运用
【命题规律】
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
【核心考点目录】
核心考点一：函数单调性的综合应用
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
核心考点三：已知 奇函数
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
核心考点七：类周期函数
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
核心考点九：函数性质的综合
【真题回归】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ，
则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为 ，令 可得， ，所以 ，令 可
得， ，即 ，所以函数 为偶函数，令 得，
，即有 ，从而可知 ，
，故 ，即 ，所以函数 的一个周期为 ．因为
， ， ，
， ，所以
一个周期内的 ．由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数由 ，联想到余弦函数和差化积公式
，可设 ，则由方法一中 知 ，
解得 ，取 ，
所以 ，则
，所以
符合条件，因此 的周期 ， ，且
，所以 ，
由于22除以6余4，
所以 ．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 的图像关于直线 对称，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ，
．
因为 ，所以 ，即 ，所以 ．
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 ．
所以 ．
故选：D
3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记
，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误．
故选：BC．
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法．
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC．
故选：BC．
[方法三]：
因为 ， 均为偶函数，所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误．
故选：BC．
【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该
题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
4．（2022·全国·统考高考真题）若 是奇函数，则 _____， ______．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，
由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
【方法技巧与总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设 ， 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与 的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：①若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
②若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减）函
数；
③若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数；
④若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数 是偶函数 函数 的图象关于 轴对称；
函数 是奇函数 函数 的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数 在 处有意义，则有 ；
偶函数 必满足 ．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数 的定义域关于原点对称，则函数 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记 ， ，则 ．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如 ．
对于运算函数有如下结论：奇 奇=奇；偶 偶=偶；奇 偶=非奇非偶；
奇 奇=偶；奇 偶=奇；偶 偶=偶．
（7）复合函数 的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数 或函数 ．
②函数 ．
③函数 或函数
④函数 或函数 ．
注意：关于①式，可以写成函数 或函数 ．
偶函数：①函数 ．②函数 ．
③函数 类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数 有两条对称轴 ， ，则函数 是周期函数，且 ；
（2）若函数 的图象有两个对称中心 ，则函数 是周期函数，且
；
（3）若函数 有一条对称轴 和一个对称中心 ，则函数 是周期函数，
且 ．
5、对称性技巧
（1）若函数 关于直线 对称，则 ．
（2）若函数 关于点 对称，则 ．
（3）函数 与 关于 轴对称，函数 与 关于原点对称．
【核心考点】核心考点一：函数单调性的综合应用
【典型例题】
例1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数 是
上的减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】显然当 时， 为单调减函数，
当 时， ，则对称轴为 ，
若 是 上减函数，则 解得 ，
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练习）设函数 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】假设 ，
所以 ，所以 ，
所以 为奇函数，
而 是 向右平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，所以
的对称中心为 ，所以 ，
由 求导得
因为 ，当且仅当 即 ，取等号，
所以 所以 在R上单调递增，因为 得
所以 ，解得 ，
故选：B
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且满足 ，则下列正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ，可得 ，
所以 ，或 ，
∴ （舍去），或 ，即 ，故A错误；
又 ，故 ，
∴ ，对于函数 ，
则 ，函数 单调递增，
∴ ，故D错误；
∵ ， ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴函数 单调递增，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，故B正确；
∵ ，
∴函数 单调递增，故函数 单调递增，
∴ ，即 ，故C错误．故选：B．
核心考点二：函数的奇偶性的综合应用
【典型例题】
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 在 上单调递增，且 为偶函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ 为偶函数，
∴ ，即函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，
∴函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，
整理得， ，
解得 或 ．
故选：B．
例5．（2023·全国·高三专题练习）设 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，当 时， ，所以 在 上为增函数，
因为 是定义在R上的奇函数，
所以 在R上为增函数，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，所以不等式 可化为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数 的定义域为 ，且当 时， ，则使不
等式 成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，所以 在 上单调递增，
且 ，不等式 即为 ．
又因为 是偶函数，所以不等式 等价于 ，
则 ，所以， ，解得 ．
综上可知，实数 的取值范围为 ，
故选：A．
例7．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 为奇函数，
所以 ，又 ， ，
所以不等式 ，可化为 ，
即 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 在R上单调递增，所以 ，
解得 ．
故选：D．
例8．（2023春·广西·高三期末） 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
（ ）
A．－1 B． C． D．1
【答案】A
【解析】 是定义在R上的函数， 为奇函数，则
．
∴ ．
故选：A
例9．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）若函数f（x）= ，则满足
恒成立的实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 是 上的奇函数，
由
，
所以 是 上的增函数，
所以 等价于：
即 ，所以 ，
令 ，
则问题转化为： ，
因为 且定义域为 ，
所以 是 上的偶函数，
所以只需求 在 上的最大值即可．
当 时， ，
，
则当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得： ，
即 ，
故选：A．
核心考点三：已知 奇函数+M
【典型例题】
例10．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知 （a，b为实数），
，则 ______．
【答案】-2014
【解析】
，
因为 为奇函数，
所以 ，
其中 ，
所以 ，
解得：
故答案为：-2014例11．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知函数 ，且 ，则
（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3
【答案】D
【解析】
设 ，因为 ，
所以 为奇函数，
因为 ，
所以 ，
则 ．
故选：D．
例12．（2022·福建省福州第一中学高二期末）若对 ，有 ，函数
在区间 上存在最大值和最小值，则其最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
由题设， 且 ，
∴ ，则 ，
∴ 为奇函数，令 ，
∴ ，即 是奇函数，
∴ 在 上的最小、最大值的和为0，即 ，
∴ ．
故选：B
核心考点四：利用轴对称解决函数问题
【典型例题】
例13．（2022·全国·高三专题练习）若 满足 ， 满足 ，则 等于
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D【解析】由题意 ，故有
故 和 是直线 和曲线 、曲线 交点的横坐标．
根据函数 和函数 互为反函数，它们的图象关于直线 对称，
故曲线 和曲线 的图象交点关于直线 对称．
即点（x，5﹣x）和点（x，5﹣x）构成的线段的中点在直线y=x上，
1 1 2 2
即 ，求得x+x=5，
1 2
故选：D．
例14．（2021春·高一单元测试）设函数 ，则不等式 的
解集为（ ）
A．（0，2] B．
C．[2，＋∞） D． ∪[2，＋∞）
【答案】B
【解析】由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为 的偶函数，且在 上为单调递减函数，
令 ，可得 ，
则不等式 可化为 ，
即 ，即 ，
又因为 ，且 在 上单调递减，在 为偶函数，
所以 ，即 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ．
故选：B．
例15．（2021春·西藏拉萨·高三校考阶段练习）已知函数 ，则
的大小关系（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令 ，所以 是偶函数；
当 时， ， 在 上是增函数，
将 图像向右平移一个单位得到 图像，
所以 关于直线 对称，且在 单调递增．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 关于直线 对称，∴ ，
∴ ．
故选：A
核心考点五：利用中心对称解决函数问题
【典型例题】
例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是 上的偶函数，且 的图象关于点 对称，当
时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 图象关于点 对称， ，
又 为 上的偶函数， ， ，
，
是周期为 的周期函数，，又 ， ，
．
故选：C．
例17．（2021春·安徽六安·高三校考阶段练习）已知函数
，函数 为奇函数，若函数 与
图象共有 个交点为 、 、 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
函数 的定义域为 ，
，所以， ，
故函数 的图象关于点 对称，
因为函数 为奇函数，则 ，即 ，
故函数 的图象也关于点 对称，
函数 与 图象共有 个交点为 、 、 、 ，且这六个点也关于点
对称，
所以， ．
故选：B．
例18．（2021春·贵州黔东南·高一凯里一中校考期中）已知函数 是奇函数，若函数 与
图象的交点分别为 ， ，…， ，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得 关于点 对称， 的图象也关于点 对称，即若点 为交点，则点 也为交点，同理若 为交点，则点 也为交点，
……
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
，
故选：D．
例19．（2022春·湖北恩施·高一恩施市第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的奇函数 的图象与
轴交点的横坐标分别为 ， ， ， ， ，且 ，则不等式 的解
集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 是定义在R上的奇函数，
则 ，且函数 的图象与 轴交点关于原点对称，
不妨设 ，
则 ，
所以 ，
则不等式 ，
即为 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选：A．
例20．（2021春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
，函数 满足 ，若函数
恰有 个零点，则所有这些零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 满足 ，
则函数 的图象关于点 对称，且 （1） ，
函数 ，则 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于点 对称，
又函数 是由函数 向右平移一个单位得到的函数，
故函数 的图象关于点 对称，
令 ，
则 ，
因为函数 与 的图象都关于点 对称，
所以两个函数图象的交点也关于点 对称，
因为函数 恰有2021个零点，
所以2021个零点除 之外的2020个零点关于 对称，
则所有这些零点之和为 ．
故选：D．
核心考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
【典型例题】
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，
且当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
用 代替 得： ，
因为 为奇函数，所以 ，
故 ①，
用 代替 得： ②，
由①② 得： ，
所以函数 的周期 ，
所以 ，即 ，
因为 ，令 得： ，故 ，
，解得： ，所以 时， ，
因为 ，
令 ，得 ，
其中 ，所以 ，
因为 ，
令 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
令 得： ，
故 ，
．
故选：C
例22．（2023·四川资阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为R， 为偶函数，
，当 时， （ 且 ），且 ．则
（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】C
【解析】因为 是偶函数，所以 ，所以 ，
所以函数 关于直线 对称，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 关于点 中心对称，
由 及 得
所以
所以函数 的周期为 ，因为当 时， （ 且 ），且 ，
所以 ，解得： 或 ，因为 且 ，所以 ．
所以当 时， ，
所以 ， ， ，
， ， ，
，所以 ，
所以 ，
故选： ．
例23．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数 满足
，且当 时， ．若直线 与曲线 恰有三个公共点，那
么实数a的取值的集合为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】B
【解析】定义在R上的偶函数 满足 ，
所以 的图像关于 对称，且 为周期是2的偶函数，
当 时， ，所以画出函数图像如下图所示：
①当 时，结合图像可知 与 （ ）有两个公共点；②当 与 （ ）相切时，满足 ，即 ，令
，解得 ．
当 时，结合图像可知 与 （ ）有两个公共点；
由图像可知， 时，直线 与 （ ）有三个公共点；
又因为 周期 ，可知 （ ）．
故选：B．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
，若函数 图象与 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 是周期为2的周期函数，
又函数 的图象可由函数 的图象向左平移一个单位可得，
所以函数 的图象的对称轴为 ，
当 时， ，所以函数 的图象也关于 对称，
在平面直角坐标系中作出函数 与 在 右侧的图象，
数形结合可得，若函数 图象与 的图象恰有10个不同的公共点，
则由函数图象的对称性可得两图象在 右侧有5个交点，则 ，解得 ．
故选：D．
例25．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 是定义在R上的奇函数， ，
恒有 ，且当 时， 1，则
（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 的最小正周期是8，
因为 ，
， ， ，
，又 是周期为8的周期函数，
所以
，
，所以 ．
故选：B
例26．（2023·山东济宁·高三嘉祥县第一中学校考阶段练习）已知定义在R上的偶函数 满足
，且当 时， ．若直线 与曲线 恰有三个公共点，那
么实数a的取值的集合为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】B
【解析】定义在R上的偶函数 满足 ，
所以 的图像关于 对称，且 为周期是2的偶函数，
当 时， ，所以画出函数图像如下图所示：①当 时，结合图像可知 与 （ ）有两个公共点；
②当 与 （ ）相切时，满足 ，即 ，令
，解得 ．
当 时，结合图像可知 与 （ ）有两个公共点；
由图像可知， 时，直线 与 （ ）有三个公共点；
又因为 周期 ，可知 （ ）．
故选：B．
例27．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，
，若函数 图象与 的图象恰有10个不同的公共点，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 满足 ，所以函数 是周期为2的周期函数，
又函数 的图象可由函数 的图象向左平移一个单位可得，
所以函数 的图象的对称轴为 ，
当 时， ，所以函数 的图象也关于 对称，
在平面直角坐标系中作出函数 与 在 右侧的图象，数形结合可得，若函数 图象与 的图象恰有10个不同的公共点，
则由函数图象的对称性可得两图象在 右侧有5个交点，
则 ，解得 ．
故选：D．
例28．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知 是定义在R上的奇函数， ，
恒有 ，且当 时， 1，则
（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】因为 ，所以 的最小正周期是8，
因为 ，
， ， ，
，又 是周期为8的周期函数，
所以
，
，所以 ．
故选：B
核心考点七：类周期函数
【典型例题】
例29．（2022·天津一中高三月考）定义域为 的函数 满足 ，当 时，，若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
因为当 时，不等式 恒成立，所以 ，
当 时，
当 时， ，当 时，
，因此当 时， ，选B．
例30．（2022·浙江·杭州高级中学高三期中）定义域为 的函数 满足 ，当
时， ，若 时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，所以 ，
因为 时， ，
所以 ，
因为函数 满足 ，
所以 ，
所以 ， ，又因为 ， 恒成立，
故 ，
解不等式可得 或 ．
例31．（2022山西省榆林市高三二模理科数学试卷）定义域为 的函数 满足 ，
当 时， ，若当 时，函数 恒成立，则实数 的取
值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当 时， ，又 ，因此当 时，函数 ，从而
，选C．
核心考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典型例题】
例32．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数 对任意 ，都有 成立．
有以下结论：
① ；② 是 上的偶函数；③若 ，则 ；
④当 时，恒有 ，则函数 在 上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________
【答案】①③
【解析】对于①令 ，则 ，解得 ，①正确；
对于②令 ，则 ，∴ ，∴ 是 上的奇函数，②错误；
对于③令 ，则 ，∴ ，③正确；
对于④设 ，则 ，∴ ，
则 ，∴ 在 上单调递减，④错误．
故答案为：①③．
例33．（2022·山东聊城·二模）已知 为 上的奇函数， ，若对 ， ，当
时，都有 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，设 ，
则 在 上单调递减，
而 ，
则 ，解得： ；
因为 为R上的奇函数，所以 ，
则 为R上的偶函数，故 在 上单调递增，
，
则 ，解得： ；
综上，原不等式的解集为 ．
故选：B．
例34．（2022·全国·模拟预测（理））已知定义在R上的奇函数 的图象关于直线 对称，且
在 上单调递增，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由函数 的图象关于直线 对称可得 ，结合奇函数的性质可知
， ．
由奇函数的性质结合 在 上单调递增可得 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ．
故选：C
例35．（2022·黑龙江大庆·三模（理））已知定义域为R的偶函数满足 ，当时， ，则方程 在区间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【解析】
解：因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，
又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
所以方程核心考点九：函数性质的综合
【典型例题】
例36．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，在 上是增函数，且
恒成立，则不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】由于函数 定义在 上的偶函数，在 是增函数，
由 得 ，
所以 ，
解方程 得 ，
令 ，则 ，
所以 是方程 的两根，由韦达定理得 ，解得 ，
则不等式 即 ，
设 ， ， ，故 ，
所以 单调递增，且 ，故解集为 ．
故答案为： ．
例37．（2023春·山东济南·高三统考期中）已知 是定义域为R的奇函数， 为奇函数，则
__________．
【答案】68
【解析】而 是定义域为R的奇函数，故有 ，且 ，
因为 为奇函数，所以 ，
而 ，
所以 ，
用 替换 得： ，
令 ，则有 ，
即 ；
令 ，则 ，
则 ，即 ；
令 ，则有 ；
所以 ．
；
；
；
所以
．
故答案为：68
例38．（2023春·重庆璧山·高三校联考阶段练习）设a＞0，b＞0，若关于x的方程 恰
有三个不同的实数解x，x，x，且x＜x＜x＝b，则a+b的值为______．
1 2 3 1 2 3【答案】
【解析】不妨令 ，
显然满足 ，可知 为偶函数，
因为关于x的方程 恰有三个不同的实数解x，x，x，
1 2 3
且x＜x＜x＝b，
1 2 3
所以必有x＝0，且﹣x＝x＝b，故x+x+x＝0，
2 1 3 1 2 3
将x＝0，x＝b代入原方程得： ，
2 3
当b≥a时，原方程化为 ，解得 ，
此时 ，
当b＜a时，原方程化为 ，解得a＝b＝0，与a＞0，b＞0矛盾，
故 ．
故答案为： ．
例39．（2023·全国·高三专题练习）已知 是 上的偶函数，对于任意的 ，均有
，当 时， ，则函数 的所有零点之和为
______；
【答案】4042
【解析】图像关于 轴对称的偶函数 向右平移一个单位得到函数 ．因为函数
是偶函数，所以 ，
令 替换 ，则有 ，
所以函数 的周期为2，且函数关于直线 对称，
又当 时， ，当 时， ， ，
当 时， ，
依次类推，可以求出，当 时，
由此可在同一平面直角坐标系下作出函数 与 的部分图象．函数 的零点，即为函数 与 的交点横坐标，
当 时， ，两函数图像无交点，又两函数在 上有2021个
交点，由对称性知它们在 上也有2021个交点，且它们关于直线 对称，则对称两零点和为
2，所以函数 的所有零点之和为4042．
故答案为：4042．
【新题速递】
一、单选题
1．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）己知函数 ， ，若 与 图像
的公共点个数为n，且这些公共点的横坐标从小到大依次为 ， ，…， ，则下列说法正确的有
（ ）个
①若 ，则 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①，当 时，令 ，则 ，即函数 有且仅有一个零点为
0，同理易知函数 有且仅有一个零点为0，
即 与 也恰有一个公共点，故①错误；
对于②：当 时，如下图：易知在 ，且 ， 与 图像相切，由当 时， ，则
， ，故 ，从而 ，所以
，故②正确；
对于③：当 时，如下图：
则 ， ，所以 ，又 图像关于 对称，结合图像有 ，即有
，故③正确；
对于④：当 时，由 ， 与 的图像在y轴右侧的前1012个周期
中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故④正确．
故选：C．
2．（2023·青海海东·统考一模）已知函数 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．当 时， 在 上是增函数
B．当 时， 在 上是增函数
C． 的单调性与 有关
D．若不等式 的解集是 ，则
【答案】B
【解析】当 时， 在 上单调递增，且 ．
因为函数 在 上是减函数，
所以 在 上是减函数，则 错误；
当 时， 在 上单调递减，且 ．
因为函数 在 上是减函数，所以 在 上是增函数，则 正确；
定义域为R， ，
所以， 为R上的偶函数．
又由前面分析知，当 时， 在 上是减函数，根据偶函数的性质知， 在 上是增
函数；
当 时， 在 上是增函数，根据偶函数的性质知， 在 上是减函数．
所以，可知，当 且 时， 在 上是减函数，在 上是增函数．
从而 的单调性与 无关，故C错误；
因为不等式 的解集是 ．
由前面分析知， 为R上的偶函数． 在 上是减函数，在 上是增函数．
所以 ，所以 ，解得 或 ，则D错误．
故选：B．
3．（2023·青海海东·统考一模）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ，则 ．
因为 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减．
不等式 等价于不等式 ，即 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 在 上单调递减，所以 ，解得
故选：A
4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知函数 ，正实数a，b满足
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．【答案】B
【解析】 ，
故函数 关于 对称，又 在 上严格递增；
即
当且仅当 时取得．
故选：B．
5．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）若正实数 满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
即
即
即
令 ，根据增函数加增函数为增函数得 在 上为增函数，
， ，
故选：A．
6．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知f（x），g（x）分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且
，若关于x的不等式 在（0，ln 2）上恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 分别为偶函数和奇函数，
①，
所以 ，即 ②，
①②联立可解得 ， ，
不等式 为 ，
，则 ， ，
设 ，则 ，
， ， ， 在 上是增函数， ，
又 在 时是增函数，所以 ， ，
，在 恒成立，则 ．
故选：C．
7．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）设 ，函数 是定义在R上的奇函数，且
， 在 单调递增， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A：∵函数 是定义在R上的奇函数，则 ，A错误；
由题意可得： 在 上单调递增，则 在 上单调递增
∵ ，则
∴函数 关于 对称，则 在 上单调递减
当 时，当且仅当 时， ；当且仅当 或 时，
∵函数 关于 对称，则 ，即
∴ ，则函数 的周期为4
当 时，则有：
的根依次为 ，即当且仅当 ，若 ，则 ，即 ，C、D错误；
的根依次为 ，即当且仅当 ，
∵ ，则 ，B正确；
故选：B．
8．（2023春·辽宁·高三校联考期中）已知偶函数 在区间 上单调递减，则满足
的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为偶函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上单调递增 ，
因为 ，所以由偶函数性质知
所以 ，解得： ．
故选：A．
二、多选题
9．（2023春·福建宁德·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域为R， 为 的导函数，且
， ，若 为偶函数，则下列一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】若 为偶函数，则 ，故 ，则 为奇函数
故 ，
由 可得 ，
又 可得 ，两式相减得 ，
所以函数 的周期为4；
由 可得
又 可得 ，两式相加得
所以函数 的对称中心为 ；
则 ， ，故A选项正确；又 ，则 ，由函数 的周期为4
可得 ， ，故B，D选项正确；
可得 ，所以 ，故C选项不正确；
故选：ABD．
10．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）已知函数 、 的定义域均为 ， 为偶函数，且
， ，下列说法正确的有（ ）
A．函数 的图象关于 对称 B．函数 的图象关于 对称
C．函数 是以 为周期的周期函数 D．函数 是以 为周期的周期函数
【答案】BC
【解析】对于A选项，因为 为偶函数，所以 ．
由 ，可得 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，A错；
对于B选项，因为 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
所以，函数 的图象关于点 对称，B对；
对于C选项，因为函数 为偶函数，且 ，
则 ，从而 ，则 ，
所以，函数 是以 为周期的周期函数，C对；
对于D选项，因为 ，且 ， ，
又因为 ，所以， ，
又因为 ，则 ，所以， ，
故 ，因此，函数 是周期为 的周期函数，D错．
故选：BC．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，若 ，
均为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD【解析】因为若 ， 为奇函数，
所以 ，
令 得 ， ，即 ， ，A选项正确；
所以， ，即 ，
所以，函数 关于 对称， 对称，
所以， ，即
所以， ，
所以， ，即函数 为周期函数，周期为 ，
所以， ， ，故D选项正确，B选项错误；
对于C选项，由 可得 ，其中 为常数，
所以 ，所以 ，
故令 得 ，即 ，故C选项正确．
故选：ACD．
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为 上的奇函数， 为偶函数，下列说法正
确的有（ ）
A． 图象关于 对称 B．
C． 的最小正周期为4 D．对任意 都有
【答案】BCD
【解析】 为 上的奇函数，则 ， ． 为偶函数，即 关于
轴对称，则 ．
所以 ，则 ，故 ，则 最小正周期为
4；
对A， ，故 图象不关于 对称，A错；
对B， ，B对；对C， 最小正周期为4， ， 的最小正周期为4，C对；
对D， ，D对；
故选：BCD
13．（2023·全国·高三专题练习）已知 为偶函数，且 为奇函数，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】A选项，因为 为偶函数，所以 ，
因为 为奇函数，所以 ，
令 得： ，解得： ，所以
令 得： ，即 ，所以 ，故A正确；
B选项，令 得： ，即 ，
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，故B正确；
C选项，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 的周期为4， ，故C正确；
D选项，因为 ，
所以令 得： ，解得： ，
令 中 得： ，故D错误．
故选：ABC
三、填空题
14．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知函数 ，则满足 的x的取值范
围是________．
【答案】 ．【解析】因为 ，则 ，
因为函数 ，由 有： 且 ，
因为 ，大致图象如图，
①当 且 时， ，所以 ，显然满足 ；
②当 时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得， 单调递减，
当 时，根据复合函数的单调性法则同增异减可得， 单调递增，
又 ， ，所以根据函数 的单调性有：
由 ，解得： 或 ．
综上，满足 的 取值范围是 ．
故答案为： ．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 存在导函数 ，且满足
，则曲线 在点 处的切线方程可以是___________
（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 的定义域为 ，由 可知， 是偶函数，
由 可知 周期为4，
因为 ，故 关于直线 对称，
又因为 ，所以 也是 的对称轴，
因为 在 上存在导函数 ，所以 是 的极值点，即 ，曲线 在点 处的切线斜率为0，
故切线方程可能为 ，
故答案为： （答案不唯一）
16．（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数 满足 ，且 在 上是增
函数，给出下列几个命题：
① 是周期函数；
② 的图象关于直线 对称；
③ 在 上是减函数；
④ ．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③④
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以 的周期为 ，
即 为周期函数，故①正确；
因为 ，所以 ，又因为 为奇函数，所以 ，所以函数
的图象关于直线 对称，故②正确；
因为 是定义在R上的奇函数，所以 ，因为 在 上为增函数，且 为奇函数，所以
在 上为增函数，
因为 关于直线 对称，所以 在 上为减函数，故③正确；
由 ，令 得 ，故④正确，
故答案为：①②③④
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 ，则
___________．
【答案】2
【解析】因为 ，对称轴为 ，所以 的对称中心为 ，即 ，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以方程 的解 均有且只有一个，
因为 ，所以 关于对称中心 对称，
所以 ，
故答案为：218．（2023·全国·高三专题练习）函数 的极大值为 ，极小值为 ，则
______．
【答案】6
【解析】由题意，
，故 关于 对称．
故取得极大与极小值的点关于 对称，所以 ．
故答案为：6
19．（2023·全国·高三专题练习）设 的定义域为 ，且满足 ，若
，则 ___________．
【答案】2024
【解析】因为 ，所以 ，
由 ，得 ，有 ，
可得 ，有 ，
又由 ，可得 ，可知函数 的周期为4，
可得 ，
有 ，
因为 ，所以
由 得 ，
所以 ，
即 ，
所以
所以 ．
故 ．
故答案为：2024
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为R，且 为奇函数，其图象关于直线 对
称．当 时， ，则 ____．【答案】4
【解析】∵ 的图象关于直线 对称，∴ ，又 为奇函数，∴ ，故
，
则 ，∴函数 的周期 ，又∵ ，∴
．
故答案为：4．
